1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV
.pdf
|
|
|
|
|
|
§5. Індивідуальне завдання 6.5 |
321 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
За даним графіком оригіналу |
f (t) знайти зображення F( p) . |
|||||||||||||||||
|
|
f(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
a |
|
2a |
3a |
|
t |
||||||||
9. |
|
–1 |
|
|
|
|
f (t) |
за заданим зображенням F( p) : |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Знайти оригінал |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
F ( p) = |
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
p3 + p2 + p |
|
|
10. Знайти розв’язок y = y(t) задачі Коші для заданого диференціального рівняння операційним методом:
y′′ − 3y′ + 2 y = et , y(0) = 1, y′(0) = 0 .
11. Знайтирозв’язок x = x(t) , y = y(t) задачіКошідлязаданоїсистеми диференціальних рівнянь операційним методом:
|
|
x′ = −x − 2 y +1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
x(0) = 1, y(0) |
= 0 . |
|||||||
|
|
|
x + y , |
|||||||||||
|
|
y′ = − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Обчислити інтеграл операційним методом: |
||||||||||||||
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
cos t − cos 4t |
dt . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №14 |
|
|
|
|
|
|
||||
1. Знайти всі значення кореня |
4 |
−1− i |
3 |
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
2. Представити в алгебраїчній формі |
cos |
|
|
|
− 2i . |
|||||||||
4 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Зобразити на комплексній площині області, задані нерівностями: |
||||||||||||||
| z + i | > 1, − |
π |
≤ arg z< 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функцію f (z) за відомою |
||||
4. Відновити аналітичну в околі точки z0 |
||||||||||||||
дійсною частиною u (x, y) |
та значенням f (z0 ) : |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
u (x, y) = x2 − y2 − 2x +1, z = 0, f (z ) = 1 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
322 |
|
|
|
|
|
Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада- |
|||||||||||||||||||||
ної кривої: |
∫ (ch z + z) dz , L : {| z | = 1, Im z ≤ |
0} . |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
Визначити тип особливої точки z = 0 для функції |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
cos 3z − |
1 |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin z − z + |
|
z3 |
|
|
|
||||
7. |
Обчислити інтеграли: |
6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
v∫ |
|
cos |
2 |
z +1 |
|
|
2π |
|
|
|
|
dt |
|
|||||
а) |
|
|
|
|
dz ; |
|
б) ∫ |
|
|
|
|
; |
|||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
z−2 |
|
=3 |
z |
− π |
|
0 |
|
|
5 − |
21sin t |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
(x +1) sin 2x |
|
|||
в) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
г) ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||
|
(x |
2 |
+ 5) |
2 |
|
|
|
x |
2 |
+ 2x + 2 |
|||||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
||||||||
8. |
За даним графіком оригіналу |
f (t) |
|
знайти зображення F( p) . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
a |
2a |
3 |
|
a |
t |
|||||||
|
–b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) за заданим зображенням F( p) : |
|||||||||||||
9. Знайти оригінал |
||||||||||||||
|
F ( p) = |
|
3 p + 2 |
|
. |
|
|
|||||||
|
( p +1)( p2 + 4 p + 5) |
|
|
|||||||||||
10. Знайти розв’язок y = y(t) задачі Коші для заданого диференціаль- |
||||||||||||||
ного рівняння операційним методом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 y′′ + 3y′ + y = 3et , |
y(0) = 0, |
y′(0) = 1 . |
|
|
|||||||||
11. Знайтирозв’язок x = x(t) , |
y = y(t) задачіКошідлязаданоїсисте- |
ми диференціальних рівнянь операційним методом:
|
|
|
|
|
|
|
|
§5. Індивідуальне завдання 6.5 |
|
|
|
|
|
323 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x′ |
= 3x + 5 y + 2 , |
x(0) = |
0 , |
|
|
y(0) = 2 . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y′ = 3x + y +1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
12. Обчислити інтеграл операційним методом: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
−3t |
sin 4t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
e |
|
|
dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. Знайти всі значення кореня 3 −8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
||
2. Представити в алгебраїчній формі |
sin |
|
|
|
|
− 5i . |
||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Зобразити на комплексній площині області, задані нерівностями: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
| z −1− i | < 1, | arg z | ≤ |
|
π |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. Відновити аналітичну в околі точки z0 |
|
функцію f (z) за відомою |
||||||||||||||||||||||||||||||
уявною частиною v (x, |
|
y) та значенням f (z0 ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
v (x, y) = 3x2 y − y3 − y , z = 0, f (z ) = 0 . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ної кривої: |
∫| z | Re z2dz , L :{| z | = R , Im z ≥ |
0} . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Визначити тип особливої точки z = 0 для функції |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
|
|
sh 2z − 2z |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos z −1+ |
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. Обчислити інтеграли: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln (z + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|||||||
а) |
v∫ |
|
|
|
dz ; |
|
|
б) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|z−1|= |
3 |
|
sin 3z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
6 − 4 2 sin t |
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+∞ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
x sin x |
|
|
|
||||||||||
в) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
г) ∫ |
|
|
dx . |
||||||||||||||
|
(x |
2 |
+1) |
2 |
(x |
2 |
+ 4) |
|
|
|
|
(x |
2 |
+1) |
2 |
|||||||||||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
324Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності
8.За даним графіком оригіналу f (t) знайти зображення F( p) .
f(t)
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2a |
3 |
a |
t |
|||||||||||
|
|
|
–1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. Знайти оригінал |
|
|
f (t) за заданим зображенням F( p) : |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F ( p) = |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p ( p3 +1) |
|
|
|
|
|
|
||||||
10. Знайти розв’язок y = y(t) задачі Коші для заданого диференціаль- |
||||||||||||||||||||||||
ного рівняння операційним методом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
y′′ − 2 y′− 3y = 2t , |
y(0) = 1, y′(0) = 1 . |
|
|
||||||||||||||||||
11. Знайтирозв’язок x = x(t) , |
y = y(t) задачіКошідлязаданоїсисте- |
|||||||||||||||||||||||
ми диференціальних рівнянь операційним методом: |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x′ |
= 3x + 2 y , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
x(0) = 0 , y(0) = 1. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
y′ |
= |
|
|
|
x − y + 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12. Обчислити інтеграл операційним методом: |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
− cos 5t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
cos 3t |
dt . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №16 |
|
|
|
|
|
|
||||||
1. Знайти всі значення кореня 3 −8i . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2. Представити в алгебраїчній формі sh |
3 + |
π i |
. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
3. Зобразити на комплексній площині області, задані нерівностями: |
||||||||||||||||||||||||
| z | < 2, − |
π |
≤ arg (z− 1)≤ π |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. Відновити аналітичну в околі точки z0 |
функцію |
f (z) за відомою |
||||||||||||||||||||||
уявною частиною v (x, |
y) |
|
та значенням f (z0 ) : |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
v (x, y) = 2xy + y , z0 = 0, f (z0 ) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§5. Індивідуальне завдання 6.5 |
|
|
|
|
|
|
325 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ної кривої: |
|
|
∫ (3z2 + 2z) dz , AB : { y = x2 , zA = 0, |
|
zB = 1+ i} . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. Визначити тип особливої точки z = 0 для функції |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
|
|
ch 2z −1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh z − z − |
z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. Обчислити інтеграли: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
v∫ |
|
sin |
3 |
z + |
2 |
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
||||||
а) |
|
|
dz ; |
|
|
б) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
z−6 |
|
=1 |
z |
− 4π |
|
|
|
|
|
0 |
8 |
− 2 |
|
|
15 sin t |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
+∞ |
|
|
|
|
(x2 + 5) |
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
cos 2x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
в) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||||||
|
x |
4 |
+ 5x |
2 |
+ |
6 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|||||||||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. За даним графіком оригіналу f (t) |
знайти зображення F( p) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
a |
|
2a |
|
|
|
|
|
3a |
|
|
|
|
t |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
–2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
9. Знайти оригінал f (t) за заданим зображенням F( p) : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F ( p) = |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p3 ( p2 − 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
10. Знайти розв’язок y = y(t) |
|
задачі Коші для заданого диференціаль- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ного рівняння операційним методом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ + 4 y′ = sin 2t , |
y(0) = 0 , |
|
y′(0) = 1 . |
||||||||||||||||||||
11. Знайтирозв’язок x = x(t) , |
y = y(t) задачіКошідлязаданоїсисте- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ми диференціальних рівнянь операційним методом: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x′ = 2 y +1, |
x(0) = −1, |
y(0) = 1 . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = 2x + 3, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
326Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності
12.Обчислити інтеграл операційним методом:
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
sin 2t dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ e−2t |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №17 |
|
|
|
|
|
||
1. Знайти всі значення кореня |
4 − 1 . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
1 + π i |
|
|
|
2. Представити в алгебраїчній формі ch |
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3. Зобразити на комплексній площині області, задані нерівностями: |
||||||||||||||
| z | ≤ 1, arg (z+ |
i)> π |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. Відновити аналітичну в околі точки z0 |
функцію f (z) |
за відомою |
||||||||||||
уявною частиною v (x, y) та значенням f (z0 ) : |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
v (x, y) = 3x2 y − y3, z = 0, f (z ) = 1 . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада- |
||||||||||||||
ної кривої: |
∫ z Re z2dz , L : {| z | = R , |
Im z ≥ 0} . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Визначити тип особливої точки z = 0 для функції |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
ez3 |
z2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ch z −1− |
2 |
|
|
|
|
|
|
7. Обчислити інтеграли: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
v∫ |
|
tg2z + 2 dz ; |
2π |
|
|
dt |
|
|
|
||||
а) |
|
б) ∫ |
|
|
|
; |
|
|||||||
|z+1|= |
1 |
4z |
|
+ π z |
0 |
3 sin t − 2 |
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+∞ |
|
dx |
|
|
|
+∞ |
cos x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) ∫ |
|
|
|
3 ; |
|
г) ∫ |
|
dx . |
|
|||||
(1+ x |
2 |
) |
|
(x |
2 |
+1) |
3 |
|
||||||
−∞ |
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
||||||
8. За даним графіком оригіналу f (t) |
знайти зображення F( p) . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
a |
|
2a |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
|
|
|
|
§5. Індивідуальне завдання 6.5 |
327 |
|||||||
|
|
|
|
|||||
9. Знайти оригінал f (t) за заданим зображенням F( p) : |
||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
||
F ( p) = |
|
|
. |
|||||
( p2 +1)( p2 − 2) |
||||||||
10. Знайти розв’язок y = y(t) задачі Коші для заданого диференціаль- |
||||||||
ного рівняння операційним методом: |
|
|
|
|
|
|||
2 y′′ + 5y′ = 29 cos t , |
y(0) = −1, |
y′(0) = 0 . |
||||||
11. Знайтирозв’язок x = x(t) , |
y = y(t) задачіКошідлязаданоїсисте- |
|||||||
ми диференціальних рівнянь операційним методом: |
||||||||
x′ = 2x + 8 y +1, |
x(0) = 2 , y(0) = 1 . |
|||||||
|
|
|
|
|||||
y′ = 3x + 4 y , |
|
|
|
|
|
|
||
12. Обчислити інтеграл операційним методом: |
||||||||
+∞ |
e |
−2t |
− e |
−3t |
|
|||
∫ |
|
|
dt . |
|
||||
|
|
|
t |
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №18
1. Знайти всі значення кореня 4 −8 + i8 3 .
2.Представити в алгебраїчній формі Ln (−1− i) .
3.Зобразити на комплексній площині області, задані нерівностями:
1 < | z −1| ≤ 2 , Im z≥ 0 , Re z< 1 .
4. Відновити аналітичну в околі точки z0 функцію f (z) за відомою дійсною частиною u (x, y) та значенням f (z0 ) :
u (x, y) = ex (x cos y − y sin y), z |
= 0, f (z ) = 0 . |
0 |
0 |
5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада-
ної кривої: ∫ (z2 +1) dz , ABC − ламана, zA = 0, zB = −1+ i , zC = i .
ABC
6. Визначити тип особливої точки z = 0 для функції f (z) = ze4z3 .
7. Обчислити інтеграли:
|
|
|
|
|
|
cos2 z + 3 |
|
2π |
dt |
|
а) |
|
v∫ |
|
dz ; |
б) ∫ |
; |
||||
|
|
2z2 + π z |
15 sin t − 4 |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
z+ |
3 |
|
=1 |
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
328 |
Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
(x2 + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|||||||
в) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
г) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||||||
(x |
2 |
−10x + 29) |
2 |
|
(x |
2 |
+16)(x |
2 |
|
+ 9) |
|||||||||||||||||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
8. За даним графіком оригіналу f (t) |
знайти зображення F( p) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
a |
|
2a |
|
|
|
3 |
|
a |
|
|
t |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
–b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
–2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
9. Знайти оригінал |
f (t) за заданим зображенням F( p) : |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F ( p) = |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p3 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
10. Знайти розв’язок y = y(t) задачі Коші для заданого диференціаль- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ного рівняння операційним методом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
y′′ + y′ + y = t2 + t , |
y(0) = 1, y′(0) = −3 . |
||||||||||||||||||||||||||||
11. Знайтирозв’язок x = x(t) , |
y = y(t) задачіКошідлязаданоїсисте- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ми диференціальних рівнянь операційним методом: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x′ = 2x + 2 y + 2, |
|
x(0) = 0 , y(0) = 1 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y′ = 4 y +1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
12. Обчислити інтеграл операційним методом: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
− cos 3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
cos 2t |
dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1. Знайти всі значення кореня |
3 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Представити в алгебраїчній формі sin |
|
π |
− |
3i . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Зобразити на комплексній площині області, задані нерівностями: 1 ≤ | z− 1|< 2 , Im z> 1, Re z≤ 0 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§5. Індивідуальне завдання 6.5 |
|
|
|
|
329 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4. Відновити аналітичну в околі точки z0 |
|
функцію |
f (z) за відомою |
|||||||||||||||||||||||||||||||
уявною частиною v (x, |
y) |
та значенням f (z0 ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(x, y) = 2xy + 2x , z0 = 0 , f (z0 ) = 0 . |
|
|||||||||||||||||||||||
5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ної кривої: |
|
|
|
∫ e|z|2 |
Im zdz , |
AB – відрізок прямої, |
|
zA = 1+ i , |
zB = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. Визначити тип особливої точки z = 0 для функції |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
sin z3 − z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez −1− z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. Обчислити інтеграли: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
v∫ |
|
sin |
2 |
z − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|||||||
а) |
|
|
dz ; |
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
z+1 |
|
= 2 |
|
z |
+ 2π z |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
6 sin t − |
5 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
x sin x |
|
|
|
|||||
в) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
г) ∫ |
|
|
|
|
dx . |
|||||||||||
|
(x |
2 |
+1) |
2 |
(x |
2 |
|
+ 5) |
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
− 2x +10 |
|
||||||||||||||||||
8. За даним графіком оригіналу f (t) знайти зображення F( p) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
a |
2 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
3a |
|
|
t |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. Знайти оригінал |
f (t) за заданим зображенням F( p) : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F( p) = |
|
e− p 2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p2 +1)( p2 + 2) |
|
|
|
|||||||||||||||
10. Знайти розв’язок y = y(t) |
задачі Коші для заданого диференціаль- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ного рівняння операційним методом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ + 4 y = 8sin 2t , |
y(0) = 3, y′(0) = −1 . |
|
||||||||||||||||||||||
11. Знайтирозв’язок x = x(t) , |
y = y(t) |
задачіКошідлязаданоїсисте- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ми диференціальних рівнянь операційним методом: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x′ |
= x + y , |
x(0) = 1, |
y(0) = 0 . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = 4x + y +1, |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
330Глава 6. Деякі індивідуальні завдання підвищеної складності
12.Обчислити інтеграл операційним методом:
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
e |
−4t |
sin t dt . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №20 |
|
|
|
|
|
||||||
1. Знайти всі значення кореня 3 |
i . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
2. Представити в алгебраїчній формі cos π |
+ 3i . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3. Зобразити на комплексній площині області, задані нерівностями: |
|||||||||||||||||||
| z |< 2, Re z ≥ |
1, arg z≤ π |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. Відновити аналітичну в околі точки z0 |
функцію f (z) |
за відомою |
|||||||||||||||||
дійсною частиною u (x, |
y) та значенням |
f (z0 ) : |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
u (x, y) = 1− ex sin y , |
z |
= 0, |
f (z |
) = 1+ i . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада- |
|||||||||||||||||||
ної кривої: |
∫ (sin z + z) dz , L : {| z | = 1, |
Re z ≥ |
0} . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Визначити тип особливої точки z = 0 для функції |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos z3 −1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
sin z − z + |
z3 . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||||
7. Обчислити інтеграли: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ln(e + z) |
|
|
|
|
|
2π |
|
|
dt |
|
|
||||
а) |
v∫ |
|
|
dz ; |
|
|
|
б) ∫ |
|
|
; |
|
|||||||
|
|
|
z + |
π |
|
|
|
|
35 sin t − 6 |
|
|||||||||
|
|z|= |
1 z sin |
4 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
+∞ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
x cos x |
|
|
|||||
в) ∫ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
г) ∫ |
|
dx . |
|
|||||||
x |
4 |
+ 7x |
2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
− 2x +10 |
|
|||||||
|
−∞ |
|
|
+12 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||
8. За даним графіком оригіналу |
f (t) |
знайти зображення F( p) . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
f(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
a |
2a |
|
|
3a |
|
|
|
t |
|
|||
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|