1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV
.pdf
|
§4. Індивідуальне завдання 6.4 |
301 |
||
|
|
|
||
6. |
Довестирівномірнузбіжністьрядувзазначеномупроміжку, корис- |
|||
туючись ознакою Вейерштрасса: |
|
|||
|
∑∞ |
n arctg 2n2 x |
, [0, +∞ ) . |
|
|
|
|
||
|
n=1 3 n7 + n + x |
|
||
7. |
Розкластифункцію |
f (x) врядТейлоравоколіточки x = a тазнай- |
||
ти радіус R збіжності отриманого ряду: |
|
|||
|
f (x) = (x +1) ex , a = −1. |
|
||
8. Розкласти в ряд Маклорена задану функцію |
f (x) , використовую- |
чи ряд Маклорена для її похідної, та знайти область збіжності отриманого
ряду: f (x) = arcsin (2x 1− x2 ) .
0,3
9.Обчислити інтеграл з точністю до 10−3 : ∫ e−2 x2 dx .
10.Знайти розкладання в степеневий ряд за0степенями х розв’язку диференціального рівняння (записати три перших, відмінних від нуля, чле-
ни цього розкладання): y′′ − x2 + y = 0, |
y(0) = 1, |
y′(0) = 0 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
Знайти суму ряду: |
|
Варіант №24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
(−1)n |
|
|
||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
(n + 8)(n + 9) |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
3n + |
|
|
|
|
xn+1 . |
|
|||||||||||
2. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
n + |
1 |
|
|
|
|||||||||||
Дослідити на збіжність задані числові ряди: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
13n + 7 |
|
|
|
|
∞ |
3n2 − 6n + 7 −n2 |
|
|
|
∞ |
|
|
2 |
n +1 |
|
||||||||||||||||
а) |
∑ |
|
|
|
n |
; б) |
∑ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
; в) |
∑ |
|
|
|
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n=1 |
|
n2 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
3n + 20n |
−1 |
|
|
|
n=1 (n |
|
+ 2n + 6) ln(n +1) |
|
||||||||||||||
г) |
∑∞ |
(−1)n+1 |
ln(n +1) |
; |
|
|
|
|
|
|
д) |
∑∞ |
nnein |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3. |
n=1 |
|
|
|
|
|
7n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Визначити область збіжності ряду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(x −1)2n |
|
|
|
|
|
||||||
а) ∑ |
ln |
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
б) ∑ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1+ n |
2 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
n |
2 n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Визначити область абсолютної збіжності ряду: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
z |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
sin n |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
||||||
Обчислити суму ряду з заданою похибкою α |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑∞ |
(−1)n−1 2n |
|
, α = 0, 01 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
302Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності
6.Довестирівномірнузбіжністьрядувзазначеномупроміжку, користуючись ознакою Вейерштрасса:
∑∞ |
(x +1) sin2 nx |
, [–3, 0] . |
||
|
||||
n=1 |
n |
n3 |
+1 |
|
7. Розкластифункцію |
f (x) |
в |
рядТейлоравоколіточки x = a тазнай- |
ти радіус R збіжності отриманого ряду:
f (x) = ln (1− x) , a = −1 .
8. Розкласти в ряд Маклорена задану функцію f (x) , використовуючи ряд Маклорена для її похідної, та знайти область збіжності отриманого
|
|
1 |
|
4x2 |
|
|
|
|
ряду: |
f (x) = |
|
arccos |
|
. |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
1+16x4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
1 5 |
|
dx |
|
|
|
9. Обчислити інтеграл з точністю до 10−3 : ∫ |
|
. |
|||||
|
3 |
125 + x3 |
||||||
|
|
|
|
0 |
|
10. Знайти розкладання в степеневий ряд за степенями х розв’язку диференціального рівняння (записати три перших, відмінних від нуля, чле-
ни цього розкладання): |
y′ = x2 y + yex −1, |
y(0) = 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1. Знайти суму ряду: |
|
|
|
Варіант №25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
|
|
|
n − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
x2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
б) |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
n=1 n(n + 2)(n + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
(2n −1)(2n − |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2. Дослідити на збіжність задані числові ряди: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
3n |
|
|
|
|
|
∞ |
|
n 3n |
−1 |
2n |
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||
а) ∑ |
|
|
|
|
|
; |
|
б) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; в) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||
7 |
n |
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
5n |
|
|
|
n |
+ 3 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||
n=1 |
|
(2n −1) |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
n=1 |
ln |
(n + 8) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||
∞ |
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n |
+ 1+ 3i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
г) ∑ |
(−1) |
|
ln 1+ |
|
|
|
|
|
|
; д) ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
sin |
2 |
|
|
(2 |
+ i)n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. Визначити область збіжності ряду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
а) ∑∞ |
e−nx ; |
|
|
|
|
|
|
|
б) ∑∞ |
(−1)n (x −1)n |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
(n +1)3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. Визначити область абсолютної збіжності ряду: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
n2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z |
− e) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§5. Індивідуальне завдання 6.5 |
303 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Обчислити суму ряду з заданою похибкою α |
: |
|||||||||
∑∞ |
(−1)n+1 |
, α = 0, 01 . |
|
|||||||
|
|
|
||||||||
n=1 5n−1 n2 |
|
|||||||||
6. Довестирівномірнузбіжністьрядувзазначеномупроміжку, корис- |
||||||||||
туючись ознакою Вейерштрасса: |
|
|||||||||
∞ cos nx sin |
1 |
|
|
|
|
|||||
nx |
|
|||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
, [2, +∞ ) . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n=1 |
4 + ln2 nx |
|
||||||||
7. Розкластифункцію |
f (x) врядТейлоравоколіточки x = a тазнай- |
|||||||||
ти радіус R збіжності отриманого ряду: |
|
|||||||||
|
|
1 |
|
, a = 4 . |
|
|||||
|
|
f (x) = |
|
|
||||||
|
|
2x + 5 |
|
|||||||
8. Розкласти в ряд Маклорена задану функцію |
f (x) , використовую- |
чи ряд Маклорена для її похідної, та знайти область збіжності отриманого
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
ряду: |
f (x) = x arccos |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
1 2 |
x − arctg x |
|
|
|
9. Обчислити інтеграл з точністю до 10 |
|
: |
∫ |
|
|
dx . |
||
|
|
x |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
х розв’язку |
|
|
10. Знайти розкладання в степеневий ряд за степенями |
диференціального рівняння (записати три перших, відмінних від нуля, члени цього розкладання): y′′ = x2 y − y′, y(0) = 1, y′(0) = 0 .
§5. Індивідуальне завдання 6.5
Функції комплексної змінної. Операційне числення
[Ч.3, гл.3, §1, приклади1 – 14, §2, приклади1 – 11, §3, приклади1 – 15, §4, приклади 1 – 11, §5, приклади 1 – 15, §6, приклади 1 – 10, гл.4 §1, при-
клади 1 – 13, §2, приклади 1 – 5]
Варіанти завдань
Варіант №1
1.Знайти всі значення кореня 3 27 .
2.Представити в алгебраїчній формі i2i .
304 |
|
|
|
Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3. |
Зобразити на комплексній площині області, задані нерівностями: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
z ≤ 2, Re z< 1, Im z> − 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4. |
Відновити аналітичну в околі точки z0 |
|
функцію f (z) за відомою |
||||||||||||||||||||||||||||||||
дійсною частиною u (x, y) |
та значенням |
f (z0 ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u ( x, y) = |
|
|
|
x |
|
+ x , z0 |
= 1, f ( z0 ) = 2 . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ної кривої: |
|
∫ |
|
(z9 +1) dz , АВС – ламана: |
zA = 0, |
zB = 1 + i, zC = i . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ABC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
Визначити тип особливої точки z = 0 для функції |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
|
ch 3z −1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin z − z + |
z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Обчислити інтеграли: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
v∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz ; |
б) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
7 sin t + 4 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
z− |
3 |
|
|
=2 |
|
z(z |
− π ) z+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+∞ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
(x3 +1) cos x |
|
|
|||||||||||
в) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||||
(x |
2 |
+1) |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
+ 5x |
2 |
+ 4 |
|
|||||||||||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8. |
За даним графіком оригіналу |
f (t) |
знайти зображення F( p) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
a |
|
|
|
|
2a |
|
|
|
3a |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. |
Знайти оригінал f (t) |
за заданим зображенням F( p) : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F ( p) = |
|
|
|
2 − 3 p |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p − 2)( p2 − 4 p + 5) |
|
|
|
|
|
|
§5. Індивідуальне завдання 6.5 |
|
|
|
305 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10. Знайти розв’язок y = y(t) задачі Коші для заданого диференціаль- |
|||||||||||||||
ного рівняння операційним методом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y′′ + y′ −10 y = 47 cos 3t − sin 3t , |
y(0) = 3, |
y′(0) = −1 . |
|||||||||||||
11. Знайтирозв’язок x = x(t) , |
y = y(t) задачіКошідлязаданоїсисте- |
||||||||||||||
ми диференціальних рівнянь операційним методом: |
|
||||||||||||||
|
x′ = y + 3, |
x(0) = 1, |
|
y(0) |
= 0 . |
|
|||||||||
|
y′ = x + 2, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12. Обчислити інтеграл операційним методом: |
|||||||||||||||
|
+∞ |
|
sin 4t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∫ |
e−2t |
dt . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Варіант №2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. Знайти всі значення кореня |
4 |
−1+ i |
3 |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
2. Представити в алгебраїчній формі |
cos |
|
|
+ |
2i . |
||||||||||
6 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Зобразити на комплексній площині області, задані нерівностями: |
|||||||||||||||
| z + i | ≥ 1, | z |< 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Відновити аналітичну в околі точки z0 |
функцію f (z) за відомою |
||||||||||||||
дійсною частиною u (x, |
y) та значенням f (z0 ) : |
|
|
|
|
||||||||||
u (x, y) = x3 − 3xy2 +1, z |
0 |
= 0, f (z ) = 1 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада- |
|||||||||||||||
ної кривої: ∫ (z −1) ez dz , |
L : { | z |= 1, Re z ≥ |
0} . |
|
|
|
|
|
||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Визначити тип особливої точки z = 0 для функції
f (z) = z3e7z2 .
7. Обчислити інтеграли:
|
|
2dz |
|
|
|
2π |
|
|
dt |
|
|
|
||
а) v∫ |
|
|
dz ; |
б) ∫ |
|
|
|
|
; |
|||||
z2 (z −1) |
4 + 15 sin t |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
x −1 |
|
|
+∞ |
(x −1) sin x |
|
|
|||||
в) ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx ; |
г) ∫ |
|
|
|
|
dx . |
|
|
(x |
2 |
+ |
4) |
2 |
(x |
2 |
+ 9) |
2 |
|||||
−∞ |
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
306Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності
8.За даним графіком оригіналу f (t) знайти зображення F( p) . f(t)
1 |
|
|
|
a |
2a |
|
|
|
|
|
t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
3a |
|
|
|||||||||||||
|
–1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) за заданим зображенням F( p) : |
|||||||||||||
9. Знайти оригінал |
||||||||||||||||
|
|
|
|
F ( p) = |
|
|
p |
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
( p +1)( p2 + p +1) |
|
|
|
|||||||||
10. Знайти розв’язок y = y(t) |
задачі Коші для заданого диференціаль- |
|||||||||||||||
ного рівняння операційним методом: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
y′′ − y′ = t2 , y(0) = 0, |
y′(0) = 1 . |
|||||||||||
11. Знайтирозв’язок x = x(t) , |
y = y(t) задачіКошідлязаданоїсисте- |
|||||||||||||||
ми диференціальних рівнянь операційним методом: |
||||||||||||||||
|
x′ = −x + 3y +1, |
x(0) = 1, y(0) = 2 . |
||||||||||||||
|
|
+ y , |
||||||||||||||
|
y′ = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12. Обчислити інтеграл операційним методом: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
∫ |
e−t − e−2t |
dt . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Варіант №3 |
|
|
|
|
|
|
||||
1. Знайти всі значення кореня 4 −128 − i128 |
3 . |
|
|
2.Представити в алгебраїчній формі sh (2 − iπ ) .
3.Зобразити на комплексній площині області, задані нерівностями:
| z −1| ≤ 1, arg≤ |
π |
, arg (−z |
1)> π |
|
. |
4 |
|
||||
|
|
4 |
|
||
4. Відновити аналітичну в околі точки z0 функцію f (z) за відомою |
|||||
дійсною частиною u (x, y) |
та значенням f (z0 ) : |
||||
|
|
u (x, y) = −2xy − 2 y , z0 = 0 , f (z0 ) = i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§5. Індивідуальне завдання 6.5 |
|
|
|
|
307 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ної кривої: |
|
|
|
∫ |
(sin z + z5 ) dz , АВС – ламана: |
zA = 0, zB = 1, |
zC = 2i . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ABC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. Визначити тип особливої точки z = 0 для функції |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
|
sin z4 − z4 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh z − z − |
z3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. Обчислити інтеграли: |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) v∫ |
|
|
dz ; |
|
б) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
z cos z |
|
|
|
2 sin t + |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
z |
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
3 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
x2 + |
2 |
|
|
|
|
|
|
+∞ |
cos 2x − cos x |
|
|
|
||||||||||||
в) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
г) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|||||||
|
|
x |
4 |
+ 7x |
2 |
+12 |
|
(x |
2 |
|
+1) |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
8. За даним графіком оригіналу |
f (t) |
знайти зображення F( p) . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
a |
|
|
|
2a |
3a |
|
|
|
4a |
t |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. Знайти оригінал |
f (t) |
за заданим зображенням F( p) : |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F ( p) = |
|
|
|
|
2 − p |
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p3 − 2 p2 + 5 p |
|
|
|
||||||||||||||
10. Знайти розв’язок y = y(t) |
задачі Коші для заданого диференціаль- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ного рівняння операційним методом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ − 2 y′ = et (t2 + t − 3) , |
y(0) = y′(0) = 2 . |
|
||||||||||||||||||||
11. Знайтирозв’язок x = x(t) , |
y = y(t) задачіКошідлязаданоїсисте- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ми диференціальних рівнянь операційним методом: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x′ |
= −x + 3y + 2 , |
x(0) = 0 , y(0) = 1. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y +1, |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12. Обчислити інтеграл операційним методом: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
cos3t − cos 4t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
dt . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
308 |
|
|
Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
Знайти всі значення кореня 3 i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + |
iπ |
|
|
|
||||||
Представити в алгебраїчній формі |
sh |
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
Зобразити на комплексній площині області, задані нерівностями: |
|||||||||||||||||||||||||||||
| z +1| ≥ 1, | z+ i |< 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. Відновити аналітичну в околі точки z0 |
функцію |
f (z) за відомою |
||||||||||||||||||||||||||||
дійсною частиною u (x, |
y) та значенням |
|
f (z0 ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
u (x, y) = x2 − y2 − 2 y , z |
0 |
= 0, f (z ) = 0 . |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада- |
||||||||||||||||||||||||||||||
ної кривої: |
∫ (z2 + 7z +1) dz , АВ – відрізок прямої: |
|
zA = 1, |
|
zB = 1− i . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Визначити тип особливої точки z = 0 для функції |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
cos 7z −1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh z − z − |
z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
Обчислити інтеграли: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 + sin z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) |
v∫ |
|
|
dz ; |
|
б) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||
|
|z|=1 z(z + 2i) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
6 + 35 sin t |
|
|
|||||||||||||||||
|
+∞ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
x2 cos x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
в) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
г) |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|||||
(x |
2 |
+ 4) |
2 |
(x |
2 |
+16) |
|
|
(x |
2 |
+1) |
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8. |
За даним графіком оригіналу f (t) |
знайти зображення F( p) . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3a |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
a |
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
4a |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1
–2
§5. Індивідуальне завдання 6.5 |
309 |
||||
|
|
|
|
||
9. Знайти оригінал f (t) за заданим зображенням F( p) : |
|
||||
F ( p) = |
1 |
|
. |
|
|
|
p ( p2 +1) |
|
|||
10. Знайти розв’язок y = y(t) |
задачі Коші для заданого диференціаль- |
||||
ного рівняння операційним методом: |
|
|
|
||
y′′ − y = cos 3t , |
|
y(0) = 1, |
|
y′(0) = 1 . |
|
11. Знайтирозв’язок x = x(t) , |
|
y = y(t) |
задачіКошідлязаданоїсисте- |
||
ми диференціальних рівнянь операційним методом: |
|
||||
x′ = x + 2 y +1, |
|
x(0) = 0, y(0) = 1 . |
|
||
|
|
|
y′ = 4x − y ,
12. Обчислити інтеграл операційним методом:
+∞ |
e−3t sin t |
|
|
∫ |
dt . |
||
|
|||
0 |
t |
||
|
|
Варіант №5
1.Знайти всі значення кореня 4 1 .
2.Представити в алгебраїчній формі сh π2i .
3.Зобразити на комплексній площині області, задані нерівностями:
| z +1 | ≤ 1, | z− i |≤ 1 . |
|
|
|
|
|
4. Відновити аналітичну в околі точки z0 функцію |
f (z) за відомою |
||||
дійсною частиною u (x, y) |
та значенням |
f (z0 ) : |
|
||
u (x, y) = |
e2 x +1 |
cos y , z0 |
= 0, f (z0 ) = 2 . |
|
|
ex |
|
|
|||
|
|
|
|
||
5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада- |
|||||
ної кривої: ∫ | z | dz , АВС – ламана: zA = 0 , zB = −1+ i , |
zC = 1+ i . |
||||
ABC |
|
|
|
|
|
6. Визначити тип особливої точки z = 0 для функції
f (z) = |
ch 6z − 6z |
. |
|
|
|||
|
sh z −1− |
z2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
310 |
|
Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. Обчислити інтеграли: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
а) |
v∫ |
|
|
|
dz ; |
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||
|z−3|= |
1 sin z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
7 + 4 3 sin t |
|
||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
(x +1) cos x |
|
|
|
||||||||
в) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
г) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
||||
|
(x |
2 |
+ x +1) |
2 |
|
x |
4 |
+ 5x |
+ 6 |
|
|||||||||||||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
8. За даним графіком оригіналу f (t) знайти зображення F( p) . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
a |
2a |
|
|
|
|
3a |
t |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
|
f (t) за заданим зображенням F( p) : |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
9. Знайти оригінал |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F ( p) = |
|
|
|
|
p + 3 |
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p3 + 2 p2 + 3 p |
|
|
|
||||||||||||||
10. Знайти розв’язок y = y(t) |
задачі Коші для заданого диференціаль- |
||||||||||||||||||||||||||||
ного рівняння операційним методом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y′′ + y′ + y = 7e2t , |
y(0) = 1, |
y′(0) = 4 . |
|
|||||||||||||||||||
11. Знайтирозв’язок x = x(t) , |
y = y(t) задачіКошідлязаданоїсисте- |
||||||||||||||||||||||||||||
ми диференціальних рівнянь операційним методом: |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x′ = |
2x + 5 y , |
|
x(0) = 1, y(0) = 1 . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y′ = x − 2 y + 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12. Обчислити інтеграл операційним методом: |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
e−t − e−5t |
|
dt . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №6 |
|
|
|
|
|
||||||||||
1. Знайти всі значення кореня |
4 −1− i |
3 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2. Представити в алгебраїчній формі Ln (1+ i) .