Добавил:

AAA1 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.01.2021

Размер:

10.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 5617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

			§4. Індивідуальне завдання 3.4					161

	4.	Обчислити ∫		dl		, де L – відрізок прямої		y = 1− x , що з’єднує
	4.	Обчислити ∫		x + y		, де L – відрізок прямої		y = 1− x , що з’єднує
			L	x + y
			L
точки	A(0; 1)		і B(1; 0) .
	5.	Обчислити ∫ x2 ydx + x3dy , де L – контур, що обмежений парабо-
			L
лами	y2 = x		і x2 = y та пробігає проти годинникової стрілки.
							Варіант №9
							1	2−x2
	1.	Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dx ∫ f (x, y) dy .
							0	x
			4		16−x2		b
	2.	Обчислити ∫ dx			∫		dy∫ dz .
			0	−	16−x2		0

3. Знайтиоб’ємтіла, обмеженогоповерхнями z = x2 + y2 , x2 + y2 = 4 ,

z ≥ 0 .

4. Обчислити v∫ (x − y) dl , де L – коло x2 + y2 = ax .

L G G G

5. Полеутворенесилою F = yi + aj . Знайтироботуприпереміщенні точки прикладання сили проти годинникової стрілки вздовж контуру, утво-

реного півосями координат і першою чвертю еліпса x = a cos t ,

y = b sin t .

Варіант №10

12x

1. Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dx ∫ f (x, y) dy .

3x2

2. Обчислити ∫∫

dxdy , якщообласть D обмеженапрямими y = x

x = 2 і гіперболою xy = 1 .

3. Знайти масу тіла густини γ (x, y, z) = x + y + z , якщо воно обмеже-

не площинами x = 0,

y = 0, z = 0,

x = a,

y = b, z = c .

4. Обчислити

∫ arctg

dl ,

де

L – дуга кардіоїди ρ

= 1+ cos ϕ

0 ≤ ϕ ≤

162 Глава 3. Інтегральне числення функцій однієї та багатьох змінних

5. Обчислити ∫ xydx + ( y − x) dy вздовжлінії y = x2					відточки O(0; 0)
L
до точки A(1; 1) .
	Варіант №11
			2	2x
1. Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dx ∫					f (x, y) dy .
			1	x
2. Обчислити ∫∫∫	y2 zdxdydz	, V: y ≥ 0 ,	y ≤	3x , z = 3(x2 + y2 ) ,
2. Обчислити ∫∫∫		, V: y ≥ 0 ,	y ≤	3x , z = 3(x2 + y2 ) ,
V	(x2 + y2 )3
z = 3 .
3. Знайти об’єм тіла, обмеженого циліндром				x2 + y2 = 2x , парабо-
лоїдом z = x2 + y2 і площиною z = 0 .

4. Знайтимасудугикола	x = cos t ;
	y = sin t, (0 ≤ t≤ π ),

його в кожній точці дорівнює y.

5. Обчислитикриволінійнийінтеграл ∫ xy2dx +

якщолінійнагустина

(x + y) dy вздовжлінії

y = x2 від точки (0; 0)		до точки (2; 4) .
			Варіант №12
				a	2ax−x2
1. Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dx					∫ f (x, y) dy .
				a 2	0
2.	Обчислити ∫∫ xdxdy ,		де D – трикутник з вершинами в точках
	D
O(0; 0);	A(1; 1); B(0; 1) .
3.	Знайти об’єм тіла, обмеженого параболоїдом z = 2x2 + y2 +1, пло-
щиною x + y = 1 та координатними площинами.
4.	Обчислити ∫	dl		, де L – відрізок прямої, що з’єднує точ-
4.	Обчислити ∫	x2 + y2	+ 4	, де L – відрізок прямої, що з’єднує точ-
	L	x2 + y2	+ 4

ки O(0; 0) і A(1; 2) .

§4. Індивідуальне завдання 3.4

163

Обчислити ∫ (2a − y) dx + xdy , де

L – дуга першої арки циклоїди

x = a(t − sin t);

від точки O(0; 0) до точки

A(2π a; 0) .

y = a(1

− cos t)

Варіант №13

5−x2

Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dx

∫

f (x, y) dy .

Обчислити ∫∫∫ xdxdydz , де V – область,

що обмежена конусом

x2 =

(z2 + y2 ) і площиною x = h (x ≥ 0) .

Знайтиоб’ємтіла, обмеженого параболоїдом y = x2 + z2 і площи-

ною y = 1 .

Обчислити ∫ y2dl , де L: x = a(t − sin t) ;

– перша арка циклоїди

y = a(1− cos t)

(0 ≤

t≤ π2 ) .

Знайти роботу сили FG = (x + y)iG+ (x − y) Gj

при переміщенні точки

із початку координат у точку A(1; 1) вздовж кривої

y = x3 .

Варіант №14

3−x

Змінити порядок інтегрування в інтегралі

∫ dx

∫ f (x, y) dy .

−2

x2 +1

Обчислити ∫∫∫

ydxdydz

, V: x2 + y2 = 2x ,

x + z = 2 ,

y ≥ 0 , z ≥

0 .

x2 + y2

3. Обчислити v∫

x2 + y2 dl , де L – коло x2 + y2 = 2 y .

Обчислити ∫ (x + y) dx + (x − y) dy ,

де L – дугапараболи y = x2

від

точки A(−1; 1) до точки B(1; 1) .

164 Глава 3. Інтегральне числення функцій однієї та багатьох змінних

5. Поле утворене силою FG = − yiG+ xjG . Знайти роботу сили при пере-

		x = a cos		3	t ;			π
		x = a cos			t ;		t≤	π
міщенні точки вздовж дуги астроїди						0 ≤			.
міщенні точки вздовж дуги астроїди						0 ≤		2	.
		y = a sin		3	t ,			2

	Варіант №15
						2	x+2
1. Змінити порядок інтегрування в інтегралі						∫ dx ∫ f (x, y) dy .
						−1	x2
2. Обчислити ∫∫∫	x2dxdydz		, V: x2		+ y2 + z2 = 16 , z ≥ 0 .
2. Обчислити ∫∫∫			, V: x2		+ y2 + z2 = 16 , z ≥ 0 .
V	(x2 + y2 + z2 )3

3. Обчислити v∫ (x − y) dl , де L – коло x2 + y2 = 2x .

4.	Обчислити ∫ (x − y) dx + dy , де L – дуга верхньої половини кола
		L
x2 + y2 = R2 , що пробігає проти годинникової стрілки.
5. Знайти масу тіла, обмеженого параболоїдом 2z = x2 + y2 і площи-
ною z = 2 , якщо у кожній її точці густина γ (x, y, z) = x2 + y2 .
		Варіант №16
			4		2 x
1.	Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dx				∫	f (x, y) dy .
			0		4 x−x2
2.	Знайти ∫∫∫	zdxdydz		, V: 1 ≤ x2+ y2+ z2≤	9 ,	y ≤	x	, y ≥ 0 ,
		x2 + y2 + z2					x

z ≥ 0 .	V					3
z ≥ 0 .
3.	Обчислити	∫ xydl , де	L – контур прямокутника з вершинами в
		L
точках A(2; 0), B(4; 0), C(4; 3), D(2; 3) .
4.	Обчислити ∫ (x2 − y) dx ,			де L – контур прямокутника, утвореного
		L

прямими x = 0, y = 0, x = 1, y = 2 при додатному напрямку обходу контура.

5. Знайти масу тіла, обмеженого конусом z = x2 + y2 і площиною z = b , якщо густина у кожній його точці пропорційна аплікаті цієї точки.

§4. Індивідуальне завдання 3.4	165

Варіант №17

		1	y
1.	Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dy ∫ f (x, y) dx .
		0	y2
2.	Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями			z = x2 + y2 ,
x2 + y2 + z2 = a2 (всередині конуса).
3. Обчислити v∫ (x2 + y2 )2 dl , де L – коло x = 3cos t ;
	L	y = 3sin t .
4.	Обчислити ∫ y (x − y) dx + xdy , де L – дуга параболи y = 2x2 від
	L
точки O(0; 0) до точки A(1; 2) .
5. Знайти масу півкулі x2 + y2 + z2 ≤ 1 ,		z ≥ 0 , якщо густина матеріа-
лу γ (x, y, z) = 2 x2 + y2 + z2 .
	Варіант №18
		6	7−x
1.	Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dx ∫ f (x, y) dy .
		1	6 x
2.	Знайти об’єм тіла, обмеженого	поверхнями		az = x2 + y2 ,
2az = a2 − x2 − y2 .

3. Обчислити ∫ x2dl , де L – дуга верхньої половини кола x2 + y2 = R2 .

				L
		4. Обчислити ∫ (xy −1) dx + x2 ydy , де контур L –					дуга еліпса
					L
	x = cos t ;			π
	y =	2 sin t ,	0 ≤ t≤		.
			0 ≤ t≤	2	.
				2
		5. Знайти масу кругової пластинки радіуса R, густина якої в кожній
точці		дорівнює відстані цієї точки від контуру круга.
					Варіант №19
					0	1−x2
		1. Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dx				∫	f (x, y) dy .

−1 x+1

166 Глава 3. Інтегральне числення функцій однієї та багатьох змінних

2. Обчислити	∫∫∫ y x2 + y2 dxdydz ,		V: z ≥ 0 , z = 2 , y ≥ ± x ,
	V
z2 = 4 (x2 + y2 ) .
3. Обчислити ∫	dl	, де L – відрізокпрямої x − 2 y = 4 , щоз’єд-
	x2 + y2
L
нує точки A(0; − 2) і B(4; 0) .
4. Обчислити v∫ 2x( y −1)dx + x2dy , де			L – замкнений контур, обме-
L
жений лініями y = x2	і y = 9 .

5. Знайти масу тіла, обмеженого циліндричною поверхнею x2 = 2 y і

площинами y + z = 1, 2y + z = 2 , якщовкожніййого точціоб’ємна густина чисельно дорівнює ординаті цієї точки.

Варіант №20

					2	y
1.	Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dy ∫						f (x, y) dx .
					1	1 y
2. Обчислити ∫∫∫		xydxdydz			, V: z = x2 + y2 ,	y ≥	0 ,	y ≤ x , z = 4 .
2. Обчислити ∫∫∫		(x2 + y2 )3			, V: z = x2 + y2 ,	y ≥	0 ,	y ≤ x , z = 4 .
	V	(x2 + y2 )3
3.	Знайти ∫ x2 + y2 dl , де L – коло x2 + y2 = 2y .
	L
4. Обчислити ∫ cos2 x dx +			dy	, де L – дугакривої y = tg x від x1 = π 4
4. Обчислити ∫ cos2 x dx +			3	, де L – дугакривої y = tg x від x1 = π 4
	L		y
до x2 = π	3 .
5.	Знайти масу круглої пластинки радіуса R,					густина якої в кожній
точці пропорційна квадрату її відстані від центра пластинки.
		Варіант №21					1 x2
					1	3−	1 x2
					1		2
1.	Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dx						∫	f (x, y) dy .
					0	2− 1 x
							2
2.	Обчислити ∫∫ x3 ydxdy , якщо область D обмежена лініями y = x2 ,

y = x + 2 .

§4. Індивідуальне завдання 3.4	167

3. Обчислити ∫ (x2 + y2 )3 dl , де L – коло x2 + y2 = a2 .

4. Обчислити v∫ x2 ydx − y2dy , де L – замкнений контур, обмежений

лініями

y = x + 2 , x = 0 ,

y = 0 .

5. Знайти масу піраміди з вершинами в точках O(0; 0; 0) , A(1; 0; 0) ,

B(0; 1; 0) , C(0; 0; 1) , якщо об’ємна густина γ (x, y, z)= (2+ x+ y+ z)−3 .

Варіант №22

a2 −x2

1. Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dx

∫ f (x, y) dy .

a2 − x2

Обчислити

∫∫

dxdy

, якщо область D обмежена лінією

+ y

x2 + y2 = R2 .

3. Обчислити ∫

dl , де L – дуга кривої xy = 1 між точками A(1; 1)

і B(2; 1 2) .

4. Обчислити ∫ y2dx + xydy , де L – дугаеліпса x = a cos t , y = bsin t ,

0 ≤ t≤ π

2 .

5. Поле утворене силою

= xi

j . Знайти роботу при перемі-

щенні точки прикладання сили вздовж дуги кривої xy = 1 від точки A(1; 1) до точки B(4; 14) .

Варіант №23

		2 3		2−x
1. Змінити порядок інтегрування в інтегралі			∫	dx ∫ f (x, y) dy .
			0	2 x
2. Обчислити ∫∫	dxdy	, де D : 9 ≤ x2+ y2	≤	49 .
2. Обчислити ∫∫	x2 + y2	, де D : 9 ≤ x2+ y2	≤	49 .
D	x2 + y2

168 Глава 3. Інтегральне числення функцій однієї та багатьох змінних

Знайти об’єм тіла, обмеженого конусом z =

x2 + y2 і сферою

x2 + y2 + z2 = R2 (всередині конуса).

Обчислити ∫ x4 4 ydl , де L – дуга параболи y = x4

між точками

A(0; 0) і

B(1; 1) .

Обчислити ∫ (xy −1) dx + x2 ydy ,

де L – дуга параболи y2 + 4x = 4

від точки A(1; 0) до точки B(0; 2) .

Варіант №24

2−

2 y− y2

Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dy

∫

f (x, y) dx .

Обчислити ∫∫

x2 + y2 dxdy , D :

x2 + y2 = 2ax,

a > 0 .

3. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями y = x2 , y = 1,

x + y + z = 4 , z = 0 .

4. Обчислити ∫ xdl , де L – дугапараболи y = x2

міжточками A(0; 0)

і B(3; 9) .

5. Обчислити ∫ xy3dx + (x2 − y) dy ,

де L – дуга кривої y = x4 від точ-

ки A(0; 0) до точки B(1; 1) .

Варіант №25

6− y

Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dy ∫

f (x, y) dx .

2 y

Знайти ∫∫

2xy

dxdy , D : (x − a)2 + ( y − a)2 ≤

a2 ,

(a > 0) .

+ y

§4. Індивідуальне завдання 3.4	169

3. Знайтиоб’ємтіла, обмеженогоциліндром x2 + y2 = R2 і площина-

ми z = 0, z = 12 , y = 3x, x = 3y .

4.	Знайти ∫ (x − 4 y) dl , де L – коло x2 + y2 = 2ax .
	L
5.	Обчислити ∫ xydx + (x2 + y2 ) dy , де L – дуга кола x2 + y2 = R2 від
	L

точки A(R; 0) до точки B(0; R) .

ГЛАВА 4. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ. РЯДИ

§1. Індивідуальне завдання 4.1

Диференціальні рівняння

[Ч.3, гл.1, §1, приклади 3 – 16, §2, приклади 3 – 23]

Завдання: уприкладах1 – 3 розв’язатидиференціальнірівнянняпершого порядку; у прикладі 4 розв’язати диференціальне рівняння вищих порядків, використовуючи методи зниження порядку; у прикладах 5, 6 знайти загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами; у прикладі 7 знайти частинний розв’язок однорідного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами, що задовольняє задані початкові умови.

								Варіанти завдань
								Варіант №1
1.	(1+ x2 ) dy − 1− y2 dx = 0 .								2.	xy′ = y ln			y	.
1.	(1+ x2 ) dy − 1− y2 dx = 0 .								2.	xy′ = y ln				.
													x
3.	y′ +	y	=	ln x +1		.			4.	(1− x2 ) y′′ − xy′ = 2 .
3.	y′ +	x	=			.			4.	(1− x2 ) y′′ − xy′ = 2 .
		x		x
5.	y′′ + y′ = 6x + ex .								6.	y′′ + y =			1			.
5.	y′′ + y′ = 6x + ex .								6.	y′′ + y =		cos x				.
												cos x
7.	y′′′ − y′ = 0,				y(0) = 3, y′(0) = −1,					y′′(0) = 1 .
								Варіант №2
1.	(x − y2 x)dx + ( y − x2 y)dy = 0 .								2.	( y +	x2 − y2 )dx − xdy = 0 .
3.	(x2 +1) y′ + 4xy = 3 .								4.	x2 y′′ + xy′ = 1.
5.	y′′ + y = cos x − 2e−x .								6.	y′′ + y = (cos 2x)−3 2 .
7.	y′′′ + 2 y′′ +10 y′ = 0, y(0) = 2,								y′(0) = 1,		y′′(0) = 1 .
								Варіант №3
1.	(1+ y2 )dx −				xdy = 0 .				2.	xy + y2 = (2x2 + xy) y′ .
3.	(1− x)( y′ + y) = e						−x	.	4.	′′				′	.
3.	(1− x)( y′ + y) = e							.	4.	y x ln x = y					.

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 5617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 1-1 Высшая математика

#
31.01.202141.44 Кб55325.jpg
#
31.01.202110.43 Кб56Individual work 1.pdf
#
31.01.202187.04 Кб56Individual work 2.doc
#
31.01.202153.25 Кб66REKOMENDOVANA_LITERATURA-1.doc
#
31.01.202128.67 Кб56Titul.doc
#
31.01.202110.23 Mб87visshaya_matematika_chast_IV.pdf
#
31.01.2021539.08 Кб55ВМ - график консультаций.jpg
#
31.01.2021458.12 Кб55ВМ - для идиотов.jpg