1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV
.pdf§4. Індивідуальне завдання 6.4 |
281 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
4. Визначити область абсолютної збіжності ряду: |
||||||||||||
∞ |
|
n2 + 3 |
n2 |
|
n |
|
|
|||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
(z −1) |
|
. |
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
n |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. Обчислити суму ряду з заданою похибкою α |
: |
|||||||||||
∑∞ |
(−1)n−1 |
|
|
, α = 0, 01 . |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
n=1 |
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. Довестирівномірнузбіжністьрядувзазначеномупроміжку, корис- |
||||||||||||
туючись ознакою Вейерштрасса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
, |
(−∞ ,+ ∞ ) . |
|
||
1+ n3 2 x4 |
|
|||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|||||||
7. Розкластифункцію |
f (x) |
врядТейлоравоколіточки x = a тазнай- |
||||||||||
ти радіус R збіжності отриманого ряду: |
|
|
|
|
||||||||
f (x) = ex2 −4x+1, a = 3 . |
|
|||||||||||
8. Розкласти в ряд Маклорена задану функцію |
f (x) , використовую- |
чи ряд Маклорена для її похідної, та знайти область збіжності отриманого
ряду: |
f (x) = arctg |
2 |
+ x2 |
. |
|
|
2 |
− x2 |
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
sh x |
|
|
|
9. Обчислити інтеграл з точністю до 10−3 : ∫ |
dx . |
||||
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
x |
|
|
10. Знайти розкладання в степеневий ряд за степенями х розв’язку |
диференціального рівняння (записати три перших, відмінних від нуля, чле-
ни цього розкладання): |
y′ = xex + 2 y2 , |
y(0) = 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1. |
Знайти суму ряду: |
|
Варіант №6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∞ |
3n + 5 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) ∑ |
|
; |
|
|
б) ∑ (2n2 + 4n + 3)xn+1 . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2. |
n=1 n(n +1)(n + |
2) |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Дослідити на збіжність задані числові ряди: |
|
|
||||||||||||||||||||
|
∞ |
3n 3 n2 |
|
|
∞ |
n2 + 5 |
|
n3 |
|
∞ |
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
||||||||||||||
а) |
∑ |
|
; |
|
б) |
∑ |
|
2 |
|
|
|
; |
|
в) |
∑ |
2 |
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n=1 |
(n + 2)! |
|
|
n=1 |
|
n |
− |
7 |
|
|
|
|
|
n=1 (n + 4) ln (2n + 2) |
|
||||||
г) |
∑∞ |
|
(−1)n sin2 n |
; |
|
|
|
д) |
∑∞ |
|
(1+ i)n n |
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
n=1 |
n! |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§4. Індивідуальне завдання 6.4 |
|
|
283 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
n |
+ 3 |
n |
|
|
∞ |
(2 + i)n n |
|
|
|
|
||||||||||
г) ∑ |
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
д) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3. |
n=1 |
|
|
|
|
|
2n −1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Визначити область збіжності ряду: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
∞ |
(x +1)n |
|
|
|
3n − 2 |
|
|||||||||
а) |
∑ |
x |
|
sin |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
б) ∑ |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
. |
||||
|
2 |
n |
|
|
|
|
n +1 |
|
3n + 2 |
|||||||||||||||||||
4. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Визначити область абсолютної збіжності ряду: |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
3n (z +1) n + ∞ |
|
|
2n |
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
n=1 n (z +1)n |
|
|
||||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Обчислити суму ряду з заданою похибкою α |
: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑∞ |
|
(−1)n−1 (n +1) |
, α = |
0, 001 . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n +1)! |
|
|
|
||||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Довестирівномірнузбіжністьрядувзазначеномупроміжку, корис- |
||||||||||||||||||||||||||||
туючись ознакою Вейерштрасса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑∞ |
|
sin2 2nx |
, |
|
|
(−∞ , +∞ |
|
) . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 3 x2 + n4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
Розкластифункцію f (x) врядТейлоравоколіточки x = a тазнай- |
|||||||||||||||||||||||||||
ти радіус R збіжності отриманого ряду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
, a = 3 . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 6x +18 |
|
|||||||||||||||
8. Розкласти в ряд Маклорена задану функцію |
f (x) , використовую- |
чи ряд Маклорена для її похідної, та знайти область збіжності отриманого
ряду: f (x) = arctg 2 − 2x2 . 1 + 4x2
1
9. Обчислити інтеграл з точністю до 10−3 : ∫ sin x2dx .
0
10. Знайти розкладання в степеневий ряд за степенями х розв’язку диференціального рівняння (записати три перших, відмінних від нуля, чле-
ни цього розкладання): |
(1− x) y′′ + y = 0, y(0) = 0 , y′(0) = 1. |
|||||
1. Знайти суму ряду: |
Варіант №8 |
|||||
|
|
|
||||
а) ∑∞ |
1 − n |
|
; |
б) ∑∞ |
(−1)n x2n+2 |
. |
n=1 n(n +1)(n + |
3) |
|
n=1 8n (2n + 2) |
284Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності
2.Дослідити на збіжність задані числові ряди:
∞ |
3n! |
|
∞ |
|
n + 4 |
n2 |
∞ |
1 |
|
|
а) ∑ |
|
; |
б) ∑ |
|
|
|
; |
в) ∑ |
|
; |
3n + 2 |
|
(n −1) ln(n − 2) |
||||||||
n=1 |
|
n=1 |
|
n + 2 |
|
n=1 |
|
г) ∑∞ |
(−1)n+1 2n |
; |
д) ∑∞ |
1 |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||||
|
n=1 (n +1) 3n |
|
n=1 (n − i) n |
|
|
|
||||
3. |
Визначити область збіжності ряду: |
|
||||||||
а) ∑∞ |
(−1)n+1 |
; |
б) ∑∞ |
3 2n +1 − 3 2n −1 |
(x + 3)n . |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
4. |
n=1 2n + sin x |
|
n=1 |
n |
|
|||||
Визначити область абсолютної збіжності ряду: |
||||||||||
|
|
|
|
|
∑∞ |
|
(n +1)(z − 2)n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
n=1 |
4n+2 |
|
|
|
5. Обчислити суму ряду з заданою похибкою α :
∞ |
(−1)n+1 |
|
|
||||
∑ |
|
|
|
|
, α = |
0, 001 . |
|
(n −1)!(2n −1) |
|||||||
n=1 |
|
|
|||||
6. Довестирівномірнузбіжністьрядувзазначеномупроміжку, корис- |
|||||||
туючись ознакою Вейерштрасса: |
|
|
|||||
∞ |
n2 |
x2 sin x |
|
|
|||
∑n=1 |
|
|
|
|
, (−∞ ,+ ∞ ) . |
||
n +1 |
1+ n5 x6 |
||||||
7. Розкластифункцію f (x) врядТейлоравоколіточки x = a тазнай- |
|||||||
ти радіус R збіжності отриманого ряду: |
|
|
|||||
f (x) = ln (x2 + 6x +12) , |
a = −3 . |
8. Розкласти в ряд Маклорена задану функцію f (x) , використовуючи ряд Маклорена для її похідної, та знайти область збіжності отриманого
ряду: f (x) = arctg 6−+ x22 . 3 2x
1
9. Обчислити інтеграл з точністю до 10−3 : ∫ cos 3 x dx .
0
10. Знайти розкладання в степеневий ряд за степенями х розв’язку диференціального рівняння (записати три перших, відмінних від нуля, чле-
ни цього розкладання): y′ = cos x + x2 , y(0) = 0 .
|
|
|
|
|
|
|
§4. Індивідуальне завдання 6.4 |
|
|
|
|
|
285 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Знайти суму ряду: |
|
|
Варіант №9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∞ |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1)n−1 xn |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) |
∑ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
б) ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
− |
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
n(n |
+1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. |
n=1 n(n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Дослідити на збіжність задані числові ряди: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
n! n |
|
|
|
∞ |
|
7n2 +18n −15 n3 |
|
|
∞ |
1 |
2 |
|
|
|||||||||||||||
а) |
∑ |
|
n |
; |
|
б) |
∑ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
; в) |
∑ |
|
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n=1 2 |
|
|
|
|
|
n=1 |
7n +11n +15 |
|
|
|
|
n=1 (2n + 5) ln (2n + 3) |
|||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
|
+ 2i |
|
|
n |
|
|
|
|
||||||
г) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
д) ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ i)n + |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. |
n=1 |
(n + 2) ln(n +1) |
|
|
|
n=1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Визначити область збіжності ряду: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
а) |
∑∞ |
(−1)n |
arctg(xn ) ; |
|
|
б) ∑∞ |
3n (n3 + 2)(x −1)2n . |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
4. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Визначити область абсолютної збіжності ряду: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
(n +1)n zn |
+ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
2n zn |
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Обчислити суму ряду з заданою похибкою α |
: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑∞ |
|
(−1)n−1 n |
|
, |
α = |
0,1 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Довестирівномірнузбіжністьрядувзазначеномупроміжку, корис- |
||||||||||||||||||||||||||||||
туючись ознакою Вейерштрасса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
arctg(nx) |
, (−∞ |
,+ ∞ ) . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑n=1 x4 + n3 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
Розкластифункцію |
f (x) врядТейлоравоколіточки x = a тазнай- |
||||||||||||||||||||||||||||
ти радіус R збіжності отриманого ряду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, a = 4 . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x2 − 8x + 24 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
8. |
Розкласти в ряд Маклорена задану функцію |
f (x) , використовую- |
чи ряд Маклорена для її похідної, та знайти область збіжності отриманого
ряду: |
f (x) = x2arctg |
1 3 |
+ 3x2 |
. |
|
|
x |
|
|
|
|||
|
|
2 −1 |
|
|
||
|
|
|
1 |
dx |
|
|
|
9. Обчислити інтеграл з точністю до 10−3 : ∫ |
. |
||||
|
|
|||||
|
|
|
0 |
1 + x4 |
286Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності
10.Знайти розкладання в степеневий ряд за степенями х розв’язку диференціального рівняння (записати три перших, відмінних від нуля, чле-
ни цього розкладання): |
y′′ + y cos y |
− x |
= 0, |
y(0) = 0, |
y′(0) = |
π |
. |
||||||||
3 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
Знайти суму ряду: |
Варіант №10 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) ∑∞ |
n − 4 |
|
|
; |
б) |
∑∞ |
(n2 − n −1)xn . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
n=1 n(n +1)(n + 2) |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Дослідити на збіжність задані числові ряди: |
|
|
|||||||||||||
|
∞ |
4n 4 n4 + 8 |
|
|
|
|
∞ |
3n2 + 4n −1 2n2 |
|
|
|||||
а) |
∑ |
|
; |
|
|
б) |
∑ |
|
2 |
|
|
; |
|
|
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
3n |
+ 2n + 7 |
|
|
|
в) ∑∞ |
|
|
|
1 |
|
; |
|
|
г) ∑∞ |
(−1)n+1 (n + 4) |
; |
д) ∑∞ |
nn |
. |
|||||||
3. |
n=1 (2n + 5) ln2 (n + 2) |
|
|
|
|
n=1 |
|
ln (n + 5) |
n=1 n!(e − i)n |
|
|||||||||||
Визначити область збіжності ряду: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
а) ∑∞ |
|
n |
e− |
n2 |
|
|
|
|
|
б) ∑∞ |
4n2 (x +1)n2 . |
|
|
|
|||||||
|
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4. |
n=1 x2 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Визначити область абсолютної збіжності ряду: |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n |
+ 2 n2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
(z −1+ i) |
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. |
|
|
|
|
|
n=1 n |
+ 5 |
|
|
|
|
|
: |
|
|
||||||
Обчислити суму ряду з заданою похибкою α |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1)n−1 |
|
α = 0, 01 . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. |
|
|
|
|
|
∑n=1 n2 (n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Довестирівномірнузбіжністьрядувзазначеномупроміжку, корис- |
|||||||||||||||||||||
туючись ознакою Вейерштрасса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∑∞ |
sin2 |
|
|
x |
|
, [0, +∞ |
|
) . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
1+ n2 x |
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
Розкластифункцію |
|
f (x) врядТейлоравоколіточки x = a тазнай- |
||||||||||||||||||
ти радіус R збіжності отриманого ряду: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f (x) = (x +1) cos2 x, a = −1 . |
|
|
|
||||||||||||
8. Розкласти в ряд Маклорена задану функцію |
f (x) , використовую- |
чи ряд Маклорена для її похідної, та знайти область збіжності отриманого
ряду: f (x) = x3arctg 4 − x3 . 2(1+ x3 )
288Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності
8.Розкласти в ряд Маклорена задану функцію f (x) , використовуючи ряд Маклорена для її похідної, та знайти область збіжності отриманого
ряду: f (x) = arctg |
|
1 |
− 2x |
. |
1 |
|
|||
|
+ 2x |
2
9. Обчислити інтеграл з точністю до 10−3 : ∫ xe−x dx .
1
10. Знайти розкладання в степеневий ряд за степенями х розв’язку диференціального рівняння (записати три перших, відмінних від нуля, чле-
ни цього розкладання): |
|
y′′ = xyy′, |
|
y(0) = 1, |
|
y′(0) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
Знайти суму ряду: |
Варіант №12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
n + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n+1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|||||||||
а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
б) ∑ |
(−1) |
+ |
|
|
x |
. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(n + |
2)(n |
2 |
− 4) |
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Дослідити на збіжність задані числові ряди: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
5 |
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n |
2 |
−1 |
n4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
||||
а) |
∑ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
б) |
∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
в) |
∑ |
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n +1) ln(2n + 2) |
|
||||||||||||
|
n=1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|||||||||||||
г) |
∑∞ |
|
|
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
д) |
∑∞ |
sin in |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n=1 sin |
|
|
π |
3 1 − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
3 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Визначити область збіжності ряду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(x + 3)n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) |
∑ |
ln 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
б) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 + n |
3 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Визначити область абсолютної збіжності ряду: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
z |
|
|
|
n + ∞ |
(n +1)2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
n +1 |
|
|
n=1 |
|
3 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Обчислити суму ряду з заданою похибкою α |
: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
(−1)n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, α = 0, 001 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 4n−1 (2n −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6. Довестирівномірнузбіжністьрядувзазначеномупроміжку, корис- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
туючись ознакою Вейерштрасса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑∞ |
nxe− x2n5 , |
(−∞ |
,+ ∞ |
|
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§4. Індивідуальне завдання 6.4 |
289 |
|
|
7. Розкластифункцію f (x) врядТейлоравоколіточки x = a тазнайти радіус R збіжності отриманого ряду:
f (x) = sin π4x , a = 2 .
8. Розкласти в ряд Маклорена задану функцію f (x) , використовуючи ряд Маклорена для її похідної, та знайти область збіжності отриманого
ряду: f (x) = arctg(x + 1+ x2 ) .
1 2 |
|
|
dx |
|
|
9. Обчислити інтеграл з точністю до 10−3 : ∫ |
|
|
|
. |
|
1 |
+ x |
5 |
|||
0 |
|
|
|||
10. Знайти розкладання в степеневий ряд за степенями х розв’язку |
диференціального рівняння (записати три перших, відмінних від нуля, чле-
ни цього розкладання): y′′ = yex − xy′2 , y(0) = 0, |
|
y′(0) = 1. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
Знайти суму ряду: |
|
|
Варіант №13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
x2n+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
б) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
(2n + 5)(2n + |
7) |
|
|
|
(2n + 2)(2n + 3) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Дослідити на збіжність задані числові ряди: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
5n2 + 3n −1 n4 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||
а) |
∑ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
б) |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
в) |
∑ |
|
|
|
|
|
; |
||||
|
2 |
n |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
5n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3n − 2) ln |
2 |
(4n − 3) |
|||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
+ 3n + 3 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
∞ |
cos |
n + i sin n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
г) |
∑ |
(−1) |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
; |
|
|
д) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Визначити область збіжності ряду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
n |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
n2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) |
∑ |
2 |
|
sin |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
∑ |
1− |
|
|
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Визначити область абсолютної збіжності ряду: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
z n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
n! |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Обчислити суму ряду з заданою похибкою α : |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
(−1)n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
, |
|
α = |
0, 001 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
3n (n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
290Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності
6.Довестирівномірнузбіжністьрядувзазначеномупроміжку, користуючись ознакою Вейерштрасса:
∑∞ e− nx , [1, +∞ ) .
n=1
7.Розкластифункцію f (x) врядТейлоравоколіточки x = a тазнайти радіус R збіжності отриманого ряду:
f (x) = ln (3x + 5), a = 23 .
8. Розкласти в ряд Маклорена задану функцію f (x) , використовуючи ряд Маклорена для її похідної, та знайти область збіжності отриманого
ряду: f (x) = |
1 |
arctg |
2x |
. |
2 |
|
|||
|
|
1− x2 |
4
9. Обчислити інтеграл з точністю до 10−3 : ∫ e1x dx .
2
10. Знайти розкладання в степеневий ряд за степенями х розв’язку диференціального рівняння (записати три перших, відмінних від нуля, чле-
ни цього розкладання): |
y′ = xy + x2 + y2 , |
y(0) = 0 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||
1. |
Знайти суму ряду: |
|
Варіант №14 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
5n + 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) ∑ |
|
|
; |
|
|
|
б) ∑ (3n2 + 5n + 5)xn+1 . |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2. |
n=1 n(n +1)(n + 4) |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Дослідити на збіжність задані числові ряди: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
∞ |
(n +1)n |
|
|
|
∞ |
6n2 − 7 |
3n3 |
|
∞ |
1 |
|
|||||||||||||
а) |
∑ |
|
; |
|
|
|
|
|
б) |
∑ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
; |
|
в) |
∑ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n=1 |
(n −1)! |
|
|
|
n=1 |
|
6n |
|
|
+ 4 |
|
|
|
|
n=1 |
(n +1) ln(n) |
|
|||||||
г) |
∑∞ |
(−1)n arctg |
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
д) |
∑∞ |
|
(2 + i)n |
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3. |
n=1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n 2n |
|
|
|
|
|||||||
Визначити область збіжності ряду: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
а) |
∑∞ |
nx2e−nx sin |
1 |
; |
|
|
|
|
б) |
∑∞ |
|
|
|
3− n |
(x −1)4 . |
|
|
||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n2 + n +1 |
|
|
|
|
||||||||
Визначити область абсолютної збіжності ряду: |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑∞ |
|
|
|
nn |
(z − i)2n . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|