1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV

331

9. Знайти оригінал f (t)

за заданим зображенням F( p) :

F ( p) =

p

.

( p −1)( p2 + 4 p + 5)

уявною частиною v (x, y) та значенням

f (z0 ) :

v(x, y) =

e2 x −1

sin y ,

z0 =

0 , f (z0 ) = 2 .

ex

5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада-

ної кривої:

∫ z Re z2dz , AB – відрізок прямої: zA = 0,

zB = 1+ 2i .

AB

6. Визначити тип особливої точки z = 0 для функції

f (z) =

e7z −1

.

cos z −1+

z2

7. Обчислити інтеграли:

2

z2 + z + 3

2π

dt

а) v∫

dz ;

б) ∫

;

|z|=

π (π + z) sin z

0

4 3 sin t − 7

2

332

+∞

x2 + 4

+∞

x sin

x

2

в) ∫

dx ;

г) ∫

dx .

(x

2

+ 9)

2

x

2

−∞

0

+ 4

8. За даним графіком оригіналу f (t)

знайти зображення F( p) .

f(t)

1

0

a

2a

3

a

t

–1

f (t)

за заданим зображенням F( p) :

9. Знайти оригінал

F ( p) =

5 p

.

( p + 2)( p2 − 2 p + 2)

10. Знайти розв’язок y = y(t) задачі Коші для заданого диференціаль-

ного рівняння операційним методом:

y′′ + 4 y = 4e2t

+ 4t2 , y(0) = 1,

y′(0) = 2 .

11. Знайтирозв’язок x = x(t) ,

y = y(t)

задачіКошідлязаданоїсисте-

ми диференціальних рівнянь операційним методом:

x′ =

3y + 2 ,

x(0) = −1,

y(0) = 1 .

y′ = x + 2 y ,

12. Обчислити інтеграл операційним методом:

+∞

sin 3t

∫

e−2t

dt .

0

t

Варіант №22

1. Знайти всі значення кореня 4 −8 − i8

3 .

1−

π i

2. Представити в алгебраїчній формі sh

.

3

3. Зобразити на комплексній площині області, задані нерівностями:

| z −1 | > 1, −1 ≤ Im z≤ 0 , 0≤ Re<z 3 .

4. Відновити аналітичну в околі точки z0 функцію f (z) за відомою

уявною частиною v (x, y)

та значенням f (z0 ) :

v(x, y) = 1 −

y

, z0 = 0 , f (z0 ) = 1+ i .

x2

+ y2

5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада-

ної кривої:

∫ (2z +1) dz ,

AB : { y = x3 ,

zA = 0,

zB = 1+ i} .

AB

6. Визначити тип особливої точки z = 0 для функції

f (z) =

sin 6z − 6z

.

sh z

− z −

z3

7. Обчислити інтеграли:

6

z3 −1

2π

dt

а) v∫

dz ;

б)

∫

;

(z − π )sin 2z

4sin t + 5

|z|=1

0

+∞

dx

+∞

sin 2x

в) ∫

;

г) ∫

dx ;

(x

2

+1)

5

(x

− x

2

+1)

2

−∞

−∞

8. За даним графіком оригіналу

f (t)

знайти зображення F( p) .

f(t)

1

0

a

2a

3

a

t

–1

9. Знайти оригінал

f (t) за заданим зображенням F( p) :

F ( p) =

1

.

( p − 2)( p2 + 2 p + 3)

10. Знайти розв’язок y = y(t)

задачі Коші для заданого диференціаль-

ного рівняння операційним методом:

y′′ + 4 y′ + 4y = t3e2t ,

y(0) = 1,

y′(0) = 2 .

11. Знайтирозв’язок x = x(t) ,

y = y(t) задачіКошідлязаданоїсисте-

ми диференціальних рівнянь операційним методом:

x′ = x + 4 y +1,

x(0) = 0,

y(0) = 1 .

y′ = 2x + 3y ,

12. Обчислити інтеграл операційним методом:

+∞

e

−2t

− e

−4t

∫

dt .

t

0

334

Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності

Варіант №23

1.

Знайти всі значення кореня 3 − 1 .

8

2.

Представити в алгебраїчній формі ch

2

−

π i

6

.

3.

Зобразити на комплексній площині області, задані нерівностями:

| z + i | < 1,

− 3π

≤

arg z≤ −

π .

4

4

4. Відновити аналітичну в околі точки z0

функцію f (z) за відомою

дійсною частиною u (x,

y) та значенням

f (z0 ) :

u (x, y) = e− y cos x + x, z

0

= 0,

f (z ) = 1 .

0

5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада-

ноїкривої:

∫

zzGdz ,

AB : {| z | = 1,

Re z ≥ 0,

Im z≥

0} , BC – відрізок: zB = 1 ,

ABC

zC = 0 .

6.

Визначити тип особливої точки z = 0 для функції

f (z) = z sin

3 .

7.

Обчислити інтеграли:

z3

v∫

z (z + π ) dz

2π

dt

а)

dz ;

б)

∫

;

sin 2z

3sin t + 5

z−1 = 2

0

+∞

dx

+∞

sin 2x

в) ∫

2 ;

г)

∫

2 dx .

(x

2

+ 2)

2

(x

2

+10)

(x

2

− x +

1)

−∞

−∞

8.

За даним графіком оригіналу f (t)

знайти зображення F( p) .

f(t)

1

0

a

2a

3a

t

–1

9.

Знайти оригінал

f (t) за заданим зображенням F( p) :

p

F ( p) =

( p2 + 4 p + 8)2 .

§5. Індивідуальне завдання 6.5

335

10. Знайти розв’язок y = y(t) задачі Коші для заданого диференціаль-

ного рівняння операційним методом:

y′′ − 3y′ + 2 y = 12e3t , y(0) = 2,

y′(0) = 6 .

11. Знайтирозв’язок x = x(t) ,

y = y(t) задачіКошідлязаданоїсисте-

ми диференціальних рівнянь операційним методом:

x′ = 2 y ,

x(0) = 2, y(0) = 1 .

y′ = 2x + 3y +1,

12. Обчислити інтеграл операційним методом:

+∞

− cos 4t

∫

cos 2t

dt .

0

t

| z − i | ≤ 1, −

π

≤

arg (−z

i≤)

π

.

2

4

4. Відновити аналітичну в околі точки z0

функцію f (z) за відомою

уявною частиною v (x,

y)

та значенням

f (z0 ) :

v(x,

y) = e− y sin x , z

= 0,

f (z ) = 1 .

0

0

5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада-

ної кривої:

∫ (cos iz + 3z2 ) dz , L : {| z | = 1,

Im z ≥

0} .

L

6. Визначити тип особливої точки z = 0 для функції

f (z) =

cos 5z −1

.

ch z −1−

z2

7. Обчислити інтеграли:

2

а) v∫

z

2

+ sin z +

2

2π

dt

dz ;

б) ∫

;

2

z

=2

z + π z

0

3

7 sin t + 8

+∞

x2 −1

+∞

(x3 + 5x) sin x

в) ∫

dx ;

г) ∫

dx .

(x

2

+ 8x +17)

2

x

4

+10x

2

+

9

−∞

−∞

336

8. За даним графіком оригіналу

f (t) знайти зображення F( p) .

f(t)

1

0

a

2a

3a

t

9. Знайти оригінал

f (t) за заданим зображенням F( p) :

F ( p) =

1− p

p ( p2 + 3 p + 3) .

ного рівняння операційним методом:

y′′ + 4 y = 3sin t +10 cos 3t ,

y(0) = −2 ,

y′(0) = 3 .

11. Знайтирозв’язок x = x(t) ,

y = y(t) задачіКошідлязаданоїсисте-

ми диференціальних рівнянь операційним методом:

x′ = −2x + y +

2,

x(0) = 1, y(0)

= 0 .

y′ = 3x ,

+∞

−4t

sin 2t dt .

∫ e

0

t

Варіант №25

1. Знайти всі значення кореня 4 −128 + i128

3 .

π

2. Представити в алгебраїчній формі sin

− 2i .

3

3. Зобразити на комплексній площині області, задані нерівностями:

zz < 2, Im z > −1, Re z ≤ 1 .

4. Відновити аналітичну в околі точки z0

функцію f (z) за відомою

дійсною частиною u (x, y)

та значенням

f (z0 ) :

u (x, y) =

x +1

,

z0 = 0 ,

f ( z0 ) = 1 .

(x +1)2

+ y2

5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада-

ної кривої: ∫

3π

5π

| z | z dz , L :

| z | =

2 ,

≤ arg z≤

.

AB

4

4

337

6. Визначити тип особливої точки z = 0 для функції

f (z)

=

sh4z − 4z

.

7. Обчислити інтеграли:

ez

−1− z

z (z + π )

2π

dt

а)

v∫

dz ;

б) ∫

;

z−

3

=1

(z − π ) sin 3z

0

4

5 sin t + 9

2

+∞

(x2 +10)

+∞

x2 cos x

в) ∫

dx ;

г) ∫

dx .

(x

2

+ 4)

2

x

4

+10x +

9

−∞

−∞

8. За даним графіком оригіналу

f (t) знайти зображення F( p) .

f(t)

a

2a

3a

t