Добавил:
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
31.01.2021
Размер:
10.23 Mб
Скачать

§1. Основні формули елементарної математики

341

 

 

cos x + cos y = 2 cos

x + y

 

cos

 

x y

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

cos x cos y = −2 sin

x + y

sin

x y

;

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

cos x + sin x =

 

π

 

 

 

=

 

 

 

 

π

 

;

2 cos

4

x

 

2 sin

4

+ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x sin x =

 

π

 

 

 

=

 

 

 

 

π

 

 

2 sin

4

x

 

2 cos

 

 

+ x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

tg x + tg y = sin (x + y) ; cos x cos y

tg x tg y = sin (x y) ; cos x cos y

ctg x + ctg y =

sin (x + y)

;

sin x sin y

 

 

ctg x ctg y = − sin (x y) . sin x sin y

1.2.7 Формули перетворення добутку в суму

sin x sin y =

1

 

 

(cos(x y) cos(x + y)) ;

2

 

 

 

 

 

 

cos x cos y =

 

1

 

(cos(x y) + cos(x + y)) ;

2

 

 

 

 

sin x cos y =

 

1

(sin(x y) + sin(x + y)) .

2

 

 

1.2.8 Вираженнятригонометричнихфункційчерезтангенс половинного кута

 

 

 

2 tg

x

 

 

 

 

1

tg2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

sin x =

 

2

 

 

 

 

;

cos x =

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

1 + tg2

 

 

 

1

+ tg2

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 tg

x

 

 

 

 

 

1

tg2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

tg x =

 

2

 

 

 

 

;

ctg x =

 

 

 

.

 

 

x

 

 

 

 

 

1

tg2

 

 

 

 

 

 

 

2 tg

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

342Глава 7. Довідковий матеріал

1.2.9Формули зведення

 

Назвафункції незмінюється

Назвафункції змінюєтьсянаподібну

u

 

− α

π − α

π + α

 

π

− α

 

π

+ α

 

3π

− α

 

3π

+ α

2

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

sinα

sinα

sinα

 

cosα

 

cosα

cosα

cosα

cos

 

cosα

cosα

cosα

 

sinα

sinα

 

sinα

 

sinα

tg

 

tgα

tgα

tgα

 

ctgα

ctgα

 

ctgα

ctgα

ctg

 

ctgα

ctgα

ctgα

 

tgα

tgα

 

tgα

 

tgα

1.2.10 Значення тригонометричних функцій

Значення кута α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функції

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

град

рад

sin α

 

cosα

 

 

 

 

 

 

 

tg α

 

 

 

ctg α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

00

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

300

 

 

π

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

=

 

1

 

 

 

3

 

 

6

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

450

 

 

π

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

600

 

 

π

 

 

3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

=

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

900

 

 

π

 

1

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1800

 

 

π

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

2700

 

3π

 

 

1

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3600

2π

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

1.2.11 Властивостіоберненихтригонометричнихфункцій

 

 

 

 

 

 

arcsin (a) = − arcsin a ,

 

 

a

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccos (a) = π

arccos a

,

 

 

a

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg (a) = − arctg a , a

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcctg (a) = π − arcctg a , a

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin a + arccos a =

π

,

 

 

a

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg a + arcctg a =

π

 

a

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§1. Основні формули елементарної математики

343

 

 

1.2.12 Розв’язки найпростіших тригонометричних рівнянь

Рівняння

 

 

 

 

Розв’язки рівняння

sin x = a,

 

 

a

 

 

1

x = (1)n arcsin a + π n,

n Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x = a,

 

 

a

 

 

1

x = ± arccos a + 2π n,

n

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg x = a ,

a

 

 

R

x = arctg a + π n , n

Z

 

ctg x = a ,

 

a

 

 

R

x = arcctg a + π n , n

Z

Окремі розв’язки тригонометричних рівнянь

sin x = 0

 

 

x = π n,

 

n Z ,

 

 

 

 

sin x = ±1

 

 

x = ±

π

 

+ 2π n,

n

Z ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

cos x = 0

 

 

x =

π

+ π n, n

Z ,

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x = 1

 

 

x = 2π n, n

Z ,

 

 

 

cos x = −1

 

 

x = π + 2π n,

n

Z .

 

1.3 Властивості логарифмів

 

 

 

 

 

10 . Основна логарифмічна тотожність :

 

 

 

 

x = aloga x ,

x > 0 , a > 0,

 

a 1.

 

 

 

 

20 . Логарифм основи дорівнює одиниці :

 

 

 

loga a = 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30 . Логарифм одиниці дорівнює нулю :

 

 

 

 

loga 1 = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40 . Формула для логарифма добутку :

 

 

 

 

loga (x1 x2 ) = loga x1 + loga x2 ,

x1 > 0 ,

x2 > 0 .

50 . Формула для логарифма частки :

 

 

 

 

 

log

 

x1

= log

 

x

log

 

x

 

,

x

> 0 ,

x

 

> 0 .

 

 

 

 

 

 

 

a x2

 

a

1

 

a

 

 

2

 

1

 

 

 

2

 

344 Глава 7. Довідковий матеріал

60 . Формула для логарифма степеня : loga x p = p loga x , x > 0 , p R .

70 . Формула переходу до нової основи логарифма :

loga x =

logb x

,

logb a

Зокрема,

 

 

 

loga b =

 

1

;

 

logb a

 

 

 

1.4 Прогресії

x > 0 , b R , b > 0 , b 1.

loga b logb a = 1.

Арифметична прогресія

Геометрична прогресія

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an = an1 + d , n 2 ,

bn = bn1 q , n 2 ,

де d – різниця прогресії

де q – знаменник прогресії

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула n-го члена

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

n

= a + (n 1) d

 

 

b

 

 

= b qn1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

n

1

 

 

 

 

 

 

 

n = 1,2,

 

 

n = 1,2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула сумиперших n членів

 

 

 

 

 

 

 

 

Sn =

a1 + an

n

S

n

= b

1qn

, q 1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1q

Формула для різниці

Формула для знаменника

d

= a

a

, n 2

 

 

q =

bn

 

, n 2

 

 

 

 

 

n

 

n1

 

 

 

 

bn1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сума натуральнихчисел

Сума нескінченно спадної

 

 

від 1 до

n

геометричної прогресії

 

 

S =

n(n +1)

 

 

 

S =

 

 

b1

 

,

 

q

 

<1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5 Основні формули комбінаторики. Біном Ньютона

Число перестановок з n елементів знаходяться за формулою: Pn = 1 2 (n 1) n = n! , 0!= 1.

§1. Основні формули елементарної математики

345

 

 

Числорозміщеньзn елементів поm елементівзнаходятьсязаформулою:

Anm = n (n 1)(n (m 1)) =

n!

 

.

(n m)!

Числокомбінаційз n елементів по m елементівзнаходятьсязаформулою:

 

 

 

 

Cnm =

Anm

=

n (n 1)(n (m 1))

 

 

 

 

 

Pm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 m

або

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cnm =

 

n!

 

, Cnn = C0n = 1 .

 

 

 

 

m! (n m)!

 

 

 

 

 

 

 

Властивості комбінацій:

 

 

 

 

 

 

Cnm = Cnnm ;

Cnm + Cnm+1 = Cnm++11 .

Формула бінома Ньютона має вигляд:

(a + b)n = n

Cnm anmbm = C0n an + C1n an1b + …+ Cnn1a bn1 + Cnn bn ,

 

m=0

 

 

 

 

 

 

 

де Cnm =

n!

 

 

– число комбінацій з n елементів по m елементів; n N.

m! (n m)!

 

 

 

 

 

 

 

 

n

Сума біноміальних коефіцієнтів Cmn = 2n .

m=0

1.6 Числові значення деяких величин

Позначення

Числове

Позначення

Числове

величини

значення

величини

значення

π

 

3,14159

e

2,71828

2π

6,28318

1 e

0,36788

π

2

1,57080

e2

7,38906

π

3

1,04720

e

1,64872

π

4

0,78540

lg e

0,43429

π

6

0,52360

ln10

2,30258

1 π

0,31831

1 радіан

57o1745′′

π

2

9,86960

1o (град)

0,0174 (рад)

 

π

1,77245

2

1,41421

 

1,46459

1,73205

3

π

3

 

 

 

346

Глава 7. Довідковий матеріал

 

 

§2. Матриці. Системи лінійних рівнянь

Таблиця 2.1 – Різновиди матриць

 

Назва матриці

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вигляд матриці

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

12

 

 

1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Прямокутна,

 

A =

a21

 

a22

a2n ,

( a

ij

 

)

m , n

,

A

 

 

 

 

 

розміру m n

 

 

 

 

 

… … …

 

 

 

 

 

 

 

m× n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

am1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

am2 amn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Транспонована

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

21

 

 

 

 

m1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

по відношенню до

 

AT = a12

 

a22

 

am2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

матриці A

 

 

 

 

 

… … … …

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2n amn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11

 

a12

 

a1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Квадратна,

 

A =

a21

 

a22

 

a2n

, ( a

ij

)

n , n

,

A

 

n

 

 

 

 

порядку n

 

 

 

 

 

… … …

 

 

 

 

 

n×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an2 ann

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A11

A12

 

A1n

T

 

A11 A21

An1

 

 

4.

Приєднана

 

~

 

A

 

A

 

 

A

 

=

 

A

 

 

 

A

 

 

A

 

 

 

до квадратної

 

A =

 

21

 

22

 

 

 

 

2n

 

 

12

 

22

 

 

 

n2

 

 

 

матриці A

 

 

 

… … …

 

 

 

… …

 

… …

 

 

 

 

 

 

 

An1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1n

 

A2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

An2 Ann

 

 

 

 

Ann

 

5.

Обернена до

 

A1

=

1

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

квадратної матриці

A

 

 

 

 

det A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Нульова

 

O =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

Одинична

 

E =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

Діагональна

 

D =

 

0

a22

 

 

 

 

,

D

= diag(a , a

22

,..., a

nn

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ann

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§2. Матриці. Системи лінійних рівнянь

 

 

 

347

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продовження таблиці 2.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

12

1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

 

0

 

a22

a2n

 

 

 

9.

Верхня трикутна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

… …

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ann

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21

 

0

 

 

 

10.

Нижня трикутна

 

 

 

A =

a22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an1

an2

ann

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

a

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

11

 

12

 

 

 

1r

1r+1

 

1n

 

 

 

 

 

 

 

0

 

a22

 

 

 

a2r

a2r+1

 

a2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

Трапецієвидна

 

 

0

 

0

 

 

 

arr

arr+1

 

arn

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

0

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

0

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aii

0 , при i =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, r

 

 

 

 

 

12.

Блочна

 

 

 

A =

 

B

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, B, C, D, F – матриці

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

O

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

B

 

 

, А, B, C – матриці,

 

13.

Квазидіагональна

 

 

A =

 

O

 

 

 

 

 

O

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

О – нульова матриця

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

B

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

 

O

D

F

 

 

 

 

 

 

14.

Квазитрикутна

 

, А, B, C, D, F, G – матриці,

 

 

 

O

O

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O – нульова матриця

 

 

 

 

 

348

Глава 7. Довідковий матеріал

 

 

Продовження таблиці 2.1

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

15.

Комплексна

C = A + Bi ,

 

A, B – дійсні матриці

 

 

Комплексно-

 

 

= A Bi ,

 

A, B – дійсні матриці

 

16.

спряжена

C

 

 

 

до матриці C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.

Спряжена

 

 

 

 

 

C* = C

T

 

 

 

 

 

 

до матриці C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.

Симетрична

 

 

A = AT ,

aij

= aji

 

 

 

 

19.

Кососиметрична

 

 

A = −AT ,

aij

= − aji

 

 

 

20.

Ортогональна

 

 

AAT = AT A = E ,

AT = A1

 

 

21.

Ермітова

 

 

A = A* ,

aij

= aji

 

 

 

 

22.

Косоермітова

 

 

A = −A* ,

aij

= −aji

 

 

 

23.

Унітарна

 

 

AA* = A* A = E ,

A* = A1

 

 

 

 

 

 

 

λ

1

0

...

0

0

 

 

 

 

 

 

 

0

λ

1

...

0

 

 

 

 

Клітина Жордана

 

 

 

 

0

 

24.

 

 

Gm (λ )=

 

0

0

 

λ

...

0

0

 

m -го порядку з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

власним значенням λ

 

 

 

... ... ...

... ...

...

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

...

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

...

0

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

= (Gm (λ

1), Gm (λ

 

2 ),..., Gm

λ(

k =))

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

Gm (λ 1)

 

 

O

 

 

 

...

 

O

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

Gm2 (λ

2 )

 

...

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

25.

Матриця Жордана

=

 

 

 

...

 

 

 

...

 

...

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

O

 

 

 

... Gmk (λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k )

 

 

 

Gm

(λ i ) – клітини Жордана,

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O – нульова матриця

 

 

 

 

 

§2. Матриці. Системи лінійних рівнянь

349

 

 

Таблиця 2.2 – Різновиди систем лінійних рівнянь, їх сумісність та розв’язки

Поняття

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

або співвідношення,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула

 

 

 

 

 

 

 

 

 

що визначаються

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11x1 + a12x2 +

 

 

 

 

 

 

+ a1n xn = b1 ;

Загальна система

a

 

x +

 

a

22

x

2

+

 

 

 

 

 

+ a

2n

x

n

=

b

 

;

лінійних алгебраїчних

 

21 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рівнянь

. . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . .. .

 

a

 

x +

 

a

m2

x

2

+

 

 

 

 

 

+ a

mn

x

n

=

b .

 

 

m1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

12

 

 

 

 

1n

 

 

 

 

 

 

 

Основна матриця

 

 

 

 

A =

a21

a22

 

 

a2n

 

 

 

 

 

 

системи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

am1 am2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

amn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матриця-стовпець

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

=

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вільних членів

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матриця-стовпець

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

=

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

невідомих

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрична формазапису

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A X

= B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

системи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

12

 

 

 

1n

 

 

1

 

 

Розширена матриця

 

 

= ( A

 

B)=

 

 

a21

 

a22

 

a2n

 

 

b2

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

системи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

 

 

m2

 

 

mn

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умова сумісності системи

 

 

 

 

 

 

 

 

Rg A = Rg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Система має єдиний

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rg A = Rg A = r = n

 

 

 

 

 

 

 

розв’язок

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Система має безліч

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rg A = Rg A = r < n

 

 

 

 

 

 

 

розв’язків

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Система несумісна

 

 

 

 

 

 

 

 

Rg A ≠ Rg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

350

Глава 7. Довідковий матеріал

 

 

Продовження таблиці 2.2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11x1 + a12x2 +

 

+ a1n xn = b1 ;

Квадратна система

 

a

 

x + a

22

x

2

+

 

+ a

2n

x

n

= b ;

лінійних алгебраїчних

 

 

21 1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рівнянь

.. . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . ..

 

 

a

 

x + a

n2

x

2

+

 

+ a

nn

x

n

= b .

 

 

 

n1 1

 

 

 

 

 

 

 

n

Квадратна система має

 

 

 

 

 

 

det A

0

 

 

 

 

 

 

 

єдиний розв’язок

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Квадратна система має

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det A = 0 , Rg A = Rg A = r < n

безліч розв’язків

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Квадратна система

 

 

 

det A = 0 , Rg A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rg A

 

несумісна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Однорідна система рівнянь

 

 

 

 

 

 

A X = 0

 

 

 

 

 

 

 

Однорідна система має

 

 

 

 

 

 

Rg A = n

 

 

 

 

 

 

 

тільки нульовий розв’язок

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Однорідна система має

 

 

 

 

 

Rg A = r < n

 

 

 

 

 

 

 

нетривіальні розв’язки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Квадратна однорідна

 

 

 

 

 

 

det A

0

 

 

 

 

 

 

 

система має тільки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нульовий розв’язок

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Квадратна однорідна

 

 

 

 

 

 

det A = 0

 

 

 

 

 

 

 

система має нетривіальні

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

розв’язки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nr

 

 

 

 

 

 

 

 

Структура загального

 

 

 

 

 

X =

ci Ei

,

 

 

 

 

 

E1 , E2 ,, Enr

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

розв’язку однорідної

– Ф. С. Р.

 

 

 

 

 

 

 

системи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ci , i

= 1, n r – довільні числа;

 

 

 

 

 

 

 

 

r = Rg A < n ,n

– число невідомих.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Структура загального

де Y0

 

 

 

 

Y = Y0 + X ,

 

 

 

 

 

– деякий частинний розв’язок неодно-

розв’язку неоднорідної

системи

рідної

 

системи,

X

 

загальний

розв’язок

 

відповідної однорідної системи.

 

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.