1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV

Добавил:

AAA1 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія

+ 4x4 − 2x5 − 3x6 = −6;

x1 + 2x2 − 2x3 + 2x4 + 2x5 − 2x6 = −3;

x + 8x − 8x − 4x +14x + x = 6.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.01.2021

Размер:

10.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 566 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

			§3. Індивідуальне завдання 1.3						51

4x1 − 2x2 −				3x3 +		8x4 − 5x5 − 5x6 = − 12;
б)	2x1 − 4x2 +			3x3			+ x5 + 3x6 = 36 ;
	x	+ 7 x	−12x		+	12x	−10x	−15x = −109.
	1	2		3		4	5	6

4. Визначити вектор струмів I на вході приладу, якщо відомі матриця Z опорів приладу та вектор U різниць потенціалів контактів 1 – 4 відносно Землі. Виконати перевірку правильності розв’язку.

		−15			3		−4	6	7
1


2	U =	79	;	Z =		8	−6	2	−7

3						11	−11	1	.
		56							2

4		88				11	−7	1	−6

Варіант №23 1. Дослідитисумісністьсистемрівняньі, увипадкусумісності, розв’я-

зати системи одним з трьох способів:

1)за формулами Крамера;

2)за допомогою оберненої матриці (матричним методом);

3)методом Гаусса.

Виконати перевірку правильності розв’язку.

	3x1	−	8x2 −	x3 = 104;		5x1	+ 2x2	− 6x3 = −12;
а)	3x1	−14x2 +		5x3 = 200;	б)	9x1	− 6x2	− 8x3 =	28;
а)	3x1	−14x2 +		5x3 = 200;	б)	9x1	− 6x2	− 8x3 =	28;
	6x −		4x −14x = 17 ,			5x	+ 2x	+ 2x =	20.
	1		2	3		1	2	3

2. Дослідити, чи має нетривіальні розв’язки однорідна система рівнянь. У випадку позитивної відповіді, знайти її загальний розв’язок. Виконати перевірку правильності розв’язку.

		7x	− 2x	2		+ 2x	− 4x		= 0;		x + 2x	2	− 2x − 2x		4	= 0 ;
		1		2		3		4			1	2	3		4
а)		x1 + 2x2 + 2x3							= 0;	б)	x1 + 4x2 − 4x3					= 0 ;
а)		3x − 2x		2		+ 4x			= 0;	б)	x + x	2	− x − 3x = 0;
		1		2		3					1	2	3	4
		5x	+ 2x			+ 4x	− 2x		= 0 ,		x			− 4x		= 0.
		1		2		3		4			1				4
3. Дослідитисумісністьсистемиі, увипадкусумісності, знайтиїї розв’я-
зок. Виконати перевірку правильності розв’язку.
		x1 − 5x2 + 4x3 − x4 = 14;
		x	+ 4x		2	− 2x	+ x	4	= −2;
		1			2	3		4
						3x3 + 5x4 = −4;
а)		x1 + x2 − 2x3 − 3x4 = 6;
		x	+ x			+ x	+ 2x	4	= 2;
		1	2			3		4
	2x1 − 5x2 + 4x3 − 2x4 = 20;
			4x2 − 5x3 − 3x4 = −4,
			4x2 − 5x3 − 3x4 = −4,

52			Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія

6x1 +			5x2 + x3 + 2x4 −11x5 − x6 = −16;
б)	4x1 −		x2 + x3 − 2x4 − 3x5 + x6 = 4;
	x	+16x		2	− x +12x	4	−17x	− 6x = −53.
	1				3		5	6

		−14			0		7	−13	−8
1
							−8

2	U =	25	;	Z =		2		0	3

3						−4	4	−6	.
		−79							7
						−4	−4	−2
4		−19							3

Варіант №24 1. Дослідитисумісністьсистемрівняньі, увипадкусумісності, розв’я-

зати системи одним з трьох способів:

1)за формулами Крамера;

2)за допомогою оберненої матриці (матричним методом);

3)методом Гаусса.

Виконати перевірку правильності розв’язку.

	13x1 − 29x2 +12x3				= 256;		3x1	− 4x2	=	12;
а)	10x1 −13x2 +			5x3	= 180;	б)	7x1 − 9x2		+ 3x3 =	52;
	20x − 21x	2	+ 20x		= 400,		3x	− 6x	−18x = −134.
	1	2		3			1	2	3

3x1 + 2x2 − x3 − x4 = 0;				4x1 − 4x2 + x3 − 4x4 = 0;
а)	x1 − 2x2 + x3 + x4 = 0;			б)		2x2 − x3	= 0;
	x	+ 2x − 2x = 0,			2x − x		− 2x = 0.
	1	3	4		1	2	4

3. Дослідитисумісністьсистемиі, увипадкусумісності, знайтиїї розв’я- зок. Виконати перевірку правильності розв’язку.

	3x1 + 7x2 − 6x3 − x4 = 1;
		4x + 2x − 3x − x = 6;
		1	2	3	4
		x1 − x2 + x3 − 2x4 = 5;
а)		x1 + 3x2 − 3x3 + x4 = −2;
а)		x1 + 3x2 − 3x3 + x4 = −2;
		5x	+ 7x	− 5x	− 6x = 11;
		1	2	3	4
	4x1 + 2x2 − 3x3 − x4 = 6;
		2x	− 4x	+ 3x	− 3x = 10,
		1	2	3	4

		§3. Індивідуальне завдання 1.3	53

12x1 + 8x2		+ 6x4 − 5x5 −10x6 =	28;
б)	3x1 + 4x2 − x3 + 3x4 − 3x5 − 4x6 = 4;
	32x2 −16x3 + 24x4 − 28x5 − 24x6 = −47.
	32x2 −16x3 + 24x4 − 28x5 − 24x6 = −47.

		12			0		−9	7	7
1


2	U =	−30	;	Z =		2	1	−3	−8

									.
3		−9				2	−2	1	−1

4
		−29				2	−2	−3	−7

Варіант №25 1. Дослідитисумісністьсистемрівняньі, увипадкусумісності, розв’я-

зати системи одним з трьох способів:

1)за формулами Крамера;

2)за допомогою оберненої матриці (матричним методом);

3)методом Гаусса.

Виконати перевірку правильності розв’язку.

	9x1 + 35x2 − 2x3 = 99;					4x1 − 6x2 − 3x3 = 27 ;
а)	3x1 +	5x2 −			4x3 = 63;	б)	x1 + 3x2 +		x3 = 15;
	12x + 28x		2	−12x = 217 ,			5x	− 3x − 7 x = 57.
	1				3		1	2	3

	3x1 + x2 + 3x3							= 0 ;
					x3	+ 2x4 = 0 ;
а)					x3	+ 2x4 = 0 ;
а)			x2 + 2x3			+ x4 = 0;
			x2 + 2x3			+ x4 = 0;
		2x	+ 2x	2	+ 3x	− 2x	4	= 0 ,
		1		2	3		4

	x1		+ 2x3	= 0;
б)		x1	+ x2 + x3 − x4 = 0;

			x2 − x3 − x4 = 0.

	3x1
		x −
		1

а)		x1 +
а)		x1 +
		2x	−
		1
	2x1 +
		x	−
		1

	−	x3 − 4x4 =		30;
x2 − 2x3 − 4x4 =				20;
		x3 + 2x4	= −10;
2x2		− 2x4	=	20;
2x2	−	x3 − 2x4	=	10;
x2	−	x3 − 4x4	=	30;

x2 − x3 − 2x4 = 9,

		32			−5	−5	−8	4

1
					−1	−7	−2

2	U =	56	;	Z =				6

3					2	7	−3	.
		−90						−10

4		−76			3	4	−1	−11

§4. Індивідуальне завдання 1.4

Векторна алгебра

[Ч.1, гл.1, §1, приклади 1 – 6; гл.1, §2, приклади 1 – 9]

Варіанти завдань Варіант №1

1. Заданодвіточки M (−5; 7; − 6) і N(7; − 9; 9) . Знайтипроекціювек-
тора aG(1; − 3; 1) на напрямок вектора	JJJJG
	MN .
2. Обчислити роботу сили	FG(3; − 2; − 5) , прикладеної до точки
A(2; − 3; 5) , при прямолінійному переміщенні цієї точки в положення
B(3; − 2; − 1) .

3. Задано вершини трикутника ABC: A(1; − 1; 2) , B(5; − 6; 2) і

C(1; 3; −1) . Обчислити його висоту, що опущена з вершини В на сторону АС.

4. Задановершинитетраедра ABCD: A(2; 3; 1) , B(4; 1; − 2) , C(6; 3; 7) ,

D(−5; − 4; 8) . Знайти об’єм тетраедра та його висоту, що опущена з вершини D.

5. У прямокутному рівнобедреному трикутнику проведені медіани з вершин гострих кутів. Обчислити кут між ними.

§4. Індивідуальне завдання 1.4				55

Варіант №2	G	G	G	G
1. Визначити, при якому значенні α вектори	G	G	G	G	і
1. Визначити, при якому значенні α вектори	a	= α i−	3 j+	2k	і
bG = iG+ 2 Gj − α kG взаємно перпендикулярні.

2.Сила FG(3; 2; − 4) прикладена до точки M0 (4; − 2; 3) . Визначити момент цієї сили відносно точки A(3; 2; −1) .

3.Знайтиплощупаралелограма, побудованогонавекторах aG = pG + 2qG

та

b = 2 p

+ q

, де p

і q

– одиничні вектори, кут між якими ϕ =

4. ЗадановершинипірамідиOABC:

O(0; 0; 2) ,

A(5; 2; 0) ,

B(2; 5; 0) ,

C(1; 2; 4) . Обчислити її об’єм, площу грані АВС та висоту, що опущена на

цю грань з вершини О.

, якщо відомо що век-

5. Який кут утворюють одиничні вектори s

і t

тори

взаємно перпендикулярні?

p = s +

та q = 5s −

Варіант №3

1. Задано вершини трикутника

ABC: A(−1; − 2; 4) , B(−4; − 2; 0) ,

C(3; − 2; 1) . Знайти його внутрішній кут при вершині B.

2. Задано три сили FG1 (2; −1; − 3) ,

FG2 (3; 2; −1) ,

FG3 (−4; 1; 3) , прикла-

дені до точки C(−1; 4; − 2) . Визначити величину і напрямні косинуси мо-

менту рівнодійної цих сил відносно точки A(2; 3; −1) .

3. Вектори aG

і bG

утворюють кут ϕ =

. Знайти кут між векторами

, якщо

= 1 .

= a

+ b

і q

= a

− b

| a | =

3, | b |

4. Задано вершини піраміди ABCD: A(2; 0; 0) ,

B(0; 3; 0) , C(0; 0; 6) ,

D(2; 3; 8) . Обчислити її об’єм та висоту, яка опущена на грань ABC.

5. Довести, що трикутник з вершинами A(5; − 4) , B(3; 2) , C(2; − 5)

є прямокутним.

Варіант №4

1. Довести, щоточки A(2; −1; − 2) , B(1; 2; 1) , C(2; 3; 0) і D(5; 0; − 6)

лежать в одній площині.

FG1 (3; − 4; 2) , FG2 (2; 3; −5) ,

2. Знайти роботу рівнодійної трьох сил

FG3 (−3; − 2; 4) , якщо точка їх прикладання переміщується прямолінійно з

точки M1 (5; 3; − 7)

у точку M2 (4; −1; − 4) .

Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія

3. Знайти площутрикутника, побудованогонавекторах aG = 3 pG − qG та

, ϕ =

G G

= p +

2q , якщо | p | = 3

, | q | = 2

( p , q)=

4. Об’єм тетраедра V = 5 ,

три його вершини знаходяться в точках

A(2; 1; −1) ,

B(3; 0; 1) ,

C(2; −1; 3) . Знайти координати четвeртої вершини

D, якщо відомо, що вона лежить на осі Oy.

5. Обчислити коефіцієнти α

і γ

, якщо відомо,

що вектори

колінеарні.

= α i+

5 j−

та b =

+ γ k

Варіант №5

1. Задано вектори

G G

= 3i −

6 j − k , b

= i

4 j

− 5k ,

c = 3i

− 4 j

+12k .

Знайти

прG(a + b) .

FG(3; 2; − 4)

2. Сила

прикладена до точки

A(2; −1; 1) . Знайти вели-

чину і напрямні косинуси моменту цієї сили відносно початку координат.

3. Вектори a

b утворюють кут

. Обчислити кут між векто-

рами

p = a

+ 2b та

= 3a

− b

, якщо | a |

| b | = 1 .

Задано вершини піраміди A(3; 4; − 5) ,

B(0; 2; 0) , C(5; 0; 0) ,

D(1; − 2; 3) . Знайти об’єм піраміди, площу грані ABC та висоту піраміди,

опущеної з вершини D.

5. Знайтиаплікатувектора pG , якщовідомідвійогокоординати x = 3 ,

y = −9 та довжина

=12 .

Варіант №6

ра bG

1. Обчислити проекцію вектора a

= 5i

+ 2 j +

5k на напрямок векто-

= 2iG

−

Gj + 2kG .

2.Обчислити роботу сили FG = 3iG− 5 Gj + 2kG , якщо її точка прикладання переміщується з початку в кінець вектора SG = 2iG− 5 Gj − 7kG.

3.ЗадановершинитрикутникаАВС: A(1; − 2; 8) , B(0; 0; 4) , C(6; 2; 0) .

Обчислити його площу та висоту, що опущена з вершини В на сторону АС.

4. Задано вершини тетраедра A(0; 0; 0) , B(3; 4; −1) , C(2; 3; 5) ,

D(6; 0; − 3) . Обчислитийогооб’єм, площуграні BCD тависоту, щоопущена з вершини А.

§4. Індивідуальне завдання 1.4

G G

5. Знайти довжину та напрямні косинуси вектора a = 3m − 5n

+ p ,

якщо

−

m =

4i + 7 j + 3k ,

= i

+ 2 j

+ k ,

p = 2i

3 j

− k .

Варіант №7

= 3 ,

= 5 . Визначити, за яко-

1. Задано довжини векторів a і

го значення α

вектори

та

p = a

+ α b

= a − α b взаємно перпендикулярні.

2. Сила FG(2; 2; 9)

прикладена до точки

A(4; 2; − 3) . Визначити ве-

личину та напрямні косинуси моменту цієї сили відносно точки C(2; 4; 0) .

3. Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах

G G

, ϕ

= π / 6 .

p = a

+ 3b

і q

= 3a

+ b

, якщо | a |

=| b | = 1

(a , b)

4. Задано вершини трикутної піраміди ABCD:

A(2; 1; 5) ,

B(4; 0; 8) ,

C(6; − 2; 6) , D(5; 0; 3) . Обчислити її об’єм, площу грані АВС та висоту, яка опущена із точки D на цю грань.

5. Довести, що векторний добуток не зміниться, якщо до одного із співмножників додати вектор, колінеарний іншому співмножнику.

Варіант №8

1.Задано вершини трикутника A(3; 2; − 3) , B(5; 1; −1) , C(1; − 2; 1) . Визначити йогоGзовнішній кут при вершині А.

2.Сила F(3; 4; − 2) прикладенадоточки C(2; −1; − 2) . Визначитивеличинутанапрямнікосинусимоментуцієїсиливідноснопочатку координат.

3.Знайти кут між векторами aG = 2mG + 4nG і bG = mG − nG , де mG і nG – одиничні вектори, які утворюють кут ϕ = 2π 3 .

4.Задано вершини трикутної піраміди O(0; 0; 0) , A(5; 2; 0) ,

B(2; 5; 0) , C(1; 2; 4) . Обчислити її об’єм, площу грані		АВС та висоту, що
опущена на грань АВС.		PG та QG , які діють
5. До однієї і тієї ж точки прикладені дві сили
під кутом 1200 , причому \| PG\| = 7 , \| QG	\| = 4 . Знайти величину рівнодійної
сили RG .
Варіант №9
1. Довести, що чотири точки	A(1; 2; −1) , B(0; 1; 5) , C(−1; 2; 1) ,
D(2; 1; 3) лежать в одній площині.

Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія

2. Знайти роботу сили FG

при переміщенні SG , якщо| FG | = 2, | SG| = 5

G G

та ϕ = (F , S) = π 6 .

утворюють кут

Знайти площу трикутника,

Вектори a

і b

побудованого на векторах

= a

− 2b

та q

= 3a

+ 2b , якщо | a |

= | b | = 5 .

Об’єм тетраедра V = 10 , три його вершини знаходяться в точках

A(1; 2; −1) , B(4; 8; − 7) , C(−1; 2; − 2) . Знайтикоординатичетвертоїверши-

ни D, якщо відомо, що вона лежить на осі Oz.

β bG+ γ cG, якщо aG, bG, cG

Обчислити довжину вектора

pG = α aG+

– за-

дані взаємно перпендикулярні вектори, а α ,β ,

– відомі проекції.

Варіант №10

G G

Задано вектори

G G

a = i − 3 j + 4k ,

b = 3i

− 4 j

+ 2k ,

c = −i + j

+ 4k .

Обчислити пр(bG+cG)aG.

2.Сила FG(3; 4; − 2) прикладенадоточки A(2; −1; 3) . Знайтивеличину та напрямні косинуси моменту цієї сили відносно початку координат.

3.Визначити довжину діагоналі паралелограма, побудованого на векторах a = 2m + n та bG = mG − 2nG , де mG і nG – одиничні вектори, кут між

якими ϕ = π 3 .			JJJG	JJJG
	4. Обчислити об’єм тетраедра, побудованого на векторах
JJJG			OA ,	OB і
OC	, якщо ці вектори напрямлені по бісектрисах координатних кутів і дов-
жина кожного вектора дорівнює a.
	G	G
	5. Задановектори a	і b , наякихпобудованопаралелограм. Виразити

через них вектор, що співпадає з висотою паралелограма, яка перпендикулярна до сторони aG .

						Варіант №11
	1. Знайти координати вектора bG, колінеарного вектору aG(−3; 1; − 4) ,
якщо	GG	G	G	G	G
якщо	ab = 78 .	G	G	G	G	прикладена до точки M (−1; − 3; 4) . Знайти
	2. Сила	F	= −i	+ 2 j	+ 3k	прикладена до точки M (−1; − 3; 4) . Знайти

момент цієї сили відносно початку координат.

3. ЗнайтиплощутрикутникаАВСзвершинами A(−2; 1; 2) , B(1; 0; 9) ,

C(3; − 3; 4) .

§4. Індивідуальне завдання 1.4

4. У тетраедрі з вершинами в точках A(1; 1; 1) ,

B(2; 0; 2) ,

C(2; 2; 2) ,

і D(3; 4; − 3) обчислити висоту h = DE .

+ 2k

5. Знайтиодиничнийвектор, перпендикулярнийвекторам a = i

+ j

та bG = 2iG+ Gj + kG.

Варіант №12

1. Знайтикоординативектора bG, колінеарноговектору aG(−2; 3) , якщо

| b | =

52 .

FG = iG− Gj − 2kG прикладена до точки M (2; 1; 5) . Знайти мо-

2. Сила

мент цієї сили відносно точки

A(−1; 3; 4) .

3. Знайтиплощупаралелограма, побудованогонавекторах

= m − 3n

= 1,

= 2 , ϕ =

G G

150

і b

= −m + 4n , якщо

(m , n)=

4. У трикутній піраміді з вершинами A(0; 0; 1) , B(2; 3; 5) ,

C(6; 2; 3)

і D(3; 7; 2) знайти висоту, що опущена на грань ВСD.

5. Обчислити

= 3 ,

= 1,

= 4 та

+ ac

+ bc , якщо відомо, що

+ b

+ c = 0 .

Варіант №13

1. Задано вектор aG(1; 3; 4) . Знайти колінеарний йому вектор з почат-

ком у точці A(1; 2; 8) та кінцем у точці B на площині хОу.

2. Задано сили

FG1 = 2iG+ Gj + 3kG

FG2 = 3iG+ Gj − kG. Знайти роботу їх

рівнодійної при переміщенні точки з початку координат у точку

A(3; 2; 1) .

3. Обчислитиплощутрикутника, побудованогонавекторах p = a

− 2b

3π

3a − 8b , якщо

= 2 ,

= 3 ,

ϕ =

(a , b)=

векторах

4. Знайти висоту паралелепіпеда, побудованого на

G G

= 2i

+ j

− 3k ,

= i +

2 j + k

і c = i −

3 j

+ k , опущену на грань, побудова-

ну на векторах

і c .

aG(1; 1; 1) і

bG(1; −1; 3) ,

5. Вектор cG ,

перпендикулярний до векторів

утворює з віссю Oz тупий кут. Знайти його координати, якщо cG = 3 .

Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія

Варіант №14

Задано вектори

aG(6; −8; 5

2) і bG(2; − 4;

2) . Знайти кут, утворе-

ний вектором

a − b з віссю Oz.

Сила FG

= 2iG

− 4 Gj + 5kG

прикладена до точки A(4; − 2; 3) . Визначи-

ти момент цієї сили відносно точки O(3; 2; −1) .

Знайти площу трикутника АВС, якщо відомі координати його вер-

шин A(11; 2; − 5) , B(2; −1; 7) ,

C(−2; 1; 3) .

Задано тетраедр з вершинами в точках A(1; 2; 3) , B(−2; 4; 1) ,

C(7; 6; 3) і D(4; − 3; −1) . Знайти висоту, що опущена на грань АВС.

Вектор aG , колінеарний вектору bG = (−1; 2; − 2) , утворює з віссю

Oz гострий кут. Знайти його координати, за умови, що

= 129 .

Варіант №15

, перпендикулярного век-

1. Знайти координати одиничного вектора

торам a

і b , якщо a

= i

+ j

, b

= j

+ k .

2. Обчислитироботусили FG = iG+ 2 Gj + kG припереміщенніматеріаль-

ної точки із положення A(−1; 2; 0)

в положення B(2; 1; 3) .

Обчислити площу паралелограма, діагоналями якого є вектори

G G

, де

G G

2 p − q і

4 p −

= 1 , ϕ = ( p , q)= 45

Об’єм тетраедра V = 12 ,

три його вершини знаходяться в точках

A(2; 3; 1) , B(4; 1; − 2) , C(6; 3; 7) . Знайтикоординатичетвертоївершини D, якщо відомо, що вона лежить на осі Oz.

5. Знайтикоординатиодиничноговектора, якийлежитьнабісектрисі кута, утвореного векторами aG(−2; 3; 6) і bG(6; − 7; − 6) .

Варіант №16

1. Знайтикутміжвекторами −9aG і 19 bG , якщо aG(2; 1; − 2) , bG(5; −1; 1) .

2.Знайти проекцію вектора aG(1; − 2; 7) на вісь, яка складає з координатними осями рівні гострі кути.

3.Про вектори aG та bG відомо, що aG = 5 , bG = 9 і abGG = 27 . Знайти

модуль векторного добутку | aG× bG| .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 566 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 1-1 Высшая математика

#
31.01.202141.44 Кб55325.jpg
#
31.01.202110.43 Кб56Individual work 1.pdf
#
31.01.202187.04 Кб56Individual work 2.doc
#
31.01.202153.25 Кб66REKOMENDOVANA_LITERATURA-1.doc
#
31.01.202128.67 Кб56Titul.doc
#
31.01.202110.23 Mб87visshaya_matematika_chast_IV.pdf
#
31.01.2021539.08 Кб55ВМ - график консультаций.jpg
#
31.01.2021458.12 Кб55ВМ - для идиотов.jpg