1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV

11. Знайти потік векторного поля EG

через замкнену поверхню σ

(нормаль зовнішня).

G

G

2

G

+ ( y

2

G

+ (z

2

2

2

2

2

2

E = (x

+ xy) i

+ zy) j

+ xz) k ; σ

: x

+

y + z =

1, x +

y = z , z≥ 0 .

12. Знайти модуль циркуляції поля HG

вздовж контуру L.

G

G

G

G

2

x2

+ y2 + z2 = 25,

H = 2iyz + jxz + ky

;

L :

+ y2 = 16, z > 0.

x2

Варіант №23

1. Визначити об’єм тіла, обмеженого даними поверхнями:

z = 16 − x2 − y2 ; z =

x2 + y2

.

15

2. Знайти заряд Q,

зосереджений в об’ємі Ω

,

якщо відома об’ємна

густина заряду ρ (x, y, z) .

Ω : x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 4z , z = 0, x ≥ 0, y≥ 0;ρ = 5y .

3. Знайти заряд Q поверхні σ :

x = y2 + z2

(x ≤ 1) при заданій по-

верхневій густині заряду γ (x, y, z) = x .

4. Показати, що задане поле

EG

– потенціальне і знайти його потенціал:

G

G

G

G

=

ix

+ jy + kz

E

.

§3. Індивідуальне завдання 6.3

273

8. Знайтиструмзміщеннявдіелектрику, якщовньомузадане магніт-

не поле

G

G

G

G

G

H (x, y, z) :

H = ixey−z + jyez−x + kzex− y .

w∫∫

cos x2

cos y2

cos z2

dydz +

dxdz +

dxdy

y + z

x + z

x + y

σ

v∫L

xdx + ydy + zdz

за формулою Стокса до інтеграла по поверхні σ

,

натягнутій на замкнений

контур L.

EG

11. Знайти потік векторного поля

через замкнену поверхню σ

(нормаль зовнішня).

G

G

G

2

G 2

2

2

E = 3ix

− 2 jx

y + k (1

− 2x); σ : x +

y

= 1, z= 0, z= 1 .

12. Знайти модуль циркуляції поля HG

вздовж контуру L.

G

G

G

G

2

+ y

2

= 4 ,

H = (2 − xy) i − yzj − xzk ;

L :

x

+ y + z = 1.

x

z =

36 − x2 − y2 , z = 2, x2 + y2 = 27 (x2 + y2 ≤ 27) .

2. Знайти заряд Q,

зосереджений в об’ємі Ω

, якщо відома об’ємна

густина заряду ρ

(x, y, z) .

Ω : x2 + y2 = z2 , x2 + y2 = z , x ≥ 0, y≥ 0;ρ = 35yz .

3. Знайти заряд Q поверхні σ

: 4x = y2 + z2

(x ≤ 4) при заданій по-

верхневій густині заряду γ (x, y, z) = 2x .

4. Показати, що задане поле EG

– потенціальне і знайти його потенціал:

G

G

G

G

kxy

E = (iy

+ jx) arctg z +

.

1+ z2

G

5. Знайти напруженість електричного поля

E за заданим потенціа-

U =

x

−

yz

; σ : xy= z2

; M (4, 1,− 2) .

x +

y

y

7. Знайти об’ємну густину електричних зарядів ρ (x, y, z) за заданим

вектором електричної індукції

G

D (x, y, z) :

G

G

G

G

D =

(ix + jy + kz) ln (x2 + y2 + z2 ) .

8. Знайтиструмзміщеннявдіелектрику, якщовньомузадане магніт-

G

G

G

G

G

не поле H (x, y, z) :

H = ix( y + z) + jy(x + z) + kz(x + y) .

9. Перетворити заданий поверхневий інтеграл

w∫∫

xy

dxdy +

yz

dydz +

xz

dxdz

σ

z

x

y

v∫

xdx + ydy + zdz

x

2

+ y

2

+ z

2

L

за формулою Стокса до інтеграла по поверхні σ

, натягнутій на замкнений

контур L.

11. Знайти потік векторного поля EG через замкнену поверхню σ

(нормаль зовнішня).

EG = x2iG; σ : z= 1− x− y , x= 0, y= 0, z= 0 .

12. Знайти модуль циркуляції поля HG вздовж контуру L.

G

G G

G

2

x2

+ y2

+ z2 = 9,

H = −iy + jx + 3kz

; L :

+ y2

= 1 (z > 0).

x2

§3. Індивідуальне завдання 6.3

275

3. Знайти заряд Q поверхні σ : 2 y = x2 + z2 (0 ≤ y≤

2) при заданій

поверхневій густині заряду γ (x, y, z) = y .

U =

xy +

9 − z2 ; σ : 2x2+

y2= z+ 5; M (1, 1, 0) .

7. Знайти об’ємну густинуG

електричних зарядів ρ (x, y, z) за заданим

вектором електричної індукції D (x, y, z) :

G

G

G

G

D

= iyz ln (1+ x) + jxz ln (1

+ y) + kxy ln (1+ z) .

8. Знайтиструмзміщеннявдіелектрику, якщовньомузадане магніт-

G

G

G G

G

−ix + jy + kz

не поле H (x, y, z) :

H =

.

x2 + y2 − z2

L

, натягнутій на замкнений

за формулою Стокса до інтеграла по поверхні σ

контур L.

EG через замкнену поверхню σ

11. Знайти потік векторного поля

(нормаль зовнішня).

G

G

G

2

G

σ

2

2

E = i ( y

+ zx) + j( yx − z) + k (zy + x);

: x +

y = 1, z= 0, z= 2 .

12. Знайти модуль циркуляції поля HG вздовж контуру L.

G

G G

G

x2 + y2 =

z

2

,

H

= iy − jx +

2kz; L :

4

z = 2.

§4. Індивідуальне завдання 6.4

277

ни цього розкладання):

y′′ − xy′+ y = ex , y(0) = 1, y′(0) = 0 .

1. Знайти суму ряду:

Варіант №2

∞

3n +1

∞

а) ∑

;

б)

∑

(2n2 − 2n + 3)xn .

2

−

1)

n=1 n (n

n=1

2. Дослідити на збіжність задані числові ряди:

∞

7

n

∞

n

3

+1

−n4

∞

1

а) ∑

;

б)

∑

;

в) ∑

;

n=1

4n!

n=1

n3 −1

n=1

(n + 3) ln2

(n +1)

∞

(−1)n+1

∞

3 − i n

г) ∑

; д)

∑

.

(2n +

3)2

2n+3

2

n=1

n=1

3. Визначити область збіжності ряду:

а) ∑∞

(−1)n

xn

; б)

∑∞

(−1)n xn

.

xn +

n=1 n

1

n=1 2n +1

4. Визначити область абсолютної збіжності ряду:

∞

1 − i

n+1

2n

∞

2n n

∑

z

+

.

2

2n

2

∑

n=1 n

z

n=0

5. Обчислити суму ряду з заданою похибкою α :

∑∞

(−1)n+1

, α =

0, 01 .

3n!

n=1

1

f (x) =

, a = 3 .

x2 − 6x + 5

8. Розкласти в ряд Маклорена задану функцію f (x) , використовую-

ряду: f (x) = arctg

x +1 2

.

x −1 2

−3

10 ln(1+ x2 )

9. Обчислити інтеграл з точністю до 10

:

∫

dx .

x

2

5

10. Знайти розкладання в степеневий ряд за степенями х розв’язку