Добавил:
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
31.01.2021
Размер:
10.23 Mб
Скачать

§1. Індивідуальне завдання 6.1

221

 

 

3. Об’єм тетраедра V = 4 , три його вершини знаходяться в точках A(4, 3, 2) , B(3, 1, 0) , C(5, 4, 5) . Знайти координати четвертої

вершини D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

 

 

 

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

AD

BC

JJJG

G JJJG

G

 

 

G

 

G

нює 67. Вважаючи, що AC

= a, BD

= b , виразити через вектори

a

і b век-

JJJG JJJG JJJG JJJG

 

 

 

 

 

 

 

тори AB, BC, CD, DA .

 

 

 

 

 

 

 

5. Заданочотиривектори aG = (2, 3, 0) , bG = (1, 3, 4) , cG = (2, 3, 4)

JG

 

 

 

G

на площи-

та d = (36, 36, 72) . Знайти вектор rG

, що є проекцією вектора d

G

G

 

 

 

 

 

 

ну, визначену векторами a

і b , при напрямку проектування паралельному

вектору cG .

 

 

 

 

 

 

 

6. Три послідовні

вершини трапеції знаходяться

в

 

точках

A(12, 8, 12) , B(8, 6, 10) , C(6, 2, 6) . Знайти четверту верши-

ну D цієї трапеції, точку перетину M її діагоналей та точку N перетину біч-

них сторін, знаючи, що довжина основи AD дорівнює 12.

 

7. Задано три вектори

aG = (0, 3, 4) ,

bG

= (0, 3, 0)

і cG = (1, 1, 1) .

G

 

 

 

 

 

G

G

 

 

 

Знайти вектор d , перпендикулярний векторам

 

a

і b та напрямлений так,

 

G

G G

G

G G

 

 

 

 

 

 

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c і

a,b, d малиоднаковуорієнтацію.

G

Варіант №13

 

 

G

G

 

 

 

G

G

G

 

 

G

 

G

1. Задано три вектори: a

= − j

4k ,

b = −3i

+ 2 j ,

c

= 2 j . Знайти век-

G

G

G

G

G

 

 

 

 

G

G

= −48 .

тор x , який задовольняє умови: a x = 24, b

x

= −144, c x

2. Вектор yG перпендикулярний осі

Oz

 

і

вектору

aG = (12, 16, 7)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

 

yG

 

= 10 ,

знайти координати

 

 

вектора yG .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Об’єм тетраедра V = 9 , три його вершини знаходяться в точках A(0, 0, 1) , B(1, 0, 2) , C(1, 5, 1) . Знайтикоординатичетвертоїверши-

ни D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

 

 

 

 

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

AD

BC

 

 

JJJG

G JJJG

G

 

 

G

 

G

век-

нює 68. Вважаючи, що AC

= a, BD = b , виразити через вектори a

і b

JJJG

JJJG JJJG

JJJG

 

 

 

 

 

 

 

 

тори AB,

BC, CD,

DA .

 

 

 

 

 

 

 

 

222

Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності

 

 

 

5. Задано чотири вектори aG = (3, 2, 2) , bG = (4, 0, 1) , cG = (1, 0, 4)

та dG = (34, 34, 68) . Знайтивектор rG , щоєпроекцієювектора dG

наплощи-

 

G

G

 

ну, визначену векторами a

і b , при напрямку проектування паралельному

вектору cG .

 

 

6. Трипослідовнівершинитрапеціїзнаходятьсявточках A(4, 16, 20) , B(2, 8, 6) , C(4, 4, 2) . Знайти четверту вершину D цієї трапеції, точ-

ку перетину M її діагоналей та точку N перетину бічних сторін, знаючи, що довжина основи AD дорівнює 12.

7. Заданотривектори aG = (3, 2, 2) ,

bG = (1, 2, 2) і cG = (2, 4, 3) .

G

 

 

 

 

 

G

 

і

G

 

 

 

Знайти вектор d , перпендикулярний векторам

a

 

b та напрямлений так,

G

G

G

G

G G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c і

a,b, d

 

Варіант №14

G

 

 

G

G

G

G

G

G

G

G

 

 

 

1. Задано три вектори: a = −i

, b = −i +

2k ,

c = i 2 j

+ k . Знайти

G

G

G

 

G

G

G

G

= 0 .

вектор x , який задовольняє умови:

a

x =

12, b

x =

0, c

x

2. Вектор yG перпендикулярний осі

Oz і

вектору aG = (14, 48, 4)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

 

yG

 

= 50 ,

знайти координати

 

 

вектора yG .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Об’єм тетраедра V = 2 ,

три його вершини знаходяться в точках

A(0, 1, 0) , B(1, 2, 2) , C(1, 4, 1) . Знайтикоординати четвертоїверши-

ни D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

 

 

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

AD

BC

JJJG

G

JJJG

G

 

 

G

G

нює 2. Вважаючи, що AC = a,

BD = b , виразити через вектори

a і

b век-

JJJG JJJG JJJG JJJG

 

 

 

 

 

 

 

тори AB, BC, CD, DA .

 

 

 

 

 

 

 

5. Заданочотиривектори aG = (3, 2, 0) , bG = (3, 2, 4) , cG = (1, 4, 2)

та dG = (32, 32, 0) . Знайти вектор rG , що є проекцією вектора dG

на площи-

G

G

, при напрямку проектування паралельному

ну, визначену векторами a

і b

вектору cG .

 

 

 

 

 

 

 

6. Трипослідовнівершинитрапеціїзнаходятьсявточках A(4, 8, 4),

B(6, 0, 2) , C(4, 4, 2) . Знайти четверту вершину D цієї трапеції, точку

перетину M її діагоналей та точку N перетину бічних сторін, знаючи, що довжина основи AD дорівнює 12.

 

 

 

 

 

§1. Індивідуальне завдання 6.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

223

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Задано три вектори aG = (3, 1, 1) ,

bG = (1, 1, 1) і

cG = (2, 5, 3) .

 

 

 

G

перпендикулярний векторам

 

 

G

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайти вектор d ,

G

a

і b та напрямлений так,

 

 

 

 

 

 

 

 

G

G

G

G G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c і

a,b, d

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №15

 

 

G

 

G

G

G

 

 

G

G

 

1. Задано

три

вектори:

G

G

 

 

 

 

 

 

a =

2i

2 j

k ,

b

= −3i 3 j

5k ,

cG

= −6iG+ 4 Gj + 2kG .

Знайти вектор

xG ,

який задовольняє умови:

 

aG xG = 14 ,

G

G

G

G

= 14 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

x = −14

, c

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вектору aG = (27, 36, 4)

 

2. Вектор

yG

перпендикулярний осі

Oz і

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

 

 

yG

 

= 45 ,

знайти координати

 

 

 

вектора yG .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Об’єм тетраедра V = 1 , три його вершини знаходяться в точках

A(1, 0, 1) , B(0, 1, 5) ,

C(0, 1, 6) . Знайти координати четвертоївершини

D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.JJJG

до основи

 

JJJG

 

дорів-

 

4. У трапеції ABCD відношення основи

 

 

AD

 

BC

 

 

 

 

 

 

JJJG

G

JJJG

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

G

 

 

 

 

 

 

, виразити через вектори

 

век-

нює 1. Вважаючи, що AC = a,

BD = b

a

і b

 

JJJG

JJJG

JJJG

JJJG

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тори AB,

BC, CD, DA .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Заданочотиривектори aG = (3, 3, 1) , bG = (0, 1,

3) ,

cG = (5, 3, 5)

та dG = (156, 0, 52) . Знайтивектор rG , щоєпроекцієювектора dG

наплощи-

ну, визначену векторами

G

G

, при напрямку проектування паралельному

a

і b

вектору cG .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Трипослідовнівершинитрапеціїзнаходятьсявточках A(4, 10, 0) ,

B(6, 3, 2) ,

C(4, 1, 6) . Знайти четверту вершину D цієї трапеції, точку

перетину M її діагоналей та точку N перетину бічних сторін, знаючи, що

довжина основи AD дорівнює 12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Задано три вектори aG = (1, 3, 3) , bG = (1, 3, 3) і cG = (3, 5, 2) .

 

 

 

G

перпендикулярний векторам

 

 

G

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайти вектор d ,

G

a

і b та напрямлений так,

 

 

 

 

 

 

 

 

G

G

G

G G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c і

a,b, d

Варіант №16

1. Задано три вектори: aG = −iG2kG , bG = 2iG2 Gj , cG = 2iG+ kG . Знайти вектор xG , який задовольняє умови: aG xG = 36, bG xG = −24, cG xG = 0 .

224

Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Вектор yG перпендикулярний осі Oz і

вектору aG = (135, 180, 0)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

 

yG

 

= 75 , знайти координати

 

 

вектора

yG .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Об’єм тетраедра V = 5 ,

три його вершини знаходяться в точках

A(0, 3, 2) , B(1, 2, 2) ,

C(4, 4, 19) . Знайти координати четвертої вер-

шини D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

 

 

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

AD

BC

 

JJJG

G

JJJG

G

 

 

 

G

G

 

нює5. Вважаючи, що AC = a, BD = b , виразити черезвектори a

і b векто-

JJJG

JJJG JJJG JJJG

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ри AB, BC, CD, DA .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Заданочотири вектори aG = (2, 2, 2) , bG = (0, 1, 2) , cG = (4, 0, 2)

JG

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

та d = (12, 24, 24) . Знайти вектор rG , що є проекцією вектора

d на пло-

 

 

G

G

, принапрямкупроектуванняпаралельно-

щину, визначенувекторами a

і b

му вектору cG .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Трипослідовнівершинитрапеціїзнаходятьсявточках A(18, 2, 24) , B(1, 5, 16) , C(3, 1, 12) . ЗнайтичетвертувершинуD цієїтрапеції, точ-

ку перетину M її діагоналей та точку N перетину бічних сторін, знаючи, що довжина основи AD дорівнює 12.

7. Задано три вектори aG = (6,

0, 0) , bG = (0, 0, 4)

і cG = (4, 3, 1) .

G

 

 

 

 

 

 

G

 

G

 

 

 

 

Знайти вектор d , перпендикулярний векторам

 

 

a

і b та напрямлений так,

 

G G G

G G

G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c

і a,b, d

G

Варіант №17

 

 

 

 

G

G

 

 

 

 

G

G

 

G

 

 

 

 

,

G

G

G

1. Заданотривектори: a

= −4i ,

b

= −4i

2 j

2k

c = −i

4 j . Знай-

G

 

G

G

= 0

,

G

G

= 0 ,

G

G

 

ти вектор x , який задовольняє умови:

a

x

b

x

c

x = −128 .

2. Вектор yG перпендикулярний осі

Oz і вектору aG = (20, 48, 7)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

 

 

yG

 

= 13 ,

знайти координати

 

 

 

вектора yG .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Об’єм тетраедра V = 2 , три його вершини знаходяться в точках A(1, 3, 4) , B(0, 2, 4) , C(0, 5, 5) . Знайти координати четвертої вершини D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

§1. Індивідуальне завдання 6.1

 

225

 

 

 

 

 

 

 

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

AD

BC

JJJG

G JJJG

G

 

 

G

G

нює 92. Вважаючи, що AC = a, BD

= b , виразити через вектори

a і

b век-

JJJG JJJG JJJG JJJG

 

 

 

 

 

 

тори AB, BC, CD, DA .

 

 

 

 

 

 

5. Заданочотири вектори aG = (0, 2, 4) , bG = (3, 2, 4), cG = (4, 4, 0)

JG

 

rG , що є проекцією вектора

G

 

та d = (192, 96, 96) . Знайти вектор

d на пло-

G

G

 

 

 

 

 

щину, визначенувекторами a

і b , принапрямкупроектуванняпаралельно-

му вектору cG .

 

 

 

 

 

 

6. Три послідовні вершини трапеції знаходяться в точках

A(6, 12, 0) ,

B(5, 2, 4) , C(3, 6, 0) . Знайти четверту вершину D цієї трапеції, точку

перетину M її діагоналей та точку N перетину бічних сторін, знаючи, що довжина основи AD дорівнює 12.

7. Заданотривектори aG = (2,

0, 4) ,

bG = (2, 2, 0) і

cG = (4, 3, 1) .

Знайти вектор

G

 

 

 

 

 

 

 

G

G

 

 

 

 

 

d , перпендикулярний векторам

a і

b та напрямлений так,

 

 

 

 

 

 

G

G G

G

G

G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c і

a,b, d

 

 

 

 

 

G

Варіант №18

 

 

 

G

G

G

G

G

G

G

1. Заданотри вектори:

G

G

G G

 

 

 

a = −2i

3 j k ,

b

= −4i

3 j

k

, c = i +

2 j

3k .

Знайти вектор

G

, який задовольняє умови:

G

G

 

 

 

 

G

G

 

G

G

 

x

a

x

= −44, b x = −22, c

x = 22 .

2. Вектор

yG

перпендикулярний осі

Oz і вектору aG = (55, 300, 7)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

 

yG

 

= 61 ,

знайти координати

 

 

вектора yG .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Об’єм тетраедра V = 7 , три його вершини знаходяться в точках

A(2, 3, 2) ,

B(1, 1, 1) ,

C(3, 0, 2) . Знайти координати четвертої вер-

шини D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

 

 

 

 

 

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

AD

BC

 

 

 

 

JJJG

G

JJJG

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

G

век-

нює 68. Вважаючи, що AC = a, BD

= b , виразити через вектори

a і b

JJJG

JJJG

JJJG

JJJG

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тори AB,

BC,

CD,

DA .

 

 

 

 

 

bG

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Заданочотири вектори aG = (2, 3, 3) ,

= (1, 0, 2) , cG = (6, 3, 1)

JG

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

наплощи-

та d = (42, 84, 42) . Знайтивектор rG , щоєпроекцієювектора d

 

 

 

 

G

G

, при напрямку проектування паралельному

ну, визначену векторами a і

b

вектору cG .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

226 Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності

6. Трипослідовнівершинитрапеціїзнаходятьсявточках A(16, 18, 4), B(6, 13, 0) , C(4, 9, 4) . Знайти четверту вершину D цієї трапеції, точку перетину M її діагоналей та точку N перетину бічних сторін, знаючи, що

довжина основи AD дорівнює 12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Заданотривектори aG = (0, 1, 1) , bG = (2, 1, 3) і

cG = (1, 1, 1) .

G

 

 

 

 

 

 

G

G

та напрямлений так,

Знайти вектор d , перпендикулярний векторам

G

a

і b

 

G G G

і

G G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c

a,b, d малиоднаковуорієнтацію.

G

Варіант №19

 

 

 

G

G

G

G

G

G

G

G G

G G

 

 

 

1. Заданотри вектори: a

= −i j 3k , b

= −i

5 j

4k ,

c = −i

2 j

+ 2k .

G

 

G

G

=

 

 

 

 

 

G

G

G

G

= −126 .

Знайтивектор x , якийзадовольняєумови:

a

x

105, b

x = −63, c

x

2. Вектор yG перпендикулярний осі

Oz

 

і

вектору aG = (144, 60, 5)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

 

yG

 

= 26 , знайти координати

 

 

вектора yG .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Об’єм тетраедра V = 2 , три його вершини знаходяться в точках A(0, 2, 0) , B(1, 1, 4) , C(6, 0, 23) . Знайти координати четвертої верши-

ни D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

 

 

 

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

AD

BC

JJJG

G JJJG

G

 

 

G

 

G

нює 11. Вважаючи, що AC

= a, BD = b , виразити через вектори

a

і b век-

JJJG JJJG JJJG JJJG

 

 

 

 

 

 

 

тори AB, BC, CD, DA .

 

 

 

 

 

 

 

5. Заданочотиривектори aG = (3, 1, 4) , bG = (1, 0, 4) , cG = (5, 1, 6)

JG

 

 

 

G

наплощи-

та d = (12, 12, 0) . Знайтивектор rG

, щоєпроекцієювектора d

G

G

 

 

 

 

 

 

ну, визначену векторами a

і b , при напрямку проектування паралельному

вектору cG .

 

 

 

 

 

 

 

6. Трипослідовні вершинитрапеціїзнаходятьсявточках A(20, 6, 28),

B(6, 7, 14) , C(8, 3, 10) . ЗнайтичетвертувершинуD цієїтрапеції, точ-

ку перетину M її діагоналей та точку N перетину бічних сторін, знаючи, що

довжина основи AD дорівнює 12.

 

 

 

7. Заданотривектори aG = (3, 1, 0) , bG = (3, 1, 4) і cG = (3, 2, 3) .

G

 

G

G

Знайти вектор d , перпендикулярний векторам

a

і b та напрямлений так,

G G G

G G G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c

і a,b, d

 

 

§1. Індивідуальне завдання 6.1

 

 

 

 

227

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №20

G

 

 

 

 

G

G

G

G

G

1.

 

G

G

G

G

 

 

 

 

Задано три вектори: a

= −3i j

k ,

b

 

= −i + j

, c = 4i

3k . Знай-

 

G

, який задовольняє умови:

G

G

 

 

 

G

G

 

G

G

= 32 .

ти вектор x

a

x = 16, b

x

= −48, c

x

2.

Вектор yG перпендикулярний осі Oz і

 

вектору aG = (180, 240, 4)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

 

yG

 

= 60 ,

знайти координати

 

 

вектора

yG .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Об’єм тетраедра V = 4 , три його вершини знаходяться в точках

A(4, 2, 3) , B(3, 1, 2) ,

C(1, 6, 11) . Знайти координати четвертої вер-

шини D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

 

 

 

 

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

AD

BC

 

JJJG

G JJJG

G

 

 

 

 

G

 

G

нює 54. Вважаючи, що AC

= a, BD = b

, виразити через вектори a

і b век-

JJJG JJJG JJJG

JJJG

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тори AB, BC, CD, DA .

 

 

aG = (3, 3, 2) ,

bG = (5, 2, 2) ,

5. Задано

чотири

вектори

 

cG = (1, 3, 0) та dG = (0, 152, 114) . Знайти вектор rG , що є проекцією век-

тора dG наплощину, визначену векторами aG і bG, принапрямку проектування паралельному вектору cG .

6. Три послідовні вершини трапеції знаходяться в точках A(6, 2, 2) , B(1, 9, 5) , C(3, 5, 1) . Знайти четверту вершину D цієї трапеції, точку

перетину M її діагоналей та точку N перетину бічних сторін, знаючи, що довжина основи AD дорівнює 12.

7. Задано три вектори

aG = (5, 1, 4) ,

bG = (1,

3,

2)

і cG = (1, 0, 2) .

G

 

 

 

 

 

 

 

G

G

та напрямлений так,

Знайти вектор d , перпендикулярний векторам

a і

b

 

G G

G

G G

G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c

і a, b, d

Варіант №21

G

 

 

G

 

G

G

 

G

G

G

G

G

G

 

 

 

 

 

1. Задано тривектори: a

= −2i j

, b

= i j + 2k

, c

= −4 j k . Знай-

G

 

G

G

 

 

 

 

 

 

G

G

 

G

G

= 0 .

ти вектор x , який задовольняє умови:

a

x

= −19, b

x = −57, c

x

2. Вектор yG перпендикулярний осі Oz і вектору aG = (72, 210, 9)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

 

 

yG

 

= 74 , знайти координати

 

 

вектора yG .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

228Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності

3.Об’єм тетраедра V = 8 , три його вершини знаходяться в точках A(0, 2, 4) , B(1, 1, 4) , C(0, 1, 5) . Знайти координати четвертої верши-

ни D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

 

 

 

 

 

 

 

4. У трапеції ABCD відношення основи

 

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

 

AD

BC

 

 

 

 

JJJG

G

JJJG

 

G

, виразити через вектори

G

 

G

век-

нює 67. Вважаючи, що AC

= a, BD

= b

a

і b

JJJG

JJJG

JJJG

JJJG

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тори AB, BC, CD, DA .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Заданочотири вектори aG = (1, 1, 0) , bG = (4, 0, 1) , cG = (3, 3,2)

та dG = (32, 0, 32) . Знайти вектор rG ,

що є проекцією вектора dG

на пло-

 

 

 

 

 

G

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щину, визначенувекторами a і b , принапрямкупроектуванняпаралельно-

му вектору cG .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Три

послідовні

вершини

трапеції

знаходяться

в

 

точках

A(0, 10, 20),

B(8, 5, 18) , C(6, 1, 14) . Знайти четверту вершину

D цієї трапеції, точку перетину M її діагоналей та точку N перетину бічних

сторін, знаючи, що довжина основи AD дорівнює 12.

 

 

 

 

 

 

7. Заданотривектори aG = (5, 1, 2) ,

bG

= (1, 3, 2)

і cG = (2, 3, 2) .

Знайти вектор

G

, перпендикулярний векторам

 

G

і

G

та напрямлений так,

d

G

a

b

 

 

 

 

 

 

G

 

G G

G

G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c

і a, b, d

 

 

 

 

 

G

Варіант №22

G

 

G

 

G

G

G

G

 

G

G

 

 

 

 

 

G

G

G

 

 

 

1. Заданотривектори: a

= −2i

 

+ j + 2k ,

b

= i

+ 2 j

+ k

, c = −3i + 3 j

6k .

Знайти вектор

G

, який задовольняє умови:

G

G

 

G

G

= −204 ,

x

a

x

= −255, b

x

cG xG = 153 .

 

yG

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вектору aG = (36, 48, 0)

2. Вектор

перпендикулярний осі Oz і

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

 

yG

 

= 10 , знайти координати

 

 

вектора yG .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Об’єм тетраедра V = 9 , три його вершини знаходяться в точках

A(1, 1, 2) ,

B(0, 0, 1) ,

C(0, 1, 2) . Знайти координати четвертої вер-

шини D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

 

 

 

 

 

4. У трапеції ABCD відношення основи

 

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

 

AD

BC

 

 

 

 

JJJG

G

JJJG

 

G

, виразити через вектори

G

 

G

век-

нює 45. Вважаючи, що AC

= a, BD

= b

a

і b

JJJG

JJJG

JJJG

JJJG

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тори AB,

BC,

CD,

DA .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§1. Індивідуальне завдання 6.1

229

 

5. Заданочотири вектори aG = (1, 2, 1) , bG = (0, 1, 2) , cG = (1, 2, 7)

та dG = (6, 12, 12) . Знайти вектор rG , що є проекцією вектора dG

на площи-

G

G

 

ну, визначену векторами a

і b , при напрямку проектування паралельному

вектору cG .

 

 

6. Трипослідовнівершинитрапеціїзнаходятьсявточках A(6, 20, 6) , B(1, 6, 7) , C(3, 2, 3) . Знайти четверту вершину D цієї трапеції, точ-

ку перетину M її діагоналей та точку N перетину бічних сторін, знаючи, що довжина основи AD дорівнює 12.

7. Задано три вектори aG = (1, 2, 1) , bG = (1, 2, 1)

і

cG = (1, 5, 1) .

G

 

 

 

 

 

 

G

G

та напрямлений так,

Знайти вектор d , перпендикулярний векторам

G

a

і b

 

G G G

і

G

G

 

 

 

 

 

 

 

 

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c

a, b, d малиоднаковуорієнтацію.

Варіант №23

G

 

 

G

G

G

 

G

G G

G

G

G

G

,

 

 

,

1. Задано три вектори: a

= − j

2k

b = i

2 j k

c = 2i j

2k .

G

 

 

G

G

 

 

 

 

G

G

=

G

G

 

Знайти вектор x , який задовольняє умови:

a

x

= −6, b

x

24, c

x = 30 .

2. Вектор yG перпендикулярний осі Oz і вектору aG = (120, 225, 10)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

 

 

yG

 

= 51, знайти координати

 

 

 

вектора yG .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Об’єм тетраедра V = 1 , три його вершини знаходяться в точках A(4, 1, 1) , B(3, 2, 3) , C(5, 0, 0) . Знайти координати четвертої вер-

шини D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

 

 

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

AD

BC

JJJG

G JJJG

G

 

 

G

G

нює 51. Вважаючи, що AC

= a, BD = b , виразити через вектори

a і

b век-

JJJG JJJG JJJG JJJG

 

 

 

 

 

 

тори AB, BC, CD, DA .

 

 

 

 

 

 

5. Задано чотири вектори aG = (1, 4, 1) , bG = (1, 0, 4) , cG = (3, 4, 1)

та dG = (64, 256, 64) . Знайтивектор rG , щоєпроекцієювектора dG

наплощи-

G

G

 

 

 

 

 

ну, визначену векторами a

і b , при напрямку проектування паралельному

вектору cG .

 

 

 

 

 

 

6. Трипослідовнівершинитрапеціїзнаходятьсявточках A(4, 8, 32), B(6, 0, 18) , C(4, 4, 14) . ЗнайтичетвертувершинуD цієїтрапеції, точ-

ку перетину M її діагоналей та точку N перетину бічних сторін, знаючи, що довжина основи AD дорівнює 12.

230

Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності

 

 

 

 

 

 

 

7. Задано три вектори aG = (1, 2, 7) ,

bG = (3, 0, 1)

і

cG = (4, 2, 1) .

 

G

 

 

 

 

 

 

G

G

та напрямлений так,

Знайти вектор d , перпендикулярний векторам

G

a

і b

 

 

 

G G

G

G

G

 

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c і a,b, d

 

 

 

G

Варіант №24

 

 

 

G

 

G

G

G

 

G

G

G

 

 

G G

G

G

 

 

 

 

 

1. Заданотривектори: a

= −3i j

k ,

b

= −i

2 j k

, c

= −2i 2 j

2k .

 

G

, який задовольняє умови:

G

G

 

 

 

 

G

G

 

G

G

= 20 .

Знайти вектор x

a

x

= 12, b

x

= 16, c

x

2. Вектор

yG перпендикулярний осі

 

Oz

 

 

і

вектору

aG = (48, 14, 9)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

 

 

yG

 

= 25 , знайти координати

 

 

 

вектора

yG .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Об’єм тетраедра V = 8 , три його вершини знаходяться в точках A(0, 1, 2) , B(1, 0, 1) , C(1, 1, 4) . Знайти координати четвертої верши-

ни D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

 

 

 

 

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

AD

BC

JJJG

G JJJG

G

 

 

 

G

 

G

нює 60. Вважаючи, що AC

= a, BD = b , виразити через вектори

a

і b век-

JJJG JJJG JJJG JJJG

 

 

 

 

 

 

 

 

тори AB, BC, CD, DA .

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Заданочотири вектори aG = (1, 2, 3) , bG = (1,1,1) ,

cG = (3, 6, 5)

та dG = (8, 4, 8) . Знайти вектор rG , щоєпроекцієювектора dG

наплощину,

G

G

 

 

 

 

 

 

 

визначену векторами a і

b , при напрямку проектування паралельному

вектору cG .

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Три послідовні вершини трапеції знаходяться вточках A(20, 14, 16) , B(6, 1, 14) , C(8, 5, 10) . Знайти четверту вершину D цієї трапеції, точку перетину M її діагоналей та точку N перетину бічних сторін, знаючи, що

довжина основи AD дорівнює 12.

 

bG = (3, 2, 1)

 

 

 

 

 

7. Задано три вектори aG = (3, 2, 3) ,

і

cG = (4, 2, 6) .

Знайти вектор

G

 

 

 

 

 

G

G

та напрямлений так,

d , перпендикулярний векторам

G

a

і b

 

 

G G G

G

G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c

і a, b, d

 

G

Варіант №25

 

 

G G

G

G

 

G

G

G

 

G G

G G

 

 

1. Задано три вектори: a

= −2i + j

+ k

,

b =

3i

j + 3k ,

c

= 4i

3 j

2k .

Знайти вектор

G

 

 

G

G

 

 

G

G

 

G

G

= −9 .

 

x , який задовольняє умови:

a

x

= 27, b

x =

9, c

x

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.