1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV
.pdf
|
|
§5. Індивідуальне завдання 1.5 |
|
|
91 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. Чи перетинаються задані прямі: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
x + 4 |
= |
y +1 |
= |
z − 2 |
і |
x − 2 |
= |
|
y + 2 |
= |
z + 2 |
? |
2 |
0 |
|
−1 |
|
−4 |
|
−1 |
2 |
|
||||
8. Задано чотири точки |
A(−1; −1; − 4) , |
B(0; − 3; 0) , |
C(−3; − 4; − 2) і |
D(−4; − 5; 2) . Скласти рівняння:
a) площини P, яка проходить через точки А, В, С; б) прямої АВ;
в) прямої DМ, що перпендикулярна до площини P; г) прямої CN, що паралельна прямій АВ;
д) площиниF, якапроходитьчерезточкуD перпендикулярнопрямійАВ. Обчислити:
е) косинус кута між координатною площиною Оху та площиною P.
Варіант №25 1. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку
M (−4; 1; − 5) :
а) паралельно вектору SG = 3 Gj − 4kG ;
2x + y + 2 = 0 ;
б) паралельно прямій 3x − 2 y + z − 3 = 0.
2. Дослідити взаємне розташування прямої L і площини P. У випадку їх перетину у точці М, знайти координати цієї точки:
a) L : |
x + 6 |
= |
y +1 |
= |
z |
|
, |
P : y + 2 = 0 ; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
0 |
|
|
7 |
|
|
|
||
б) L : |
x |
= |
|
y − 9 |
= |
|
z − 2 |
, |
P : 4x − 9y + 4z + 73 = 0 ; |
||||||
1 |
0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
||||||
в) L : |
x |
= |
|
y − 3 |
= |
z −1 |
|
, |
P : 4x + 3y − 2z + 44 = 0 . |
||||||
2 |
|
3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
3. Знайти радіус-вектор точки Q, яка симетрична точці |
P(0; −1; 3) |
|||||
відносно прямої, що проходить через точки A(1; 0; 0) і B(2; −1; 1) . |
||||||||
|
|
4. Обчислити косинус кута між прямою y +1 = 0; |
|
і площи- |
||||
|
|
|
|
|
|
2x − 3y + z − 3 = 0 |
|
|
ною x + 2 y + 4 = 0 . |
|
|
||||||
|
|
5. Записати рівняння площини, яка проходить через пряму |
||||||
|
x − 2 |
= |
y + 3 |
= |
z −1 |
перпендикулярно площині 2x + 3y − 2z + 7 = 0 . |
||
10 |
−2 |
|
||||||
|
7 |
|
|
|
92Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія
6.Обчислити відстань d між прямими:
|
x + 4 |
= |
|
y −1 |
= |
|
z − 4 |
і |
|
x + 6 |
= |
|
y − 5 |
= |
z + 6 |
. |
|||||||||||
|
2 |
|
|
3 |
|
−2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
|
||||||||||||||||
7. Чи перетинаються задані прямі: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x |
|
= |
y + 3 |
|
= |
z |
|
і |
x + 8 |
|
= |
|
y − 4 |
|
= |
z − 3 |
? |
||||||||
|
|
−7 |
1 |
|
−2 |
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||
8. Задано чотири точки A(0; − 3; 0) , |
|
B(0; 1; − 2) , C(−3; − 5; − 2) і |
D(−4; − 5; − 2) . Скласти рівняння:
a) площини P, яка проходить через точки А, В, С; б) прямої АВ;
в) прямої DМ, що перпендикулярна до площини P; г) прямої CN, що паралельна прямій АВ;
д) площиниF, якапроходитьчерезточкуD перпендикулярнопрямійАВ. Обчислити:
е) косинус кута між координатною площиною Оху та площиною P.
ГЛАВА 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ
ОДНІЄЇ ТА БАГАТЬОХ ЗМІННИХ
§1. Індивідуальне завдання 2.1
Границі. Неперервність
[Ч.1, гл.7, §1, приклади 2 – 4, 11 – 17, §2, приклади 2 – 5]
Завдання: у прикладах 1, 2, 3, 6 знайти границі заданих функцій. У прикладі 4 визначити порядок малості нескінченно малої функції α (x) відноснонескінченно малоїфункції β (x) при x → 0 . Уприкладі5 дослідити на неперервність задану функцію y = f (x) .
Варіанти завдань
1. |
lim |
|
x4 + 2x2 − 3 |
. |
|
|
|||||||||
|
|
x2 − 3x + |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
x→ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
lim |
|
|
|
ln(x − 4e) −1 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→ |
5e |
|
|
x − 5e |
|
|
|
|
||||||
5. |
y |
= |
1 |
+ x2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
lim |
|
x( x2 +1 − x) . |
||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
lim |
(1 + sin x)5 x . |
|
|
|||||||||||
|
x→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
y = |
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
+ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
lim |
|
3x4 − 4x3 +1 |
. |
|||||||||||
|
|
|
(x −1)2 |
|
|
|
|
||||||||
|
x→ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №1
2. |
lim |
tg x − sin x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→ 0 |
|
sin3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
α (x)= |
sin2 x+ |
x4 , β (x) = x . |
|||||||||||
6. |
|
ln(1+ 2 |
x |
|
|
|
+ |
3 |
|
|||||
lim |
|
) ln |
1 |
|
. |
|||||||||
|
x |
|||||||||||||
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Варіант №2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
lim |
cos mx − cos nx |
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→ 0 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
α (x)= |
ln(1− |
5x3 ),β |
|
|
(x=) x . |
||||||||
|
|
|
ax + bx + cx |
1 |
|
|
|
|||||||
6. |
|
|
x |
|
|
|
||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→ 0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Варіант №3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
lim |
ex3 − cos2 x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
94 Глава 2. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних
3. |
lim |
|
ln(1+ x) |
. |
|
|
|
4. |
α (x)= |
tg x− sin x, β (x) = x . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→ 0 |
|
|
|
32x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
y = 2 + |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
6. |
lim |
|
|
x − |
a + |
x − a |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x→ |
a |
|
|
x2 − a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 + 21− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
lim |
|
|
|
n sin n! |
. |
2. |
lim |
|
1+ tg x − |
1− tg x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
n2 + 1 |
|
|
|
|
|
x→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
lim x ln |
|
2a + x |
. |
4. |
α (x)= |
1+ |
x sin x− |
cos 2x, |
|
β (x) = x . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
a + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2sin x |
, |
|
|
x ≠ 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. |
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
x = 0. |
|
x→ |
0 5 1 + 5x − (1+ x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1+ 3 + 5 +... + |
|
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
(2n −1) |
− |
|
2. |
lim |
|
1 |
|
− |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x→ 0 |
sin |
|
x |
|
4sin2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
3. |
lim |
|
eax − ebx |
. |
4. |
α (x)= |
cos 3x− |
cos x, |
β (x) = x . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
y = |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
lim(1− x) logx 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №6
1. lim |
x2 |
− 6x + 8 |
. |
|
− 5x + 4 |
||
x→ 4 x2 |
|
3.lim x(ln ( x + 3) − ln x) .
x→∞
5. y = 1− cos8x .
64x2
2. |
lim |
sin(a + x) + sin(a − x) − 2sin a |
. |
|||
|
||||||
|
x→ 0 |
|
x2 |
|
|
|
4. |
|
sin2 x |
x . |
|||
α (x)= 9 |
− 1,β (x=) |
|||||
6. |
lim |
sin mx |
(m, n Ζ |
, m≠ 0,≠n 0) . |
||
sin nx |
||||||
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§1. Індивідуальне завдання 2.1 |
|
|
|
|
95 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
lim |
|
1 |
|
|
|
− |
|
|
|
3 |
|
|
|
2. |
lim |
esin2 x − |
2sin2 x − cos 2x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|||||||||||||
|
x→ 1 |
1− x |
|
1 |
|
|
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3. |
lim |
|
|
|
2x |
−1 |
|
x |
|
|
|
4. |
α (x)= |
3 1+ |
x− 1,β |
(x=) x . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
2x |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ tg x |
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin3 x |
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5. |
y = e |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ 0 |
1 |
+ sin x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
lim |
|
x2 − 5x + 6 |
|
. |
|
|
2. |
lim |
|
|
|
sin 4x |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7x +10 |
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→ 2 x2 − |
|
|
|
|
x→ 0 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
α |
x |
|
|
|
β |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
− e |
|
|
|
|
. |
4. |
α (x)= |
x+ |
|
|
x , β (x) = x . |
|
||||||||||||
|
sin α |
x− |
|
|
sin β |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x→ 0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. y =
1.lim
x→∞
|
x |
2 |
, |
x ≤ 3; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
2x +1, x > 3.
(3 1 − x 3 + x).
|
|
|
|
|
|
|
x − |
π |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
6. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
1− 2 cos x |
|
|
|
|||||||||||
|
x→ |
π |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
lim |
|
|
sin x |
− |
|
sin2 |
x |
||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→ |
|
|
|
cos |
|
x |
|
|
cos |
|
x |
||||
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
lim (1+ 5tg2 x)3ctg2 x . |
4. |
α (x)= |
ex2− cos x,β |
(x=) x . |
|
|||||||||||||||
|
x→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
− e−x |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
ctg x |
|
|
|
||||
5. |
y |
= |
|
|
|
|
|
. |
6. |
lim |
tg |
|
− x |
|
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x→ 0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №10 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1+ 3 + |
5 + ... + (2n −1) |
|
|
|
|
2. lim |
|
1 |
+ x + x2 −1 |
|
||||||||
1. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
− n . |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
n + 3 |
|
|
|
|
|
|
x |
→ 0 |
|
sin 2x |
|
|||
|
|
|
3x + 4 |
|
x+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
lim |
|
|
|
. |
4. |
α (x)= |
sin 2x− |
2 sin x, β (x) = x . |
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
3x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
96 Глава 2. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних
|
|
|
2 |
, |
x ≤ 3; |
|
5. |
y = |
x |
|
|||
|
|
|
x > 3. |
|||
|
|
2x + 3, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
1. |
lim |
x4 |
−18x2 |
+ 81 |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
x→ 3 2x2 − 3x − 9 |
|
3.lim lg x −1 .
x→ 10 x −10
5. |
y = |
x2 |
||
|
|
. |
||
x2 |
|
|||
|
|
− 4 |
1. |
lim |
( |
|
x(x + 2) − x |
) |
. |
|||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
lim (1+ cos x)2sec x . |
||||||||||
|
x→ |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
y = |
|
|
. |
|
|
|
|
|||
1 |
+ |
1 x |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
1. |
lim |
3 |
1 |
+ 3x2 −1 |
. |
|
|
||||
|
x2 + x3 |
|
|
|
|||||||
|
x→ |
0 |
|
|
|
|
3.lim x(e9x −1) .
x→∞
5. |
y = |
1 |
|
. |
|
||
1 |
|
||||||
|
|
1+ e |
1−x |
|
|
|
|
1. |
lim |
|
n + (−1)n |
. |
|||
|
n − (−1)n |
||||||
|
n→∞ |
|
|
3.lim (cos x)75x .
x→ 0
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
6. |
lim |
x2 |
. |
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
||||||||
|
x→ 0 |
|
cos 2x |
|
|
||||
Варіант №11 |
|
|
|||||||
2. |
lim |
|
cos x −1 |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
x→ 0 |
|
x2 |
|
|
||||
4. |
α (x)= 1+ 2x2− 1, β (x) = x . |
||||||||
6. |
lim (cos x)1 x . |
|
|
||||||
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №12 |
|
|
|||||||
2. |
lim |
1 |
− cos 2x + tg2 x |
. |
|||||
|
x sin x |
|
|||||||
|
x→ 0 |
|
|
|
|||||
4. |
α (x)= 1+ x3− 1,β (x=) x . |
6.lim (x + ex )1x .
x→ 0
Варіант №13
2. |
lim |
sin x − cos x |
. |
|
||||||||
|
|
|||||||||||
|
x→ |
|
π |
1− tg x |
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
|
|
|
arcsin ( |
4+ x2− 2), β (x) = x . |
|||||
4. |
α (x)= |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
6. |
lim tg 2x tg |
|
|
− x . |
||||||||
4 |
|
|||||||||||
|
x→ |
π |
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Варіант №14 |
|
|
|
|
||||||||
2. |
lim |
1+ sin x − |
|
1− sin x |
. |
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
x→ 0 |
|
x |
|
|
|
||||||
4. |
α (x)= |
sin 3x− |
3sin x, β (x) = x . |
§1. Індивідуальне завдання 2.1 |
|
|
97 |
||
|
|
|
|
|
|
5. y = 9 − 53 x . |
6. lim |
(3 |
x3 + 3x2 |
− |
x2 − 2x ) . |
|
x→+∞ |
|
|
|
|
Варіант №15
1. |
lim |
1+ 3 + 5 + ... + (2n −1) |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
1+ 2 + 3 + ... + n |
||||||||
3. |
lim |
1− e−x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x2 − |
4 |
|
|
|
|
|
|
||
5. |
y = |
|
|
|
|
|
|
, x ≠ |
2; |
|
|
||
|
x − 2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
4, |
|
|
|
x = 2. |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант |
|
1. |
lim |
|
|
|
n( |
n + 2 − |
n ) . |
||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
lim (3x + 5) ln |
x + 5 |
. |
||||||||||
|
|||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
−4
5.y = 2 x−2 .
Варіант
1.lim 1+ 3 x .
x→− 11+ 5 x
3.lim 1− cos3 x . x→ 0 x − sin 2x
2. |
lim |
1+ x sin x − cos x |
. |
||
|
|||||
|
x→ 0 |
sin2 |
x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
4. |
α (x)= 2sin 2 x− 1,β (x=) x . |
6.lim (tg x)tg 2x .
x→ π4
№16
2. |
lim |
|
1− cos 4x |
. |
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
x→ 0 |
|
1− cos8x |
|
||||
4. |
α (x)= sin( 9+ |
x− 3),β (x=) x . |
||||||
6. |
lim |
|
|
3 tg x −1 |
. |
|||
|
1− 2 sin2 x |
|||||||
|
x→ |
π |
|
|
||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
№17 |
|
|
|
|
|
|
||
2. |
lim |
arcsin 5x |
. |
|
||||
|
|
|||||||
|
x→ 0 |
|
|
sin x |
|
|||
4. |
α (x)= arctg7 2x, |
β (x) = x . |
5. |
y = |
x − 9 |
. |
|
6. |
lim |
2x − x |
2 |
. |
|
|||||
| x − 9 | |
|
|
x − 2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №18 |
|
|
|
|
|
|
|
1. |
lim |
|
sin x − cos x |
. |
2. |
lim |
|
x − 2 − 2 + x |
. |
||||||
|
x→ |
π |
|
|
1− tg3 x |
|
x→ |
2 |
|
|
|
x2 − 4 |
|||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
98 Глава 2. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних
3. |
lim |
|
|
e3x −1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
α (x)= |
|
x+ |
|
3 sin x, |
β (x) = x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→ 0 |
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ln(1 |
− 3x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+ cos |
1 |
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5. |
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
lim |
|
sin |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
lim |
|
|
(x − |
|
|
x2 −1)20 − (x + |
|
x2 +1)20 |
|
|
|
|
|
2. |
|
lim |
1− cos 3x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x tg2x |
||||||||||||||||||||||
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
0 |
|
|
|
|
||||||||||
3. |
lim |
1− |
|
cos x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
α (x)= |
|
9 + x− |
|
3,β |
|
|
(x=) |
x . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→ 0 |
1− cos |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
−1, |
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1− sin x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5. |
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
lim |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > 3. |
|
|
|
|
3tgx |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
cos |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
lim |
2 |
|
|
x + 3 3 |
|
x + 5 5 x |
. |
2. |
lim |
|
|
|
|
2 cos x |
−1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
3x − 2 + |
3 |
2x |
− 3 |
|
|
x→ |
π |
|
|
|
|
1 − tg |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3. |
lim |
|
|
tg(x2 −1) |
. |
|
|
|
|
|
|
4. |
α (x)= |
|
1+ x −1 |
|
, β (x) = x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x3 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5. |
y = |
sin x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
lim |
|
arctg(x2 + 3x) |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
| x | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
lim |
|
1− |
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
lim |
|
|
|
|
tg 2x |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→ 1 |
|
1− 3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
ctg |
4 |
|
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
lim |
|
|
ln (x3 ) |
− 3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
4. |
α (x)= |
1− |
|
|
1− |
|
x,β |
|
(x=) |
x . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x − e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→ e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
y = |
(1+ x) arctg |
|
|
|
1 |
|
|
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
tg3 x |
|
− 3tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x |
|
|
|
|
x→ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§1. Індивідуальне завдання 2.1 |
99 |
|
|
Варіант №22
1. lim |
|
|
x sin x |
|
2. lim |
|
1 |
+ x |
1 x |
||
|
|
|
|
. |
|
|
|
. |
|||
tg |
2 |
x +1 |
− cos 2x |
|
|
||||||
x→ 0 |
|
|
x→ 0 |
|
1+ 2x |
|
3. |
lim |
e3x −1 |
. |
|
|
|
|
4. |
α (x)= |
ln(1− |
9tg4 x),β |
(x=) x . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→ 0 |
|
tg |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x − |
3 cos x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
y = |
5 |
|
x+ 4 |
. |
|
|
|
|
|
6. |
lim |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg2 x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
lim |
|
|
sin2 x |
|
|
|
2. |
lim |
|
x − 3 |
2x+1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
. |
|
|
|||||||
1+ cos |
3 |
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→π |
|
|
|
x→∞ |
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
||||||||||||
3. |
lim |
|
1− 3 tg x |
. |
4. |
α (x)= |
arctg( |
9+ x8− |
3), β (x) = x . |
|||||||||||||||
|
|
cos 2x |
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
cos(x3 ) |
|
|
|
|
6. |
lim |
cos 2x − e4 x2 |
|
|
||||||||||||
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x − |
1 |
|
|
|
|
|
|
x→ |
0 |
|
4x2 |
|
|
|
|
Варіант №24
1. |
lim |
|
|
|
|
x2 +1 |
. |
|||||
3 |
27x3 +1 |
|||||||||||
|
x→−∞ |
|
||||||||||
3. |
lim |
(sin x)tg2 x . |
|
|||||||||
|
x→ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
y = x + |
3 − x |
. |
|
||||||||
|
|
|
||||||||||
x − 3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
lim |
|
|
2x2 + 5x + 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→− 2 2x3 + 7x2 + 6x |
|||||||||||
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|||
3. |
lim |
x−2 |
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
x→ 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2. |
lim |
cos 2x − e4 x2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
4x2 |
|
|
|
|
||||
|
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
α (x)= |
|
|
cos 9x− 1,β (x=) x . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
1+ x 2x |
|
|
|
|||||
|
6. |
|
x2 |
|
||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x→ 0 |
|
1+ x 3 |
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Варіант №25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
2. |
lim |
|
sin 19 x − sin 8 x . |
||||||||
|
|
x→ 0 |
|
|
|
sin 9 x |
|
|||||
|
4. |
α (x)= |
9 |
2sin5 x |
β (x) = x . |
|||||||
|
|
− 1, |
100 Глава 2. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних
|
|
|
|
x+1 |
|
|
|
tg(α + x) tg(α − x−) tgα |
2 |
|
5. |
y = e x |
2 |
−3x |
−4 . |
6. lim |
. |
||||
|
x2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→ 0 |
|
|
§2. Індивідуальне завдання 2.2
Похідні функцій
[Ч.1, гл.8, §1, приклади 1 – 9]
Завдання: у задачах 1 – 7 знайти похідні заданих функцій.
|
|
|
|
Варіанти завдань |
|
|
|
|
Варіант №1 |
1. y = |
|
1 |
. |
2. y = ln (e−2x + 3 e4x + x) . |
|
+ ch4x)5 |
|||
(5 |
|
|
3. |
y = arctg cos |
|
x |
|
. |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
||
|
|
x = |
|
|
2at |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||
|
1 |
+ t |
2 |
|
|
|
|
||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
a (1− t2 ) |
|
|
|
||||||
|
|
y = |
, y′ |
= ? |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1+ t |
2 |
|
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. y = 3ln tg cos 3 1x .
6. x2 + y2 = 6arctg xy , y′x = ?
7. y = xsin x .
1. |
y = 4 |
1 |
. |
1− x3 |
3. y = arctg ln sh2 x .
x = cos 2t ; |
|
|
|||||
8. |
y = |
2 |
|
, y′′ |
= ? |
9. y = xeax , y(n) = ? |
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
cos |
t |
xx |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Варіант №2
3tg x
2. y = 2 . 8cos2 x
4.y = 1+ 1 x .
x
5. y = 5cos tg 1−x3 . |
6. arctg |
y |
= |
1 |
ln(x2 + y2 ), y′ |
= ? |
|
|
|||||
|
|
x |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|