1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV

Добавил:

AAA1 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

x→ 0 ln tg2x

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.01.2021

Размер:

10.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 5612 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§3. Індивідуальне завдання 2.3	111

2. Знайти найбільше та найменше значення функції

y= 3 2(x − 2)2 (8 − x) −1 на відрізку [0; 6] .

3.Дослідити методами диференціального числення функції та побудувати їх графіки:

а) y =	6x2 − x4	; б)	y = ln (x2 +1) ;	в) y =	ex−2	.
	9
					x − 2

4.Знайти найменше значення суми трьох сторін прямокутника при заданій площі S.

5.У конус, радіус основи якого дорівнює R, а висота H, вписаний циліндр із найбільшою площею бокової поверхні. Знайти радіус основи та площу бокової поверхні цього циліндра.

Варіант №4 1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя:

	sin x − sin a			π x	tg	π x
а) lim		; б) lim				2	.
			tg
x→ a	x − a	x→ 1		4

2. Знайтинайбільшетанайменшезначенняфункції

на відрізку [−3; 3] .

y =	2(x2	+ 3)	+ 7
	x2 − 2x + 5

3. Дослідити методами диференціального числення функції та побудувати їх графіки:

а)	y =	x2	− 2x + 2	; б) y = e1 x − x ;	в) y = ln	x + 2	+ 3 .
			x −1			x

4.Знайти найменше значення суми трьох сторін паралелограма з гострим кутом α і при заданій площі S.

5.Об’єм правильної чотирикутної призми дорівнює V. Знайтисторону основи призми, що має найменшу площу повної поверхні.

Варіант №5 1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя:

	ex + sin x −1			1
а) lim	ex + sin x −1	; б) lim(ctg x)ln x .
а) lim	ln (1+ x)	; б) lim(ctg x)ln x .
x→ 0	ln (1+ x)	x→	0

2. Знайти найбільше та найменше значення функції y = x2 − 2x + x16−1 −13 на відрізку [2; 5] .

3. Дослідити методами диференціального числення функції та побудувати їх графіки:

112 Глава 2. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних

		1		б) y = ln sin x ;			e2− x
а)	y =		;	б) y = ln sin x ;	в)	y =			.
		x2 + 3					2	− x

4.Потрібно огородити парканом довжиною 160 м ділянку землі у форміпрямокутника, щопримикаєдостінибудинку. Знайтирозмірипрямокутника, при яких площа ділянки найбільша.

5.Об’єм правильної трикутної призми дорівнює V. Знайти сторону основи призми, що має найменшу площу повної поверхні.

Варіант №6 1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя:

а) lim	ex + e−x					б) lim	1	tg x
					;			.
	e	x	− e	− x
x→∞						x→ 0	x

2. Знайти найбільше та найменше значення функції

y = 1+ 3 2(x −1)2 (x − 7) на відрізку [−1; 5] .

3. Дослідити методами диференціального числення функції та побудувати їх графіки:

а)

y =

3x4

;

б) y =

ln x

;

в)

y = −

e−2( x−1)

2(x

−1)

4.Середрівнобічнихтрапецій згостримкутом 450 тасумою довжин висоти і більшої основи, рівною a, знайти трапецію найбільшої площі.

5.Серед усіх правильних трикутних призм, у яких периметр бокової грані дорівнює Р, знайти розміри тієї призми, котра має найбільший об’єм. Знайти цей об’єм.

Варіант №7 1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя:

а) lim	ln sin 3x	;	б) lim(ctg x)sin x .

x→ 0 ln sin x			x→ 0

2. Знайти найбільше та найменше значення функції y = x2 + 4x + x16+ 2 − 9 на відрізку [−1; 2] .

3. Дослідити методами диференціального числення функції та побудувати їх графіки:

а) y =	x4 − 3	;	б) y = x2e−x2 ;	в) y = ln	x	+1 .
	x				x + 2

4. Знайти довжину бічної сторони рівнобічної трапеції, що при даній площі S мала б найменший периметр. Кут при основі трапеції дорівнює α .

§3. Індивідуальне завдання 2.3	113

5. Знайти площу повної поверхні правильної шестикутної призми об’єму V, що має найменшу суму довжин усіх її ребер.

Варіант №8 1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя:

2. Знайти найбільше та найменше значення функції

y= 3 2(x +1)2 (x − 2) + 5 на відрізку [−2; 5] .

3.Дослідити методами диференціального числення функції та побудувати їх графіки:

а)	y =		8	;	б) y = xe−x ;	в) y = ln	x + 6	.
		x2	− 4
							x

4.З усіх прямокутників, вписаних у коло радіуса R, знайти прямокутник найбільшої площі.

5.Знайти найбільший об’єм правильної трикутної піраміди, у якої апофема дорівнює l.

Варіант №9 1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя:

а) lim	1− cos ax	;	б) lim (tg x)2 x−π .
	1 − cos bx
x→ 0			x→π	2

2. Знайти найбільше та найменше значення функції

y = 3 2(x +1)2 (5 − x) − 6 на відрізку [−3; 3] .

3. Дослідити методами диференціального числення функції та побудувати їх графіки:

а) y =	16	; б)	y = x +	ln x	;	в) y = (2x + 3)e−2( x+1) .
	x2 (x − 4)			x

4.УпівколорадіусаR вписанийпрямокутникзнайбільшоюплощею. Знайти цю найбільшу площу.

5.Знайти найбільший об’єм правильної трикутної піраміди, бокове ребро якої має довжину b.

Варіант №10 1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя:

	x − arctg x		1
а) lim		; б) lim x	ln (ex −1)	.
	x3
x→ 0		x→ 0

114 Глава 2. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних

2. Знайти найбільше та найменше значення функції y = 2x2 +108x − 59 на відрізку [2; 4] .

3. Дослідити методами диференціального числення функції та побудувати їх графіки:

− x

в) y = 3

1− ln

а)

y =

;

б)

y = x

;

+ x2

x + 4

4.Знайти сторони прямокутника найбільшого периметра, вписаного

упівколо радіуса R.

5.У півкулю радіуса R вписаний конус так, що вершина його знаходиться в центрі півкулі. Знайти радіус основи конуса, при якому об’єм конуса буде максимальним.

Варіант №11 1. Знайти границю, використовуючи правило Лопіталя:

а) lim	x2e−x ;	б) lim(sin x)tg x .
x→∞		x→ 0

2. Знайти найбільше та найменше значення функції

y= 13 − 2x2 − x3 3 на відрізку [−6; 1] .

3.Дослідити методами диференціального числення функції та побудувати їх графіки:

а)	y = x2 +	1	;	б) y = x3e−x ;	в) y = 3ln	x	−1 .
		x2				x − 3

4.Знайти найбільший периметр рівнобічної трапеції, вписаної в півколо радіуса R так, що її нижня основа збігається з діаметром півкола.

5.У півкулю радіуса R вписаний циліндр найбільшого об’єму так, що основи півкулі і циліндра збігаються. Знайти цей найбільший об’єм циліндра.

Варіант №12 1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя:

а) lim	ex − e−x	;	б) lim(arcsin x)	tg x	.
	sin x
x→ 0			x→ 0

2. Знайти найбільше та найменше значення функції y = 3 x +1 − 3 x −1 на відрізку [0; 1] .

3. Дослідити методами диференціального числення функції та побудувати їх графіки:

а)	y =		x3	;	б) y =	1		;	в) y = ln	x	− 2 .
	3		− x2			ex −1				x − 2

§3. Індивідуальне завдання 2.3	115

4.У півколо радіуса R вписана трапеція, основою якої є діаметр півкола. Знайти такий кут трапеції при основі, щоб площа трапеції була найбільшою. Знайти цю найбільшу площу.

5.Знайти висоту конуса найменшого об’єму, описаного навколо півкулі радіуса R, якщо центр основи конуса лежить у центрі кулі.

Варіант №13 1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя:

а) lim	3x −	7x	;	б) lim (ex + x)1 x .
	x
x→ 0				x→ 0

2. Знайти найбільше та найменше значення функції

y =	2(−x2	+ 7x −	7)	на відрізку [1; 4] .
	x2 − 2x − 2

3. Дослідити методами диференціального числення функції та побудувати їх графіки:

	2x −1			1	2			x − 7
а) y =		;	б) y = xe−	2 x	;	в)	y = ln		+ 3 .
	(x −1)2							x

4.Вікно має форму прямокутника, завершеного зверху півколом. Периметр фігури вікна дорівнює P. Які повинні бути розміри вікна, щоб воно пропускало найбільшу кількість світла?

5.Конус описаний навколо півкулі радіуса R так, що центр основи конуса лежить у центрі кулі. Кут при вершині осьового перетину конуса

дорівнює ϕ . При якому значенні ϕ об’єм конуса буде найменшим?

Варіант №14 1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя:

		1+	1
	ln					π
	ln					π
а) lim			x	;	б) lim (cos x) 2		−x .
а) lim	arcctg x			;	б) lim (cos x) 2		−x .
x→∞	arcctg x				x→π	2

2.Знайти найбільше та найменше значення функції y = x − 4 x + 2 + 27 на відрізку [−1; 7] .

3.Дослідити методами диференціального числення функції та побудувати їх графіки:

а) y = (x2 −1)(x − 2) ; б) y = ln cos x ; в) y = (3 − x)ex−2 .

4.Знайти кут при вершині рівнобедреного трикутника найбільшої площі, вписаного в коло радіуса R.

5.У конус, радіус основи якого дорівнює R, а висота H, вписаний циліндр найбільшого об’єму. Знайти радіус основи і висоту циліндра.

116 Глава 2. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних

Варіант №15 1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя:

		ex − e−x				sin x	1
а) lim				;	б) lim		x2	.

			+ x)
x→	0 ln(1				x→ 0	x

2. Знайти найбільше та найменше значення функції y = 14 x4 − 23 x3 − 32 x2 + 2 на відрізку [−2; 4] .

3. Дослідити методами диференціального числення функції та побудувати їх графіки:

в) y = 2 ln

−1.

а)

y =

+ 4x

;

б) y =

;

x +1

4.У трикутник, довжина основиякого дорівнює a, a висота дорівнює h, вписаний прямокутник найбільшої площі (основа прямокутника лежить на основі трикутника). Знайти довжини сторін цього прямокутника.

5.З усіх прямокутних паралелепіпедів, у яких в основі лежить квадрат і площа повної поверхні дорівнюєS, знайти паралелепіпед найбільшого об’єму.

Варіант №16 1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя:

π −

2arctg x

tg x

а) lim

; б) lim

3 x

−1

x→∞

x→ 0

2. Знайти найбільше та найменше значення функції

y =

на

x2 − x +1

відрізку [−1; 1] .

3. Дослідити методами диференціального числення функції та побудувати їх графіки:

4					x		в) y = (4 − x)ex−3 .
а) y = x +		;	б)	y =		;
	x + 2
					ln x

4.У коло радіуса R вписаний рівнобедрений трикутник. При якому значенні кута α при вершині трикутника висота, що проведена до бічної сторони, має найбільшу довжину? Знайти цю довжину.

5.Уконусіззаданимсталимоб’ємомвписанапіраміда, основоюякої

є рівнобедрений трикутник з кутом ϕ при вершині. При якому значенні ϕ об’єм піраміди є найбільшим?

	§3. Індивідуальне завдання 2.3	117

	Варіант №17
1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя:
а) lim (ln x	x3 ) ; б) lim (cos 2x)3 x2 .
x→∞	x→ 0

2. Знайти найбільше та найменше значення функції y = − x2 + 8 −17 2 x

на відрізку [−4; −1] .

3. Дослідити методами диференціального числення функції та побудувати їх графіки:

	y =	x4		б) y =	x2			e−2( x+2)
а)			;			;	в) y = −		.
		x3 −1			2 ln x
								2(x + 2)

4.Периметр кругового сектора дорівнює m. Яким повинен бути центральний кут цього сектора, щоб його площа була найбільшою?

5.У правильній чотирикутній призмі довжина діагоналі бічної грані

дорівнює 6 3 см. Знайти довжину висоти призми найбільшого об’єму.

Варіант №18 1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя:

а) lim	e3x − 3x −1	;	б) lim (cos 5x)4 x2 .
	sin2 5x
x→ 0			x→ 0

2.Знайти найбільше та найменше значення функції y = 14 x4 − 13 x3 − 7x2 + 24x +1 на відрізку [−5; 2] .

3.Дослідити методами диференціального числення функції та побудувати їх графіки:

а)	y =	4	+	1	;	б)	y =	ln x	;	в) y = (x + 4)e−( x+3) .
		x		x4				x

4.Площа кругового сектора дорівнює S. Яким повинен бути центральний кут цього сектора, щоб його периметр був найменшим?

5.Знайтинайменшийоб’ємконуса, вякийвписанийциліндроб’ємуV.

Варіант №19 1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя:

а) lim	ln x	; б) lim (tg x)tg2x .
а) lim	1+ 2 ln sin x	; б) lim (tg x)tg2x .
x→ 0	1+ 2 ln sin x	x→π 4		2(x2
2. Знайтинайбільшетанайменшезначення функції			y = −	2(x2	+ 3)
2. Знайтинайбільшетанайменшезначення функції			y = −	x2 + 2x + 5
				x2 + 2x + 5

на відрізку [−5; 1] .

118Глава 2. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних

3.Дослідити методами диференціального числення функції та побудувати їх графіки:

а) y =	3	−	1	;	б) y = ln (1+ e−x ) ;	в) y = (2x −1)e2(1−x) .
	x		x3

4.У круговий сегмент із центральним кутом α вписано трапецію найбільшої площі. Знайти кути нахилу її бічних сторін до основи.

5.У конус із заданим об’ємом V вписаний циліндр так, що одна йогооснова лежить на основі конуса. Знайти об’єм циліндра найбільшого об’єму.

Варіант №20 1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя:

	ln(x −1)		1
а) lim		;	б) lim(ctg 2x)	ln x	.

x→ 1 ctg π x			x→ 0
2. Знайти найбільше та найменше значення функції						y =	10(x +1)
							x2 + 2x + 2

на відрізку [−1; 2] .

3. Дослідити методами диференціального числення функції та побудувати їх графіки:

а) y = 2 +	12	;	б) y =	1	x2	− ln x ;	в) y =	ex−6	.
	x2 − 4			2				x − 6

4.Накоординатнійплощинізаданаточка, щолежитьупершійчверті. Провестичерезцюточкупрямутак, щобтрикутник, утворенийнеюздодатними півосями координат, мав найменшу площу.

5.Посудина складається з циліндра, що відкритий зверху і закінчуєтьсязнизуконусом, висотаякогодорівнюєрадіусуоснови. Якимповинний бути радіус основи циліндра, щоб посудина мала найбільший об’єм при даній площі поверхні S?

Варіант №21 1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя:


			ln (x − a)		7		x
а)	lim			; б) lim cos		.
	x→	a ln (ex − ea )		x→∞	x

2. Знайти найбільше та найменше значення функції

y = 3 − x − 4(x + 2)2 на відрізку [−1; 2] .

3. Дослідити методами диференціального числення функції та побудувати їх графіки:

а) y = x5 − x3 − 2x ; б) y = e2 x−x2 ;	в) y = 2 ln	x	− 3 .
		x − 4

§3. Індивідуальне завдання 2.3	119

4.Гіпотенузапрямокутноготрикутникадорівнюєс. Якіповиннібути катети цього трикутника, щоб його площа була найбільшою?

5.Циліндр, висотаякогодорівнюєh, арадіус основидорівнюєr, вписанийуконус. Знайтивеличинукутапривершиніосьовогоперерізуконуса, при якій об’єм конуса буде найменшим.

Варіант №22 1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя:

		e2x −1		б) lim(2 − x)tg	π x
а)	lim		;		2 .

	x→ 0 sin 7x			x→ 1
2.	Знайти найбільше та найменше значення функції y = 9 − x − 4 x2

на відрізку [1; 4] .

3. Дослідити методами диференціального числення функції та побу-

дувати їх графіки:

а) y = x +

;

б) y = ln

;

в) y = −(x

+1)ex+2 .

3x −1

−1

4. При якому значенні довжини висоти прямокутна трапеція з гост-

рим кутом 450 і периметром 4 має найбільшу площу?

5. Вирізанийзкруга секторзцентральнимкутом ϕ

згорнутоуконіч-

ну поверхню. При якому

значенні кута ϕ

об’єм отриманого конуса буде

найбільшим?

Варіант №23

1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя:

ln x

а) lim

;

б) lim x

1+2ln x

x→ 0 ctg x

x→ 0

2. Знайти найбільше та найменше значення функції y = 32x − x4 на

відрізку [−1; 4] .

3. Дослідити методами диференціального числення функції та побу-

дувати їх графіки:
а) y =	x + 2	;	б) y = x + e−x ;	в) 4 − 3ln	x	.
	x3				x + 3

4.Знайти найменшу довжину огорожі, за допомогою якої можна огородити ділянку, що примикає до стіни, у формі прямокутника із заданою площею S.

5.У правильній чотирикутній призмі діагональ дорівнює d. При якій висоті призми її об’єм буде найбільшим?

120 Глава 2. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних

Варіант №24 1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя:

а) lim		tg x	;	б)	lim x		9	( x2 −1)	.
	2 tg 3x
x→π					x→	1

2. Знайти найбільше та найменше значення функції y = x(x2 +1) на

відрізку [−2; 2] .

3. Дослідити методами диференціального числення функції та побудувати їх графіки:

а) y = 2x4 − x2 +1; б) y = x2 ln x ;

в) y = (2x + 5)e−2( x+2) .

4.Серед усіх прямокутників з заданою площею S знайти той, у якого найменший периметр.

5.Циліндрдоповненийзверху півкулеютогожрадіуса. Об’ємусього тіла дорівнює V. При якому радіусі повна поверхня тіла буде найменшою?

			Варіант №25
1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя:
а) lim	x − sin x	;	б) lim (ln x)1 x .
а) lim	x3	;	б) lim (ln x)1 x .
x→ 0	x3		x→∞

2. Знайти найбільше та найменше значення функції y = x − 8 x на

відрізку [9; 25] .

3. Дослідити методами диференціального числення функції та побу-

дувати їх графіки:
а) y = (x2 −1)3 ;	б) y = x ln x ;	в) y = − (2x +1)e2( x+1) .

4.Знайти гострі кути прямокутного трикутника найбільшої площі, якщо сума його катета і гіпотенузи стала.

5.Яке найменше значення може приймати відношення об’єму конуса до об’єму циліндра, описаних біля однієї й тієї ж кулі?

§4. Індивідуальне завдання 2.4

Диференціальне числення функцій багатьох змінних

[Ч.2, гл.2, §1, приклади 1 – 21, §2, приклади 1 – 7]

	Варіант №1
1. Знайти область визначення функції z = f (x, y)		та побудувати її на
площині (x, y) :	б) z = arcsin (1 x2 + y2	).
а) z = ln ( y2 − 4x + 8) ;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 5612 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 1-1 Высшая математика

#
31.01.202141.44 Кб55325.jpg
#
31.01.202110.43 Кб56Individual work 1.pdf
#
31.01.202187.04 Кб56Individual work 2.doc
#
31.01.202153.25 Кб66REKOMENDOVANA_LITERATURA-1.doc
#
31.01.202128.67 Кб56Titul.doc
#
31.01.202110.23 Mб87visshaya_matematika_chast_IV.pdf
#
31.01.2021539.08 Кб55ВМ - график консультаций.jpg
#
31.01.2021458.12 Кб55ВМ - для идиотов.jpg