1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV

JJJG JJJG JJJG JJJG

тори AB, BC, CD, DA .

5. Заданочотиривектори aG = (−3, 1, −1) , bG = (2, −1, 1) , cG = (−3, − 3, − 3)

та dG = (0, 0, 24) . Знайти вектор rG , що є проекцією вектора dG на площину,

визначену векторами aG і bG , при напрямку проектування паралельному вектору cG .

6. Трипослідовнівершинитрапеціїзнаходяться вточках A(16, −34, − 2) ,

§2. Індивідуальне завдання 6.2

Аналітична геометрія (пряма на площині)

[Ч.1, гл.2, §1, приклади 1 – 4]

Варіанти завдань

Варіант №1

1. Сила FG = (−7, 5) прикладенадоточки M (−6, − 7) . Записатизагальне рівняння прямої, вздовж якої напрямлена ця сила.

232 Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності

2. Промінь світла напрямлений вздовж прямої y = 2x − 8 . Знайти

координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.

3.Точка M (−8, −1) євершиною квадрата, одна ізсторінякоголежить на прямій 5x − 5y − 7 = 0 . Обчислити площу цього квадрата.

4.Задановершинитрикутника АВС: A(−7, − 5) , B(−6, 7) , C(−5, − 8) .

Знайти:

а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;

г) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно стороні АВ;

д) відстань h від точки С до прямої АВ.

5.Задано дві точки A(2, 5) і B(10, 3) . На осі Ох знайти таку точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.

6.Знаючирівняннядвохсторінтрикутника АВС AB : 4x + 9y +17 = 0 ,

AC : 8x − 43y − 271 = 0 і внутрішній кут при вершині В, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.

Варіант №2

1.Сила FG = (−5, − 5) прикладена до точки M (0, 5) . Записати загальне рівняння прямої, вздовж якої напрямлена ця сила.

2.Промінь світла напрямлений вздовж прямої y = 9x −18 . Знайти

координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.

3. Точка M (0, − 3) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій 3x + 5y + 3 = 0 . Обчислити площу цього квадрата.

4. Задано вершини трикутника АВС: A(3, − 5) , B(−6, 1) , C(1, 6) . Знайти:

а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;

г) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно стороні АВ;

д) відстань h від точки С до прямої АВ.

5.Задано дві точки A(−5, 2) і B(13, 16) . На осі Ох знайти таку точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.

6.Знаючирівняннядвохсторінтрикутника АВС AB : 8x − 3y + 9 = 0 ,

AC : 25x +18y +165 = 0 і внутрішній кут при вершині В, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.

рівняння прямої, вздовж якої напрямлена ця сила.

2. Промінь світла напрямлений вздовж прямої y = 17x − 34 . Знайти

координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.

3. Точка M (4, − 3) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій x + 3y +1 = 0 . Обчислити площу цього квадрата.

4. Задано вершини трикутника АВС: A(1, 3) , B(4, − 3) , C(5, − 4) .

Знайти:

а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;

г) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно стороні АВ;

д) відстань h від точки С до прямої АВ.

5.Задано дві точки A(−17, 14) і B(11, 14) . На осі Ох знайти таку точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.

6.Знаючирівняннядвохсторінтрикутника АВС AB : 10x − 3y + 39 = 0,

AC : 8x −17 y + 75 = 0 і внутрішній кут при вершині В, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.

GВаріант №4

1.Сила F = (−7, − 3) прикладена до точки M (0, − 5) . Записати загальне рівняння прямої, вздовж якої напрямлена ця сила.

2.Промінь світла напрямлений вздовж прямої y = 3x − 6 . Знайти

координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.

3.Точка M (−6, − 3) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій x + y +1 = 0 . Обчислити площу цього квадрата.

4.Задановершинитрикутника АВС: A(−1, − 3) , B(−6, − 3) , C(−3, − 4) .

Знайти:

а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;

г) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно стороні АВ;

д) відстань h від точки С до прямої АВ.

5. Задано дві точки A(−12, 7) і B(5, 10) . На осі Ох знайти таку точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.

234 Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності

6. Знаючирівняннядвохсторінтрикутника АВС AB : 4x + y + 23 = 0 ,

AC : 56x +19 y + 337 = 0 і внутрішнійкутпривершиніВ, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.

2. Промінь світла напрямлений вздовж прямої y = 14x − 56 . Знайти

координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.

3. Точка M (2, − 7) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій x − 5 y +1 = 0 . Обчислити площу цього квадрата.

4. Задано вершини трикутника АВС: A(−1, 5) , B(2, − 7) , C(−1, 0) .

Знайти:

а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;

г) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно сто-

точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.

6. Знаючирівняннядвохсторінтрикутника АВС AB : 2x − 9 y −13 = 0 ,

AC : 12x − 5y + 69 = 0 і внутрішній кут при вершиніВ, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.

GВаріант №6

1.Сила F = (1, − 3) прикладена до точки M (6, 3) . Записати загальне рівняння прямої, вздовж якої напрямлена ця сила.

2. Промінь світла напрямлений вздовж прямої y = 4x − 8 . Знайти

координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.

3. Точка M (−2, 1) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій x − y +1 = 0 . Обчислити площу цього квадрата.

4. Задано вершини трикутника АВС: A(3, − 3) , B(−2, 1) , C(−7, 0) .

Знайти:

а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;

г) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно стороні АВ;

д) відстань h від точки С до прямої АВ.

5.Задано дві точки A(−5, 2) і B(2, 5) . На осі Ох знайти таку точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.

6.Знаючирівняннядвохсторінтрикутника АВС AB : 10x + y − 35 = 0 ,

AC : 58x + 43y − 389 = 0 і внутрішнійкутпривершиніВ, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.

Варіант №7

1. Сила FG = (−5, − 5) прикладена до точки M (−8, 3) . Записати загальне рівняння прямої, вздовж якої напрямлена ця сила.

2. Промінь світла напрямлений вздовж прямої y = 15x − 45 . Знайти

координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.

3.Точка M (−6, −1) євершиноюквадрата, однаізсторінякоголежить на прямій 3x − 5 y + 3 = 0 . Обчислити площу цього квадрата.

4.Задано вершини трикутника АВС: A(−1, −1) , B(−4, − 7) , C(3, − 4) .

Знайти:

а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;

г) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно стороні АВ;

д) відстань h від точки С до прямої АВ.

5.Задано дві точки A(−14, 11) і B(16, 19) . На осі Ох знайти таку точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.

6.Знаючирівняннядвохсторінтрикутника АВС AB : 6x + 5y − 7 = 0 ,

AC : 4x +17 y − 73 = 0 і внутрішній кут при вершиніВ, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.

Варіант №8

1.Сила FG = (1, − 5) прикладена до точки M (0, 3) . Записати загальне рівняння прямої, вздовж якої напрямлена ця сила.

2.Промінь світла напрямлений вздовж прямої y = 5x −15 . Знайти

координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.

3. Точка M (−6, − 3) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій 3x − 5y − 5 = 0 . Обчислити площу цього квадрата.

5.Задано дві точки A(−2, 5) і B(19, 16) . На осі Ох знайти таку точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.

6.Знаючирівняннядвохсторінтрикутника АВС AB : 8x + y −19 = 0 ,

AC : 4x + 35y +163 = 0 і внутрішній кут при вершині В, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.

Варіант №9

1. Сила FG = (3, −1) прикладена до точки M (0, 3) . Записати загальне рівняння прямої, вздовж якої напрямлена ця сила.

2. Промінь світла напрямлений вздовж прямої y = 11x − 22 . Знайти

координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.

3. Точка M (2, − 3) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій 5x − y + 5 = 0 . Обчислити площу цього квадрата.

4. Задано вершини трикутника АВС: A(5, −1) , B(2, − 3) , C(−7, 4) .

Знайти:

а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;

г) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно стороні АВ;

д) відстань h від точки С до прямої АВ.

5.Задано дві точки A(−15, 12) і B(8, 11) . На осі Ох знайти таку точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.

6.Знаючирівняннядвохсторінтрикутника АВС AB : 12x − y + 43 = 0 ,

AC : 2x − 23y +167 = 0 і внутрішній кут при вершині В, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.

Варіант №10

1. Сила FG = (3, − 3) прикладена до точки M (−2, 3) . Записати загальне рівняння прямої, вздовж якої напрямлена ця сила.

2. Промінь світла напрямлений вздовж прямої y = 14x − 42 . Знайти

координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.

3. Точка M (0, −1) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій x + y = 0 . Обчислити площу цього квадрата.

4. Задано вершини трикутника АВС: A(−3, − 3) , B(0, −1) , C(5, 0) .

Знайти:

а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;

г) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно стороні АВ;

д) відстань h від точки С до прямої АВ.

5.Задано дві точки A(−20, 13) і B(−1, 6) . На осі Ох знайти таку точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.

6.Знаючирівняннядвохсторінтрикутника АВС AB : 2x − y +11 = 0 ,

AC : 43x + 4 y + 313 = 0 і внутрішній кут при вершині В, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.

GВаріант №11

1.Сила F = (−1, − 3) прикладенадоточки M (−6, 5) . Записатизагальне рівняння прямої, вздовж якої напрямлена ця сила.

2. Промінь світла напрямлений вздовж прямої y = 18x − 72 . Знайти

координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.

3.Точка M (0, 3) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій x − y +1 = 0 . Обчислити площу цього квадрата.

4.Задано вершини трикутника АВС: A(−1, − 3) , B(4, −1) , C(−1, − 2) .

Знайти:

а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;

г) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно стороні АВ;

д) відстань h від точки С до прямої АВ.

5. Задано дві точки A(−7, 12) і B(10, 5) . На осі Ох знайти таку точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.

6. Знаючирівняннядвохсторінтрикутника АВС AB : 6x − y − 33 = 0 ,

AC : 26x − 21y −193 = 0 і внутрішній кут при вершині В, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.

не рівняння прямої, вздовж якої напрямлена ця сила.

2. Промінь світла напрямлений вздовж прямої y = 9x − 9 . Знайти

координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.

3.Точка M (−6, − 7) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій 7x − 5 y − 5 = 0 . Обчислити площу цього квадрата.

4.Задано вершини трикутника АВС: A(−1, 5) , B(−4, − 3) , C(7, 2) .

Знайти:

а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;

г) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно стороні АВ;

д) відстань h від точки С до прямої АВ.

5.Задано дві точки A(−17, 14) і B(16, 19) . На осі Ох знайти таку точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.

6.Знаючирівняннядвохсторінтрикутника АВС AB : 6x −5y − 27 = 0 ,

AC : 8x + 7 y + 87 = 0 і внутрішнійкутпривершиніВ, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.

Варіант №13

1. Сила FG = (1, 5) прикладена до точки M (2, −1) . Записати загальне рівняння прямої, вздовж якої напрямлена ця сила.

2. Промінь світла напрямлений вздовж прямої y = 16x − 64 . Знайти

координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.

3. Точка M (0, − 9) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій x − y +1 = 0 . Обчислити площу цього квадрата.

4. Задано вершини трикутника АВС: A(1, 5) , B(2, − 5) , C(−3, − 2) .

Знайти:

а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;

г) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно стороні АВ;

д) відстань h від точки С до прямої АВ.

5. Задано дві точки A(−16, 11) і B(11, 16) . На осі Ох знайтитаку точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.

6. Знаючирівняннядвохсторінтрикутника АВС AB : 6x + y + 35 = 0 ,

AC : 62x + 27 y + 445 = 0 і внутрішнійкутпривершиніВ, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.

Варіант №14

1.Сила FG = (−3, − 5) прикладенадоточки M (2, −1) . Записатизагальне рівняння прямої, вздовж якої напрямлена ця сила.

2.Промінь світла напрямлений вздовж прямої y = 3x − 6 . Знайти

координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.

3.Точка M (0, 3) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій 3x + y + 3 = 0 . Обчислити площу цього квадрата.

4.Задано вершини трикутника АВС: A(−7, −1) , B(2, −1) , C(3, − 2) .

Знайти:

а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;

г) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно стороні АВ;

д) відстань h від точки С до прямої АВ.

5.Задано дві точки A(−3, 2) і B(13, 14) . На осі Ох знайти таку точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.

6.Знаючирівняннядвохсторінтрикутника АВС AB : 4x + 7 y +11 = 0 ,

AC : 48x + 37 y + 85 = 0 і внутрішній кут при вершині В, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.

Варіант №15

1.Сила FG = (−1, −1) прикладенадоточки M (2, − 3) . Записатизагальне рівняння прямої, вздовж якої напрямлена ця сила.

2.Промінь світла напрямлений вздовж прямої y = 10x − 40 . Знайти

координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.

3. Точка M (0, − 5) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій 3x + 7 y + 3 = 0 . Обчислити площу цього квадрата.

4. Задано вершини трикутника АВС: A(3, 7) , B(0, − 5) , C(−1, 2) .

Знайти:

а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;

5.Задано дві точки A(−9, 8) і B(8, 9) . На осі Ох знайти таку точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.

6.Знаючирівняннядвохсторінтрикутника АВС AB : 4x + 5y +19 = 0 ,

AC : 18x +13y + 57 = 0 і внутрішній кут при вершині В, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.

Варіант №16

1. Сила FG = (1, −1) прикладена до точки M (−2, 1) . Записати загальне рівняння прямої, вздовж якої напрямлена ця сила.

2. Промінь світла напрямлений вздовж прямої y = 3x − 9 . Знайти

координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.

3.Точка M (0, − 7) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій 5x + 3y + 5 = 0 . Обчислити площу цього квадрата.

4.Задано вершини трикутника АВС: A(−5, − 3) , B(0, − 7) , C(−1, 2) .

Знайти:

а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;

г) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно сто-

точку М, щоб ламана лінія АМВ мала найменшу довжину.

6. Знаючи рівняння двох сторін трикутника АВС AB : 2x − y − 5 = 0 , AC : 4x + 3y + 5 = 0 і внутрішній кут при вершині В, рівний 450 , записати рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.

Варіант №17

1. Сила FG = (1, − 3) прикладена до точки M (0, − 3) . Записати загальне рівняння прямої, вздовж якої напрямлена ця сила.

2. Промінь світла напрямлений вздовж прямої y = 5x −15 . Знайти

координати точки М зустрічі променя з віссю Ox та рівняння відбитого променя.

3. Точка M (0, 1) є вершиною квадрата, одна із сторін якого лежить на прямій x − y −1 = 0 . Обчислити площу цього квадрата.