Добавил:

AAA1 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.01.2021

Размер:

10.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 5635 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

§1. Основні формули елементарної математики	341

cos x + cos y = 2 cos

x + y

cos

x − y

;

cos x − cos y = −2 sin

x + y

sin

x − y

;

cos x + sin x =

;

2 cos

− x

2 sin

+ x

cos x − sin x =

2 sin

− x

2 cos

+ x .

tg x + tg y = sin (x + y) ; cos x cos y

tg x − tg y = sin (x − y) ; cos x cos y

ctg x + ctg y =	sin (x + y)	;
	sin x sin y

ctg x − ctg y = − sin (x − y) . sin x sin y

1.2.7 Формули перетворення добутку в суму


sin x sin y =	1			(cos(x − y) − cos(x + y)) ;
sin x sin y =	2			(cos(x − y) − cos(x + y)) ;
	2
cos x cos y =		1		(cos(x − y) + cos(x + y)) ;
cos x cos y =	2			(cos(x − y) + cos(x + y)) ;
	2
sin x cos y =			1	(sin(x − y) + sin(x + y)) .
sin x cos y =	2			(sin(x − y) + sin(x + y)) .
	2

1.2.8 Вираженнятригонометричнихфункційчерезтангенс половинного кута

2 tg

− tg2

sin x =

;

cos x =

;

1 + tg2

+ tg2

2 tg

− tg2

tg x =

;

ctg x =

− tg2

2 tg

342Глава 7. Довідковий матеріал

1.2.9Формули зведення

Назвафункції незмінюється

Назвафункції змінюєтьсянаподібну

− α

π − α

π + α

− α

+ α

3π

− α

3π

+ α

sin

−sinα

sinα

−sinα

cosα

−cosα

cos

cosα

−cosα

sinα

−sinα

sinα

−tgα

tgα

ctgα

−ctgα

ctgα

−ctgα

ctg

−ctgα

ctgα

tgα

−tgα

tgα

−tgα

1.2.10 Значення тригонометричних функцій

Значення кута α											Функції
град	рад			sin α			cosα											tg α				ctg α

00	0			0					1										0				∞
300			π			1			3									3	=	1			3
	6			2					3									3		1
									2							3				3
									2							3				3
450			π		2				2										1				1
	4				2				2
				2					2
				2					2
600			π		3				1										3			3	=	1
	3				3				2													3		1
				2																	3			3
				2																	3			3
900			π	1					0										∞				0
900	2			1					0										∞				0
	2
1800			π	0					−1										0				∞
2700		3π			−1				0										∞				0
2700	2				−1				0										∞				0
	2
3600	2π			0					1										0				∞
1.2.11 Властивостіоберненихтригонометричнихфункцій
				arcsin (−a) = − arcsin a ,										a	≤ 1
				arcsin (−a) = − arcsin a ,										a	≤ 1
				arccos (−a) = π			− arccos a						,		a		≤ 1
				arccos (−a) = π			− arccos a						,		a		≤ 1
				arctg (−a) = − arctg a , a										R
				arcctg (−a) = π − arcctg a , a												R
				arcsin a + arccos a =					π		,			a	≤	1
									π
									2
				arctg a + arcctg a =				π	2			a		R
								π		,
										,
							2

§1. Основні формули елементарної математики	343

1.2.12 Розв’язки найпростіших тригонометричних рівнянь

Рівняння						Розв’язки рівняння
sin x = a,			a	≤	1	x = (−1)n arcsin a + π n,		n Z


cos x = a,			a	≤	1	x = ± arccos a + 2π n,	n	Z


tg x = a ,	a			R		x = arctg a + π n , n	Z
ctg x = a ,		a		R		x = arcctg a + π n , n	Z

Окремі розв’язки тригонометричних рівнянь

sin x = 0

x = π n,

n Z ,

sin x = ±1

x = ±

+ 2π n,

Z ,

cos x = 0

x =

+ π n, n

Z ,

cos x = 1

x = 2π n, n

Z ,

cos x = −1

x = π + 2π n,

Z .

1.3 Властивості логарифмів

10 . Основна логарифмічна тотожність :

x = aloga x ,

x > 0 , a > 0,

a ≠ 1.

20 . Логарифм основи дорівнює одиниці :

loga a = 1 .

30 . Логарифм одиниці дорівнює нулю :

loga 1 = 0 .

40 . Формула для логарифма добутку :

loga (x1 x2 ) = loga x1 + loga x2 ,

x1 > 0 ,

x2 > 0 .

50 . Формула для логарифма частки :

log

= log

− log

> 0 ,

> 0 .

a x2

344 Глава 7. Довідковий матеріал

60 . Формула для логарифма степеня : loga x p = p loga x , x > 0 , p R .

70 . Формула переходу до нової основи логарифма :

loga x =	logb x	,
loga x =	logb a	,
Зокрема,	logb a
Зокрема,
loga b =	1	;
loga b =	logb a	;
	logb a

1.4 Прогресії

x > 0 , b R , b > 0 , b ≠ 1.

loga b logb a = 1.

Арифметична прогресія

Геометрична прогресія

an = an−1 + d , n ≥ 2 ,

bn = bn−1 q , n ≥ 2 ,

де d – різниця прогресії

де q – знаменник прогресії

Формула n-го члена

= a + (n −1) d

= b qn−1

n = 1,2,…

Формула сумиперших n членів

Sn =

a1 + an

= b

1− qn

, q ≠ 1

1− q

Формула для різниці

Формула для знаменника

= a

− a

, n ≥ 2

q =

, n ≥ 2

n−1

bn−1

Сума натуральнихчисел

Сума нескінченно спадної

від 1 до

геометричної прогресії

S =

n(n +1)

S =

− q

1.5 Основні формули комбінаторики. Біном Ньютона

Число перестановок з n елементів знаходяться за формулою: Pn = 1 2 … (n − 1) n = n! , 0!= 1.

§1. Основні формули елементарної математики	345

Числорозміщеньзn елементів поm елементівзнаходятьсязаформулою:

Anm = n (n − 1)…(n − (m − 1)) =	n!
		.
	(n − m)!

Числокомбінаційз n елементів по m елементівзнаходятьсязаформулою:

			Cnm =	Anm	=	n (n − 1)…(n − (m − 1))
			Cnm =	Pm	=
				Pm			1 2 … m
або
			Cnm =		n!		, Cnn = C0n = 1 .
			Cnm =	m! (n − m)!			, Cnn = C0n = 1 .
				m! (n − m)!
Властивості комбінацій:
			Cnm = Cnn−m ;				Cnm + Cnm+1 = Cnm++11 .
Формула бінома Ньютона має вигляд:
(a + b)n = ∑n		Cnm an−mbm = C0n an + C1n an−1b + …+ Cnn−1a bn−1 + Cnn bn ,
	m=0
де Cnm =	n!		– число комбінацій з n елементів по m елементів; n N.
де Cnm =	m! (n − m)!		– число комбінацій з n елементів по m елементів; n N.
	m! (n − m)!

Сума біноміальних коефіцієнтів ∑ Cmn = 2n .

m=0

1.6 Числові значення деяких величин

Позначення		Числове	Позначення	Числове
величини		значення	величини	значення
π		3,14159	e	2,71828
2π		6,28318	1 e	0,36788
π	2	1,57080	e2	7,38906
π	3	1,04720	e	1,64872
π	4	0,78540	lg e	0,43429
π	6	0,52360	ln10	2,30258
1 π		0,31831	1 радіан	57o17′45′′
π	2	9,86960	1o (град)	0,0174 (рад)
	π	1,77245	2	1,41421
	π	1,46459	2	1,73205
3	π	1,46459	3	1,73205
	π		3

346	Глава 7. Довідковий матеріал

§2. Матриці. Системи лінійних рівнянь

Таблиця 2.1 – Різновиди матриць

Назва матриці

Вигляд матриці

… a

Прямокутна,

A =

a21

a22

… a2n ,

( a

)

m , n

розміру m n

…

… … …

m× n

am1

am2 … amn

Транспонована

… a

по відношенню до

AT = a12

a22

… am2

матриці A

… … … …

a1n

a2n … amn

a11

a12

… a1n

Квадратна,

A =

a21

a22

… a2n

, ( a

)

n , n

порядку n

…

… … …

n×

an1

an2 … ann

A11

A12

… A1n

A11 A21

… An1

Приєднана

… A

до квадратної

A =

матриці A

…

… … …

… …

An1

A1n

A2n

An2 … Ann

… Ann

Обернена до

A−1

квадратної матриці

det A

Нульова

O =

Одинична

E =

Діагональна

D =

a22

= diag(a , a

,..., a

)

ann

§2. Матриці. Системи лінійних рівнянь

347

Продовження таблиці 2.1

… a

A =

a22

a2n

Верхня трикутна

…

… …

… ann

a21

10.

Нижня трикутна

A =

a22

an1

an2

ann

1r+1

a22

a2r

a2r+1

a2n

A =

11.

Трапецієвидна

arr

arr+1

arn

aii

≠

0 , при i =

1, r

12.

Блочна

A =

, B, C, D, F – матриці

, А, B, C – матриці,

13.

Квазидіагональна

A =

О – нульова матриця

A =

14.

Квазитрикутна

, А, B, C, D, F, G – матриці,

O – нульова матриця

348	Глава 7. Довідковий матеріал

Продовження таблиці 2.1

	1						2
15.	Комплексна	C = A + Bi ,					A, B – дійсні матриці
	Комплексно-			= A − Bi ,			A, B – дійсні матриці
16.	спряжена	C		= A − Bi ,			A, B – дійсні матриці
	до матриці C
17.	Спряжена						C* = C			T
	до матриці C
18.	Симетрична			A = AT ,				aij			= aji
19.	Кососиметрична			A = −AT ,				aij			= − aji
20.	Ортогональна			AAT = AT A = E ,							AT = A−1
21.	Ермітова			A = A* ,				aij			= aji
22.	Косоермітова			A = −A* ,				aij			= −aji
23.	Унітарна			AA* = A* A = E ,							A* = A−1
					λ		1	0			...	0	0
						0	λ	1			...	0
	Клітина Жордана					0	λ	1			...	0	0
24.	Клітина Жордана			Gm (λ )=		0	0		λ		...	0	0
24.	m -го порядку з			Gm (λ )=
	власним значенням λ				... ... ...						... ...		...
						0	0	0			...	λ
						0	0	0			...	λ	1
						0	0	0			...	0	λ
						0	0	0			...	0	λ
		G		= (Gm (λ	1), Gm (λ				2 ),..., Gm				λ(	k =))
				1			2					k
				Gm (λ 1)			O				...		O
				1
				O		Gm2 (λ		2 )			...		O
				O		Gm2 (λ		2 )			...		O		,
25.	Матриця Жордана	=					...				...		...		,
25.	Матриця Жордана		...				...				...		...
				O			O				... Gmk (λ
				O			O				... Gmk (λ			k )
		Gm		(λ i ) – клітини Жордана,
			i
		O – нульова матриця

§2. Матриці. Системи лінійних рівнянь	349

Таблиця 2.2 – Різновиди систем лінійних рівнянь, їх сумісність та розв’язки

Поняття

або співвідношення,

Формула

що визначаються

a11x1 + a12x2 +

+ a1n xn = b1 ;

Загальна система

x +

+ a

;

лінійних алгебраїчних

21 1

рівнянь

. . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . .. .

x +

+ a

b .

m1 1

Основна матриця

A =

a21

a22

a2n

системи

am1 am2

amn

Матриця-стовпець

вільних членів

Матриця-стовпець

невідомих

Матрична формазапису

A X

= B

системи

Розширена матриця

= ( A

B)=

a21

a22

a2n

системи

Умова сумісності системи

Rg A = Rg

Система має єдиний

Rg A = Rg A = r = n

розв’язок

Система має безліч

Rg A = Rg A = r < n

розв’язків

Система несумісна

Rg A ≠ Rg

350	Глава 7. Довідковий матеріал

Продовження таблиці 2.2

a11x1 + a12x2 +

+ a1n xn = b1 ;

Квадратна система

x + a

+ a

= b ;

лінійних алгебраїчних

21 1

рівнянь

.. . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . ..

x + a

+ a

= b .

n1 1

Квадратна система має

det A ≠

єдиний розв’язок

Квадратна система має

det A = 0 , Rg A = Rg A = r < n

безліч розв’язків

Квадратна система

det A = 0 , Rg A ≠

Rg A

несумісна

Однорідна система рівнянь

A X = 0

Однорідна система має

Rg A = n

тільки нульовий розв’язок

Однорідна система має

Rg A = r < n

нетривіальні розв’язки

Квадратна однорідна

det A ≠

система має тільки

нульовий розв’язок

Квадратна однорідна

det A = 0

система має нетривіальні

розв’язки

n−r

Структура загального

X = ∑

ci Ei

E1 , E2 ,…, En−r

i=1

розв’язку однорідної

– Ф. С. Р.

системи

ci , i

= 1, n − r – довільні числа;

r = Rg A < n ,n

– число невідомих.

Структура загального

де Y0

Y = Y0 + X ,

– деякий частинний розв’язок неодно-

розв’язку неоднорідної

системи

рідної

системи,

–

загальний

розв’язок

відповідної однорідної системи.

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 5635 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 1-1 Высшая математика

#
31.01.202141.44 Кб55325.jpg
#
31.01.202110.43 Кб56Individual work 1.pdf
#
31.01.202187.04 Кб56Individual work 2.doc
#
31.01.202153.25 Кб66REKOMENDOVANA_LITERATURA-1.doc
#
31.01.202128.67 Кб56Titul.doc
#
31.01.202110.23 Mб87visshaya_matematika_chast_IV.pdf
#
31.01.2021539.08 Кб55ВМ - график консультаций.jpg
#
31.01.2021458.12 Кб55ВМ - для идиотов.jpg