Добавил:

AAA1 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.01.2021

Размер:

10.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 5639 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 > Следующая >>>

§8. Основні формули інтегрального числення функцій однієї змінної

381

∫f (x) dx

(1)

∫g(x) dx

(2) ,

точка x = a – особлива точка функцій f (x) та g(x)

Ознаки

1) 0 ≤ f (x)≤ g(x) x (a, b]

а) інтеграл (2) збіжний

інтеграл (1) збіжний;

порівняння

б) інтеграл (1) розбіжний

інтеграл (2) розбіжний;

2) f (x) > 0, g(x) > 0 x (a, b]

lim

f (x)

= A> 0

інтеграли (1), (2) обидва

x→

g(x)

збіжні або обидва розбіжні

Інтеграл для

1 dx

−

збігається, якщо

p < 1,

порівняння

∫0 xp

p ≥ 1.

розбігається, якщо

f (x)

– знакозмінна функція на проміжку (a, b] ,

x = a

– особлива точка функції

f (x)

Достатня ознака

∫f (x) dx

(1)

∫f (x)

(2)

збіжності

інтеграл (2) збігається

інтеграл (1) збігається

Абсолютно

∫f (x) dx

– абсолютно збіжний,

збіжний

інтеграл

якщо ∫f (x)

dx – збіжний

Умовно

∫f (x) dx

– умовно збіжний,

збіжний

інтеграл

якщо ∫f (x)

dx – розбіжний, а ∫f (x) dx – збіжний

382

Глава 7. Довідковий матеріал

§9. Деякі важливі криві та поверхні

9.1 Деякі важливі криві

Назва, рівняння

Графік

Алгебраїчні криві другого порядку

Еліпс

+ y

= 1;

x = a cost ,

y = bsint.

При b = a

коло x2 + y2 = a2

Гіпербола

−

= 1 ;

= a cht ,

(для

= bsht

правої гілки)

Парабола

y2 = 2px

−

, 0

	§9. Деякі важливі криві та поверхні	383


1	2	3
	Алгебраїчні криві третього порядку

							y	3a
								2
	Декартів лист
	x3 + y3 − 3axy = 0 ;
4		x =	3at			–a	O
4		x =	1+ t		3 ,	–a	O		x
			1+ t				–a
			3a t2 .				–a
		y =	3a t2 .						x+y+a = 0
			1+ t		3
			1+ t
								y
	ЛоконАньєзі							a
5		(верзієра)
5			a	3
	y = a2 + x2 .							O	x
							y
6	Кубічна парабола
6		y = x3 .						O	x
								O	x
							y
	Напівкубічна
7		парабола
7		y2 = x3 .					O		x
							O		x

384

Глава 7. Довідковий матеріал

Цисоїда Диоклеса

;

a − x

a t

+ t2

a x

at3

;

+ t

asin2 ϕ

cosϕ

Строфоїда

= x

2 a + x

;

a − x

a cos2ϕ

–a

ρ = −

cosϕ .

Алгебраїчні криві четвертого і вищих порядків

Кардіоїда

(x2 + y2 − 2ax)2 = 4a (x2 + y2 ) ;

= a(1+ cosϕ ) .

Лемніската Бернуллі

(x2

+ y2 )2 = a2 (x2 − y2 ) ;

2 = a2 cos2ϕ .

a x

		§9. Деякі важливі криві та поверхні						385
1			2				3
12	Завиток Паскаля					a	a
	(x2 + y2 −	2Rx)2 = a2 (x2 + y2 ) ;				a
	(x2 + y2 −	2Rx)2 = a2 (x2 + y2 ) ;				O	2R	x
	ρ = 2Rcosϕ				+ a .		2R
	ρ = 2Rcosϕ				+ a .
						y
	Гіпоциклоїда (астроїда)					a
		2	2		2
13	x 3 + y 3			= a 3 ;
13				3	t ,	O	a	x
				3		O	a	x
		x = acos
		y = asin3 t.
		y = asin3 t.

						a	a
14	Трипелюсткова троянда
14	ρ = asin3ϕ			(ρ	≥ 0) .	O		ρ
							a
							a
15	Чотирипелюсткова троянда
15	ρ	= a sin2ϕ .				O		ρ
						O		ρ

			Трансцендентні криві
		Циклоїда	y
		Циклоїда	2a
16	x = a(t − sint),			a
16		y = a(1− cos t).	t	a
		y = a(1− cos t).	t	a	2π a x
			O	π a	2π a x

386				Глава 7. Довідковий матеріал
1	2			3
				2аπ
	Спіраль Архімеда			2аπ
17	Спіраль Архімеда			2аπ
	ρ = aϕ (ρ	≥	0) .	2аπ
	ρ = aϕ (ρ	≥	0) .

	Гіперболічна спіраль				M
18	Гіперболічна спіраль				ρ			a
	ρ =	a	(ρ > 0) .					a
		a			ϕ
					ϕ
		ϕ		O					ρ
				O					ρ

19	Логарифмічна спіраль			O					ρ
	ρ	= ea ϕ .							ρ

	Евольвента (розгортка)				y
					y

20		кола
20	x = a(cost + t sint),
							C
	y = a (sint − t cos t).				O	at	C	P(x,y)
					O		A		x

21		Жезл
21	ρ	= a .
			ϕ						ρ
			ϕ	O					ρ

	§9. Деякі важливі криві та поверхні	387


1	2	3
	Трактриса

	x = aln		a −	a2 − y2		+		y
	x = aln				y	+			A(0;a)
					y				A(0;a)
22	+	a2 − y2 ;							M
				t			,	O	P	x
		x = a ln tg		2	+ cos t		,			x
				2
		y = asint .
		y = asint .

Ланцюгова лінія

−

y =

+ e

= a ch a .

9.2 Поверхні другого порядку

1.Сфера

x2 + y2 + z2 = a2

	z
	a
a	О	a
a	О	y
x

2. Еліпсоїд

x2	+	y2	+	z2	= 1.
a2		b2		c2

Еліпсоїд обертання (вісь обертання Oz: b = a ) :

x2 + y2	+	z2	= 1
a2		c2

z
c
a о	b
a о	y
x

388	Глава 7. Довідковий матеріал

3. Гіперболоїди:

а) однопорожнинний

x	2		y	2		z	2	o
		+			−			= 1 ;
a2			b2			c	2

б) двопорожнинний

x2 + y2 − z2 = −1. a2 b2 c2

Гіперболоїди обертання (вісь обертання Oz: b = a ) :

а) однопорожнинний

x2 + y2	−	z2	= 1	;
a2		c2

б) двопорожнинний

x2 + y2 − z2 = −1 a2 c2

§9. Деякі важливі криві та поверхні

4. Конус другого порядку

x2 + y2 − z2 = 0 . a2 b2 c2

Круговий конус (вісь обертання Oz: b = a ) :

x2 + y2 − z2 = 0 , a2 c2

зокрема при a = b = c = 1 :

x2 + y2 − z2 = 0

5. Параболоїди:

а) еліптичний

x2	+	y2	= 2z , pq > 0 .
p		q

Параболоїд обертання (вісь обертання Oz: q = p ) :

x2 + y2 = 2 pz ;

б) гіперболічний

x	2		y	2				о
x		−	y		= 2z ,	pq > 0
p		−	q		= 2z ,	pq > 0
p			q				y
							y

389

390					Глава 7. Довідковий матеріал

6. Циліндри другого порядку:
а) еліптичний
	x2	+	y2	= 1,	z .
	a2		b2
					о

Круговийциліндр(вісьобертан-

ня Oz: b = a ) :

x2 + y2 = a2 , z ;

б) гіперболічний

x2		y2		о
a2	− b2 = 1,		z ;

в) параболічний
y2 = 2 px, p > 0, z	о

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 5639 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 1-1 Высшая математика

#
31.01.202141.44 Кб55325.jpg
#
31.01.202110.43 Кб56Individual work 1.pdf
#
31.01.202187.04 Кб56Individual work 2.doc
#
31.01.202153.25 Кб66REKOMENDOVANA_LITERATURA-1.doc
#
31.01.202128.67 Кб56Titul.doc
#
31.01.202110.23 Mб87visshaya_matematika_chast_IV.pdf
#
31.01.2021539.08 Кб55ВМ - график консультаций.jpg
#
31.01.2021458.12 Кб55ВМ - для идиотов.jpg