Добавил:
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV

.pdf
Скачиваний:
84
Добавлен:
31.01.2021
Размер:
10.23 Mб
Скачать

 

 

§5. Індивідуальне завдання 1.5

 

 

91

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Чи перетинаються задані прямі:

 

 

 

 

 

 

x + 4

=

y +1

=

z 2

і

x 2

=

 

y + 2

=

z + 2

?

2

0

 

1

 

4

 

1

2

 

8. Задано чотири точки

A(1; 1; 4) ,

B(0; 3; 0) ,

C(3; 4; 2) і

D(4; 5; 2) . Скласти рівняння:

a) площини P, яка проходить через точки А, В, С; б) прямої АВ;

в) прямої , що перпендикулярна до площини P; г) прямої CN, що паралельна прямій АВ;

д) площиниF, якапроходитьчерезточкуD перпендикулярнопрямійАВ. Обчислити:

е) косинус кута між координатною площиною Оху та площиною P.

Варіант №25 1. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку

M (4; 1; 5) :

а) паралельно вектору SG = 3 Gj 4kG ;

2x + y + 2 = 0 ;

б) паралельно прямій 3x 2 y + z 3 = 0.

2. Дослідити взаємне розташування прямої L і площини P. У випадку їх перетину у точці М, знайти координати цієї точки:

a) L :

x + 6

=

y +1

=

z

 

,

P : y + 2 = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

0

 

 

7

 

 

 

б) L :

x

=

 

y 9

=

 

z 2

,

P : 4x 9y + 4z + 73 = 0 ;

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

в) L :

x

=

 

y 3

=

z 1

 

,

P : 4x + 3y 2z + 44 = 0 .

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

3. Знайти радіус-вектор точки Q, яка симетрична точці

P(0; 1; 3)

відносно прямої, що проходить через точки A(1; 0; 0) і B(2; 1; 1) .

 

 

4. Обчислити косинус кута між прямою y +1 = 0;

 

і площи-

 

 

 

 

 

 

2x 3y + z 3 = 0

 

ною x + 2 y + 4 = 0 .

 

 

 

 

5. Записати рівняння площини, яка проходить через пряму

 

x 2

=

y + 3

=

z 1

перпендикулярно площині 2x + 3y 2z + 7 = 0 .

10

2

 

 

7

 

 

 

92Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія

6.Обчислити відстань d між прямими:

 

x + 4

=

 

y 1

=

 

z 4

і

 

x + 6

=

 

y 5

=

z + 6

.

 

2

 

 

3

 

2

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

4

 

7. Чи перетинаються задані прямі:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

=

y + 3

 

=

z

 

і

x + 8

 

=

 

y 4

 

=

z 3

?

 

 

7

1

 

2

0

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

8. Задано чотири точки A(0; 3; 0) ,

 

B(0; 1; 2) , C(3; 5; 2) і

D(4; 5; 2) . Скласти рівняння:

a) площини P, яка проходить через точки А, В, С; б) прямої АВ;

в) прямої , що перпендикулярна до площини P; г) прямої CN, що паралельна прямій АВ;

д) площиниF, якапроходитьчерезточкуD перпендикулярнопрямійАВ. Обчислити:

е) косинус кута між координатною площиною Оху та площиною P.

ГЛАВА 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ

ОДНІЄЇ ТА БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

§1. Індивідуальне завдання 2.1

Границі. Неперервність

[Ч.1, гл.7, §1, приклади 2 – 4, 11 – 17, §2, приклади 2 – 5]

Завдання: у прикладах 1, 2, 3, 6 знайти границі заданих функцій. У прикладі 4 визначити порядок малості нескінченно малої функції α (x) відноснонескінченно малоїфункції β (x) при x 0 . Уприкладі5 дослідити на неперервність задану функцію y = f (x) .

Варіанти завдань

1.

lim

 

x4 + 2x2 3

.

 

 

 

 

x2 3x +

2

 

 

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

3.

lim

 

 

 

ln(x 4e) 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x

5e

 

 

x 5e

 

 

 

 

5.

y

=

1

+ x2

 

.

 

 

 

 

 

 

1

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

lim

 

x( x2 +1 x) .

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

lim

(1 + sin x)5 x .

 

 

 

x

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

y =

 

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

3

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

lim

 

3x4 4x3 +1

.

 

 

 

(x 1)2

 

 

 

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №1

2.

lim

tg x sin x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

sin3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

α (x)=

sin2 x+

x4 , β (x) = x .

6.

 

ln(1+ 2

x

 

 

 

+

3

 

lim

 

) ln

1

 

.

 

x

 

x→+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

lim

cos mx cos nx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

α (x)=

ln(1

5x3 ),β

 

 

(x=) x .

 

 

 

ax + bx + cx

1

 

 

 

6.

 

 

x

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

lim

ex3 cos2 x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

94 Глава 2. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних

3.

lim

 

ln(1+ x)

.

 

 

 

4.

α (x)=

tg xsin x, β (x) = x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

32x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

y = 2 +

 

 

1

 

 

 

 

 

.

6.

lim

 

 

x

a +

x a

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x

a

 

 

x2 a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + 21x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

lim

 

 

 

n sin n!

.

2.

lim

 

1+ tg x

1tg x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

n2 + 1

 

 

 

 

 

x

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

lim x ln

 

2a + x

.

4.

α (x)=

1+

x sin x

cos 2x,

 

β (x) = x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

a + x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2sin x

,

 

 

x 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,

 

 

 

 

 

x = 0.

 

x

0 5 1 + 5x (1+ x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ 3 + 5 +... +

 

 

2n +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

(2n 1)

 

2.

lim

 

1

 

1

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

x

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

x0

sin

 

x

 

4sin2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3.

lim

 

eax ebx

.

4.

α (x)=

cos 3x

cos x,

β (x) = x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

y =

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

lim(1x) logx 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №6

1. lim

x2

6x + 8

.

 

5x + 4

x4 x2

 

3.lim x(ln ( x + 3) ln x) .

x→∞

5. y = 1cos8x .

64x2

2.

lim

sin(a + x) + sin(a x) 2sin a

.

 

 

x0

 

x2

 

 

4.

 

sin2 x

x .

α (x)= 9

1,β (x=)

6.

lim

sin mx

(m, n Ζ

, m0,n 0) .

sin nx

 

x→π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§1. Індивідуальне завдання 2.1

 

 

 

 

95

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №7

 

 

 

 

 

 

 

1.

lim

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

2.

lim

esin2 x

2sin2 x cos 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

x1

1x

 

1

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

lim

 

 

 

2x

1

 

x

 

 

 

4.

α (x)=

3 1+

x1,β

(x=) x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

2x

+ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ tg x

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin3 x

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

y = e

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

1

+ sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №8

 

 

 

 

 

 

 

1.

lim

 

x2 5x + 6

 

.

 

 

2.

lim

 

 

 

sin 4x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7x +10

 

 

 

 

 

x +1

 

 

 

 

 

 

 

x2 x2

 

 

 

 

x0

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

α

x

 

 

 

β

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

lim

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

.

4.

α (x)=

x+

 

 

x , β (x) = x .

 

 

sin α

x

 

 

sin β

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. y =

1.lim

x→∞

 

x

2

,

x 3;

 

 

 

 

 

 

 

2x +1, x > 3.

(3 1 x 3 + x).

 

 

 

 

 

 

 

x

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

6.

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

12 cos x

 

 

 

 

x

π

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

sin x

 

sin2

x

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

cos

 

x

 

 

cos

 

x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

lim (1+ 5tg2 x)3ctg2 x .

4.

α (x)=

ex2cos x,β

(x=) x .

 

 

x

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex

ex

 

 

 

 

 

 

 

π

 

ctg x

 

 

 

5.

y

=

 

 

 

 

 

.

6.

lim

tg

 

x

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x0

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ 3 +

5 + ... + (2n 1)

 

 

 

 

2. lim

 

1

+ x + x2 1

 

1.

lim

 

 

 

 

 

 

 

n .

 

 

 

 

 

 

.

 

n→∞

 

 

 

 

 

n + 3

 

 

 

 

 

 

x

0

 

sin 2x

 

 

 

 

3x + 4

 

x+3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

lim

 

 

 

.

4.

α (x)=

sin 2x

2 sin x, β (x) = x .

 

 

 

 

 

x→∞

 

3x + 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

96 Глава 2. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних

 

 

 

2

,

x 3;

5.

y =

x

 

 

 

 

x > 3.

 

 

2x + 3,

 

 

 

 

 

 

 

1.

lim

x4

18x2

+ 81

.

 

 

 

 

 

x3 2x2 3x 9

 

3.lim lg x 1 .

x10 x 10

5.

y =

x2

 

 

.

x2

 

 

 

4

1.

lim

(

 

x(x + 2) x

)

.

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

lim (1+ cos x)2sec x .

 

x

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

y =

 

 

.

 

 

 

 

1

+

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1.

lim

3

1

+ 3x2 1

.

 

 

 

x2 + x3

 

 

 

 

x

0

 

 

 

 

3.lim x(e9x 1) .

x→∞

5.

y =

1

 

.

 

1

 

 

 

1+ e

1x

 

 

 

1.

lim

 

n + (1)n

.

 

n (1)n

 

n→∞

 

 

3.lim (cos x)75x .

x0

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

6.

lim

x2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

cos 2x

 

 

Варіант №11

 

 

2.

lim

 

cos x 1

.

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

x2

 

 

4.

α (x)= 1+ 2x21, β (x) = x .

6.

lim (cos x)1 x .

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №12

 

 

2.

lim

1

cos 2x + tg2 x

.

 

x sin x

 

 

x0

 

 

 

4.

α (x)= 1+ x31,β (x=) x .

6.lim (x + ex )1x .

x0

Варіант №13

2.

lim

sin x cos x

.

 

 

 

 

x

 

π

1tg x

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

arcsin (

4+ x22), β (x) = x .

4.

α (x)=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

6.

lim tg 2x tg

 

 

x .

4

 

 

x

π

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №14

 

 

 

 

2.

lim

1+ sin x

 

1sin x

.

 

 

 

 

x0

 

x

 

 

 

4.

α (x)=

sin 3x

3sin x, β (x) = x .

§1. Індивідуальне завдання 2.1

 

 

97

 

 

 

 

 

 

5. y = 9 53 x .

6. lim

(3

x3 + 3x2

x2 2x ) .

 

x→+∞

 

 

 

 

Варіант №15

1.

lim

1+ 3 + 5 + ... + (2n 1)

.

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

1+ 2 + 3 + ... + n

3.

lim

1ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

4

 

 

 

 

 

 

5.

y =

 

 

 

 

 

 

, x

2;

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4,

 

 

 

x = 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант

1.

lim

 

 

 

n(

n + 2

n ) .

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

lim (3x + 5) ln

x + 5

.

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

x

4

5.y = 2 x2 .

Варіант

1.lim 1+ 3 x .

x→− 11+ 5 x

3.lim 1cos3 x . x0 x sin 2x

2.

lim

1+ x sin x cos x

.

 

 

x0

sin2

x

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

4.

α (x)= 2sin 2 x1,β (x=) x .

6.lim (tg x)tg 2x .

xπ4

№16

2.

lim

 

1cos 4x

.

 

 

 

 

 

 

x0

 

1cos8x

 

4.

α (x)= sin( 9+

x3),β (x=) x .

6.

lim

 

 

3 tg x 1

.

 

12 sin2 x

 

x

π

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

№17

 

 

 

 

 

 

2.

lim

arcsin 5x

.

 

 

 

 

x0

 

 

sin x

 

4.

α (x)= arctg7 2x,

β (x) = x .

5.

y =

x 9

.

 

6.

lim

2x x

2

.

 

| x 9 |

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №18

 

 

 

 

 

 

1.

lim

 

sin x cos x

.

2.

lim

 

x 2 2 + x

.

 

x

π

 

 

1tg3 x

 

x

2

 

 

 

x2 4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

98 Глава 2. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних

3.

lim

 

 

e3x 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

α (x)=

 

x+

 

3 sin x,

β (x) = x .

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

tg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(1

3x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

+ cos

1

 

x

 

 

 

5.

y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

lim

 

sin

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

lim

 

 

(x

 

 

x2 1)20 (x +

 

x2 +1)20

 

 

 

 

 

2.

 

lim

1cos 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x tg2x

 

x→+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0

 

 

 

 

3.

lim

1

 

cos x

.

 

 

 

 

 

 

 

4.

α (x)=

 

9 + x

 

3,β

 

 

(x=)

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

1cos

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

1,

 

 

 

 

 

 

 

x 3;

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(1sin x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

lim

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x > 3.

 

 

 

 

3tgx

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

lim

2

 

 

x + 3 3

 

x + 5 5 x

.

2.

lim

 

 

 

 

2 cos x

1

.

 

 

 

 

 

 

 

x→+∞

 

 

 

 

 

 

 

3x 2 +

3

2x

3

 

 

x

π

 

 

 

 

1 tg

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

lim

 

 

tg(x2 1)

.

 

 

 

 

 

 

4.

α (x)=

 

1+ x 1

 

, β (x) = x .

 

 

 

 

x3 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ x

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

y =

sin x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

lim

 

arctg(x2 + 3x)

.

 

 

 

 

| x |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

lim

 

1

 

 

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

lim

 

 

 

 

tg 2x

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

13 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

π

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

ctg

4

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

lim

 

 

ln (x3 )

3

 

.

 

 

 

 

 

 

4.

α (x)=

1

 

 

1

 

x,β

 

(x=)

x .

 

 

 

 

 

x e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xe

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

y =

(1+ x) arctg

 

 

 

1

 

 

 

6.

 

 

 

 

 

 

 

tg3 x

 

3tg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1x

 

 

 

 

x

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

+ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§1. Індивідуальне завдання 2.1

99

 

 

Варіант №22

1. lim

 

 

x sin x

 

2. lim

 

1

+ x

1 x

 

 

 

 

.

 

 

 

.

tg

2

x +1

cos 2x

 

 

x0

 

 

x0

 

1+ 2x

 

3.

lim

e3x 1

.

 

 

 

 

4.

α (x)=

ln(1

9tg4 x),β

(x=) x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

tg

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x+ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

3 cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

y =

5

 

x+ 4

.

 

 

 

 

 

6.

lim

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №23

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

lim

 

 

sin2 x

 

 

 

2.

lim

 

x 3

2x+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

.

 

 

1+ cos

3

x

 

 

 

 

x→π

 

 

 

x→∞

 

 

x + 2

 

 

 

 

3.

lim

 

13 tg x

.

4.

α (x)=

arctg(

9+ x8

3), β (x) = x .

 

 

cos 2x

 

 

 

x

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

cos(x3 )

 

 

 

 

6.

lim

cos 2x e4 x2

 

 

y =

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

x

0

 

4x2

 

 

 

 

Варіант №24

1.

lim

 

 

 

 

x2 +1

.

3

27x3 +1

 

x→−∞

 

3.

lim

(sin x)tg2 x .

 

 

x

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

y = x +

3 x

.

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

lim

 

 

2x2 + 5x + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→− 2 2x3 + 7x2 + 6x

 

 

 

 

x

 

1

 

 

 

3.

lim

x2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

2

 

 

 

 

 

 

2.

lim

cos 2x e4 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

4x2

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

α (x)=

 

 

cos 9x1,β (x=) x .

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1+ x 2x

 

 

 

 

6.

 

x2

 

 

lim

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

1+ x 3

x

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

2.

lim

 

sin 19 x sin 8 x .

 

 

x0

 

 

 

sin 9 x

 

 

4.

α (x)=

9

2sin5 x

β (x) = x .

 

 

1,

100 Глава 2. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних

 

 

 

 

x+1

 

 

 

tg(α + x) tg(α − x) tgα

2

 

5.

y = e x

2

3x

4 .

6. lim

.

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

§2. Індивідуальне завдання 2.2

Похідні функцій

[Ч.1, гл.8, §1, приклади 1 – 9]

Завдання: у задачах 1 – 7 знайти похідні заданих функцій.

 

 

 

 

Варіанти завдань

 

 

 

 

Варіант №1

1. y =

 

1

.

2. y = ln (e2x + 3 e4x + x) .

 

+ ch4x)5

(5

 

 

3.

y = arctg cos

 

x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

x =

 

 

2at

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

1

+ t

2

 

 

 

 

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a (1t2 )

 

 

 

 

 

y =

, y

= ?

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ t

2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. y = 3ln tg cos 3 1x .

6. x2 + y2 = 6arctg xy , yx = ?

7. y = xsin x .

1.

y = 4

1

.

1x3

3. y = arctg ln sh2 x .

x = cos 2t ;

 

 

8.

y =

2

 

, y′′

= ?

9. y = xeax , y(n) = ?

 

 

2

 

 

 

cos

t

xx

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №2

3tg x

2. y = 2 . 8cos2 x

4.y = 1+ 1 x .

x

5. y = 5cos tg 1x3 .

6. arctg

y

=

1

ln(x2 + y2 ), y

= ?

 

 

 

 

x

2

x

 

 

 

 

 

Соседние файлы в папке 1-1 Высшая математика