1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV

Добавил:

AAA1 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

x cos x dx .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.01.2021

Размер:

10.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 5616 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>


	§3. Індивідуальне завдання 3.3										151

		Варіант №7
2	4		dx			+∞	dx			1	dx
1. ∫	(x2 − 2x + 3) dx . 2. ∫		dx		.	3. ∫	dx		.	4. ∫	dx	.
1. ∫	(x2 − 2x + 3) dx . 2. ∫				.	3. ∫	9 + x	2	.	4. ∫		.
1	0	1+		x		0	9 + x			0	x

5. Знайти площу області, яка обмежена кривою ρ																								= a cos 4ϕ .
6.	Обчислити довжину дуги напівкубічної параболи y2 = x3 від по-
чатку координат до точки з координатами x = 4 ,																					y = 8 .
7.	Знайти площу поверхні конуса, утвореного обертанням відрізка
прямої y = 2x від x1 = 0 до x2 = 2 .
											Варіант №8
		π								5								+∞						2
		3								5	x −1							+∞		dx				2	xdx
1.		∫ tg x dx .								2. ∫	x −1			dx .			3.		∫	dx	.		4.	∫	xdx		.
1.		∫ tg x dx .								2. ∫				dx .			3.		∫	5	.		4.	∫	x −1		.
	0									1	x							1		x				1	x −1
	0									1								1						1
5. Знайтиплощуфігури, щообмеженакривою y3 = x , прямою y = 1
та вертикаллю x = 8 .
6. Знайти довжину дуги евольвенти																					кола		x = R(cos t + t sin t),
y = R(sin t − t cos t)								від t1 = 0 до t2 = π .
7.	Знайти об’єм тіла, отриманого від обертання криволінійної трапе-
ції, обмеженої лінією										y = arcsin x з основою [0; 1] , навколо осі Оx.
											Варіант №9
	−3				dx					ln 2								+∞		dx				1
1.		∫			dx				.	2. ∫	ex −1 dx				.		3.		∫	dx	.		4.	∫ x ln x dx .
1.		∫		25 + 3x					.	2. ∫	ex −1 dx				.		3.		∫	x	.		4.	∫ x ln x dx .
	0			25 + 3x						0								1		x				0
	0									0								1						0
5. Обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженої віссю абсцис
і лінією	y = x − x2								x .
6.	Обчислити довжину дуги лінії x = (t2 − 2)sin t + 2t cos t ,
y = (2 − t2 ) cos t + 2t sin t від t = 0 до															t	2	= π .
											1					2
7.	Знайти площу поверхні, утвореної обертанням параболи y2 = 4ax
навколо осі абсцис від вершини до точки з абсцисою x = 3a .
											Варіант №10
	4		1+			x				3	dx						+∞			dx				1 e	dx
1.	∫						dx .			2. ∫			.			3. ∫						.	4.	∫				.
1.	∫			x	2		dx .			2. ∫	x + x	2	.			3. ∫			x x2			.	4.	∫	x ln	2	x	.
	1			x						1	x + x						2		x x2		−1			0	x ln		x

152 Глава 3. Інтегральне числення функцій однієї та багатьох змінних

5.Знайтиплощуфігури, обмеженої завиткомПаскаля ρ = 2a (2 + cos ϕ ) .

6.Знайти довжину дуги кривої y = ex , що знаходиться між точками

(0; 1) і (1; e) .

7.Фігура, що обмежена параболою y2 = 4x та прямою x = 4 , обертається навколо осі Ох. Знайти об’єм тіла обертання.

Варіант №11

			1								1		dx		+∞		dx			e		dx
	1.		∫ arcsin x dx .							2.	∫		dx	.	3. ∫		dx	.	4. ∫			dx		.
	1.		∫ arcsin x dx .							2.	∫			.	3. ∫		4	.	4. ∫					.
			0								0 (2 − x) 1− x				1		x		1 x ln x
		5. Знайти площу фігури, що обмежена однією аркою циклоїди
x = a (t − sin t);						і віссю Ох.
						і віссю Ох.
y = a (1			− cos t)
		6. Обчислити довжину дуги лінії												y2 = (x +1)3 , обмеженої прямою
x = 4 .
		7. Фігура, що обмежена лініями y = sin2 x і y = 0																	(0 ≤			x≤ π	) , обер-
тається навколо осі Ох. Знайти об’єм тіла обертання.
												Варіант №12
			6		dx						π			+∞					π	4
			6								3			+∞					π	4
			∫								3				∫ e−5xdx .					∫
	1.							.		2.	∫ ctg2ϕ		dϕ .	3.					4.			ctg x dx .
	1.			3	(4 − x)		2	.		2.	∫ ctg2ϕ		dϕ .	3.					4.			ctg x dx .
			4		(4 − x)						π				0					0
											4														1
		5. Обчислити площу фігури, що обмежена лініями																				y =			1				і
																							1	+ x2
y =	1	x2 .
y =	2	x2 .																		1							1
	2
		6. Знайти довжину дуги лінії y = ln (1− x2 )														від x			= −			до	x	=				.
																1				2			2			2
		7. Визначитиоб’ємтіла, утвореногообертаннямнавколоосі Ох кри-
вої		x +		y = 1		(0 ≤			x≤	1) .
												Варіант №13
			e3								π				+∞							1	xdx
	1.		e3		dx				.	2.	∫ cos3		x sin 2x dx .		+∞		xdx2		. 4.			1				2 .
	1.		∫		dx				.	2.	∫ cos3		x sin 2x dx .		3. ∫		xdx2		. 4.			∫				2 .
											2
			1 x 1 + ln x								0				2 x + 9						1 2 1 − x

§3. Індивідуальне завдання 3.3	153

5. Обчислити площу фігури,		що обмежена лініями y = x ln(1+ x2 ),
x = 0, x = 1, y = 0 .
		x = R cos	3	t ;
6. Знайти довжину астроїди		x = R cos		t ;
6. Знайти довжину астроїди
	y = R sin3 t .

7. Визначитиоб’ємтіла, обмеженогоповерхнями					y =	x2	+	z2	, y =	1 .
7. Визначитиоб’ємтіла, обмеженогоповерхнями					y =	1	+	4	, y =	1 .
						1		4

Варіант №14

e−1

1. ∫ x ln(x +1) dx .

	π					+∞			3
	3	sin3 x					arctg x dx			dx
2. ∫					dx .	3. ∫			. 4. ∫			.
		cos	2	x			1 + x	2		(x −1)	2
0						1			0

5.	Обчислити площу фігури, що обмежена лініями										y = e x ,						y = e 2 x ,
x = 1 .
6.	Знайти довжину кардіоїди ρ					= a (1 − cos ϕ ) .
7. Визначитиоб’ємтіла, обмеженогоповерхнями z =												x2	+	y		2		,		z =1 .
7. Визначитиоб’ємтіла, обмеженогоповерхнями z =											4		+	2				,		z =1 .
											4			2
					Варіант №15
	6	1			dx		+∞		dx				π 2						3	x dx
1.	∫ x − 2 dx .	2. ∫			dx	.	3. ∫		dx	.	4.		∫		sin					x dx	.
1.	∫ x − 2 dx .	2. ∫	x	2	+ 4x + 5	.	3. ∫	x	2	.	4.		∫								.
	2	0	x		+ 4x + 5		1	x	(x +1)				0					cos x
	2	0					1						0
5.	Обчислити площу, обмежену кардіоїдою ρ = a (1 + cos ϕ ) .
6.	Знайти довжину дуги параболи y = 2 x								від x1 = 0 до x2 = 1 .
7.	Визначити об’єм тіла, утвореного від обертання навколо осі Ох
фігури, обмеженої лініями			y = x2 , x = y2 .

Варіант №16

+∞

3. ∫ xe− x2 dx .

1	x	4	dx
4. ∫				.

0	1− x5

5.Обчислити площу фігури, що обмежена лініями y2 = 9x, y = 3x .

6.Обчислити довжину дуги кривої ρ = a cos ϕ .

154 Глава 3. Інтегральне числення функцій однієї та багатьох змінних

7. Визначити об’єм тіла, обмеженого поверхнями

−

= 1,

z = h , z = 0 .

Варіант №17

+∞

∫

∫ sin3 x dx .

3. ∫ e−19 x dx .

∫

x6 + 4

64 − x6

Обчислити площу фігури, що обмежена лініями

y2 = x + 5,

y2 = −x + 4 .

= a ϕ .

Знайти довжину першого витка спіралі Архімеда ρ

Визначити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фі-

гури, обмеженої лініями y = 2x − x2 ,

y = 0 .

Варіант №18

+∞

∫

∫ sin 3x cos 5x dx . 3.

∫ e− x dx . 4.

∫

(1 +

1− 2x

1 2

5. Знайти площу фігури, що обмежена лініями y = x2 + 4x, y = x + 4 .

Знайти довжину дуги кривої y =

від x

= 0 до

= 1 .

Визначити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фі-

гури, обмеженої лініями

y =

x2 , y =

x3 .

Варіант №19

exdx

+∞ arctg x dx

1 2

∫

∫ tg3 x dx .

3. ∫

. 4.

∫

1+ e

2 x

(2x −1)

5. Обчислити площу фігури, що обмежена лініями

y = (x − 4)2 ,

y= 16 − x2 .

6.Знайтидовжинудугикривої y = 1 − ln (cos x) від x1 = 0 до x2 = π 6 .

§3. Індивідуальне завдання 3.3

155

7. Визначити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фі-

гури, обмеженої лініями y2 = (x −1)3 , x = 2 .

Варіант №20

1 4

xdx

+∞

∫

2. ∫ cos5 x dx .

3. ∫

xe−3xdx .

4. ∫

1+ 3x

1− 4x

ρ = a cos ϕ ,

5. Знайти площу фігури, що обмежена лініями

ρ = 2a cos ϕ .

6. Знайтидовжинудугикривої

= x

від

x = 0

до x = 1 при y ≥ 0 .

Визначити об’єм тіла, обмеженого параболоїдом x2 + y2 − z = 1 і

площиною z = 0 .

Варіант №21

+∞

sin x dx

x3dx

2x dx

∫

. 2. ∫

3. ∫

. 4. ∫

3 + cos

+ 4

x2 −1

1− x4

Знайти площу фігури, що обмежена лініями y =

ex −1, y = 0,

x = ln 2 .

Знайти довжину дуги кривої x = 4(cos t + t sin t);

від t1 = 0 до

y = 4(sin t − t cos t)

t2 = π .

7. Знайти площу поверхні частини параболоїда, утвореного обертан-

ням навколо осі Ох дуги параболи y2 = 2x від x

= 0 до x

= 4 .

Варіант №22

π 4

+∞

sin xdx

1. ∫

2. ∫

. 3.

∫

4. ∫

(x +1)

cos x(cos x +1)

+ x

7 cos2

π 2

5. Знайти площу фігури, що обмежена лініями

y = arccos x,

y = 0,

x = 0 .

6. Знайти довжину дуги кривої y = ln

від

до x

= 8 .

156Глава 3. Інтегральне числення функцій однієї та багатьох змінних

7.Визначити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої

x = a cos

t ;

лінією

навколо осі Ох.

y = a sin3 t ,

Варіант №23

x dx

+∞

∫

. 2.

∫

x2e−x dx .

∫

4 + 3cos 2x

9 − x

5. Обчислити площу фігури, що обмежена лініями

y =

1 + cos x

y = 0,

x = ±

6. Знайтидовжинудугикривої x = 3(t − sin t);

від t1 = π

до t2 = 2π .

y = 3(1 − cos t)

7. Визначитиоб’ємтіла, щовідтинаєтьсявідпараболоїда

z =

площиною z = h

(h > 0) .

Варіант №24

+∞

∫ x

4 + x2 dx . 2.

∫ x cos2 x dx .

∫

x ln x

5. Обчислити площу фігури, що обмежена лініями

y = x3 ,

y = 1,

x= −2 .

6.Обчислитидовжину дугикривої y2 = x3 , щовідтинаєтьсяпрямою

x= 43 .

7.Визначити об’єм тіла, обмеженого поверхнею, отриманою при

навколо осі Ох.

обертанні лінії y = b

(0 ≤

x≤

Варіант №25

2π

x + cos x

+∞

ln xdx

1. ∫

dx .

2. ∫

. 3. ∫

4. ∫

+ 9)

3 2

1+ 2x

+ 2sin x

−1 2

§4. Індивідуальне завдання 3.4

157

Обчислитиплощуфігури, щообмеженалініями y = −x3 ,

y =

y = 8 .

Знайтидовжинудугикривої y =

−

ln x від

x1 = 1 до x2 = 2 .

7. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ох параболи y2 = x + 4 , що відтинається прямою x = 2 .

§4. Індивідуальне завдання 3.4

Кратні та криволінійні інтеграли

[Ч.2, гл.3, §1, приклади 1 – 8, §2, приклади 1 – 4, §3, приклади 1 – 13, гл.4, §1, приклади 1 – 14]

Варіанти завдань Варіант №1

	2	1−x2
2
1. Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dx		∫ f (x, y) dy .
0		x

2.Знайти масу кулі радіуса R = 3 , густина якої пропорційна відстані відцентракулі, причомунавідстаніодиницівідцентрагустинадорівнює2.

3.Знайти об’єм тіла, обмеженого параболоїдом z = x2 + y2 і площи-

нами x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1 .

4. Обчислити ∫ ydl , де L – дуга параболи y2 = 2 px , щовідтинається

L
параболою x2 = 2 py .
5. Обчислити ∫ 2xy dx − x2dy , де L – дуга параболи x = 2y2 , що про-
L
ходить від точки O(0; 0) до точки A(2; 1) .
Варіант №2
4	x

1. Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dx ∫ f (x, y) dy .

0 x2

158 Глава 3. Інтегральне числення функцій однієї та багатьох змінних

2. Обчислити ∫∫∫ zdxdydz , де V – область, що обмежена конусом

z2 = x2 + y2 і площиною z =1 .

3. Обчислити ∫ (x + y) dl , де L – правий пелюсток лемніскати

ρ2 = a2 cos 2ϕ .

4.Поле утворене силою FG = (x − y) iG+ xjG . Знайти роботу при переміщенні точки прикладання сили вздовж контуру квадрата зі сторонами

x= ±a , y = ±a .

5.Знайти масу прямокутного паралелепіпеда, обмеженого площина-

ми x = 0, x = a, y = 0, y = b,			z = 0, z = c , якщо густина у кожній його точ-
ці дорівнює сумі координат цієї точки.
			Варіант №3
			1	ey
1.	Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dy ∫ f (x, y) dx .
			0	e− y
	a	a2 −x2
2.	Обчислити ∫ dx	∫	x2 + y2 dy .

3.Знайти об’єм тіла, обмеженого площинами z = 0, y + z = 2 і ци-

ліндром y = x2 .

		2			2
4. Обчислити ∫ xydl , де L – чверть еліпса			x	+	y	= 1 , що лежить у
4. Обчислити ∫ xydl , де L – чверть еліпса			2	+	2	= 1 , що лежить у
першому квадранті. L			a		b
першому квадранті. L
5. Поле утворене силою FG = (x + y) iG+ 2xjG. Знайти роботу при пере-
міщенні точки прикладання сили вздовж кола x = a cos t ,						y = a sin t .
Варіант №4
		1			x2
1. Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dx ∫						f (x, y) dy .
		0			x3
2. Обчислити ∫∫∫ xdxdydz ,	де	V – область,			обмежена конусом
V
x2 = 2 ( y2 + z2 ) і площиною x = 4	(x ≥	0) .

§4. Індивідуальне завдання 3.4	159

3. Знайти масу піраміди, утвореної площинами x + y + z = a , x = 0, y = 0, z = 0 , якщо густина у кожній її точці дорівнює аплікаті цієї

точки.

4. Обчислити ∫

де L – відрізок прямої

y = x + 2 , що з’єднує

x + y

точки A(2; 4) і B(1; 3) .

5. Обчислити

∫ ( y + x2 )dx + (2x − y)dy , де L –

дуга параболи

y = 2x − x2 від точки A(1; 1)

до точки B(3; − 3) .

Варіант №5

8−x

1. Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dx ∫

f (x, y) dy .

2. Обчислити

∫∫∫ ydxdydz , де V –

область,

обмежена сферою

x2 + y2 + z2 = 32 і конусом

y2 = x2 + z2 ( y ≥

0) .

3. Знайти масу тіла, обмеженого поверхнями z = h,

x2 + y2 − z2 = 0 ,

якщо густина у кожній його точці дорівнює аплікаті цієї точки.

4. Обчислити ∫ x2 ydl , де L – частинакола x2 + y2 = R2 , щолежить у

першій чверті.

5. Обчислити ∫ xdy , де L – відрізок прямої

= 1 від точки

A(a; 0) до точки B(0; b) .

Варіант №6

3−2 y

1. Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dy ∫

f (x, y) dx .

2. Обчислити ∫∫∫

xdxdydz

, V: 1 ≤

x2+ y2+

z2≤

9 , y ≤ x , y ≥ 0 ,

+ y2 + z2

z ≥ 0 .

160 Глава 3. Інтегральне числення функцій однієї та багатьох змінних

3. Обчислити ∫ xdl , де L – відрізок прямої, що з’єднує точки A(0; 0)

L
і B(1; 2) .
4. Обчислити ∫	dy	−	dx	, де L – чвертькола x = R cos t,		y = R sin t , що
4. Обчислити ∫		−		, де L – чвертькола x = R cos t,		y = R sin t , що
L	x		y
пробігає проти годинникової стрілки.
5. Знайти об’єм тіла, обмеженого параболоїдами z = x2 + y2 ,
z = x2 + 2 y2 і площинами y = x, y = 2x, x = 1 .
				Варіант №7
		1			1− y
1. Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dy					∫	f (x, y) dx .
				0 −	1− y2
2. Обчислити	∫∫ x3 y2dxdy , якщо область D обмежена лінією

x2 + y2 = R2 .

3. Знайти об’єм тіла, обмеженого циліндром						x2 + y2 = 2x , парабо-
лоїдом z = x2 + y2 і площиною z = 0 .
4. Обчислити ∫			dl		, де L – відрізок прямої, що з’єднує точ-
4. Обчислити ∫	8	− x2 − y2			, де L – відрізок прямої, що з’єднує точ-
L	8	− x2 − y2
ки A(0; 0) і B(2; 2) .
5. Знайтироботусили FG = (x + y) iG+ xjG припереміщенніточкивздовж
кола x = R cos t, y = R sin t .
			Варіант №8
				1		x
1. Змінити порядок інтегрування в інтегралі ∫ dx ∫ f (x, y) dy .
				0		x2
2. Обчислити	∫∫∫		xdxdydz		, V: x2 + y2 = 2x ,	x2 + y2 = 4x , y ≤ x ,
2. Обчислити	∫∫∫		x2 + y2		, V: x2 + y2 = 2x ,	x2 + y2 = 4x , y ≤ x ,
	V		x2 + y2
z = 4 , z ≥ 0 , y ≥ 0 .
3. Знайти об’єм тіла, обмеженого параболоїдом z = x2 + y2 і площи-
нами z = 0, y = 1, y = 2x,			y = 6 − x .

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 5616 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 1-1 Высшая математика

#
31.01.202141.44 Кб55325.jpg
#
31.01.202110.43 Кб56Individual work 1.pdf
#
31.01.202187.04 Кб56Individual work 2.doc
#
31.01.202153.25 Кб66REKOMENDOVANA_LITERATURA-1.doc
#
31.01.202128.67 Кб56Titul.doc
#
31.01.202110.23 Mб87visshaya_matematika_chast_IV.pdf
#
31.01.2021539.08 Кб55ВМ - график консультаций.jpg
#
31.01.2021458.12 Кб55ВМ - для идиотов.jpg