1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV

§3. Індивідуальне завдання 5.3

211

4.

x′′ + x =

1

, x(0)

= x′(0) = 0 .

1

+ cos2 t

5.

x′ = − y ;

x(0)

= 1,

y(0) = 0 .

y′ = x +

2 y ,

§1. Індивідуальне завдання 6.1

Вектори на площині та в просторі

[Ч.1, гл.1, §1, приклади 1 – 6, §2, приклади 1 – 9]

Варіанти завдань

G

Варіант №1

G

G G

G G

G

G

G

1. Заданотривектори:

G G

−

G

+

−

a

= −3i − j

4k, b = −3i + j

2k

, c = −2i

4 j −

3k .

G

G

G

G

G

G

G

Знайтивектор x

, якийзадовольняєумови: a

x = −174,

b

x

= 174, c

x = 116 .

2. Вектор

yG перпендикулярний осі

Oz і

вектору aG = (84, −135, 2)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

yG

= 53 ,

знайти координати

вектора yG .

3. Об’єм тетраедра V = 3 , три його вершини знаходяться в точках

A(−1, −1, − 4) , B(0, −1, 0) ,

C(1, − 5, 3) . Знайтикоординатичетвертоїверши-

ни D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

JJJG

G JJJG

G

G

G

нює 21. Вважаючи, що AC

= a, BD = b , виразити через вектори

a

і b век-

JJJG JJJG JJJG JJJG

тори AB, BC, CD, DA .

bG = (2, 1,

5. Задано чотири вектори aG = (1, − 3, 0) ,

0) , cG = (1, − 3,

4)

та dG = (−56, 0, − 56) . Знайти вектор rG , що є проекцією вектора dG

на пло-

щину, визначенувекторами

G

G

a

і b , принапрямкупроектуванняпаралельно-

му вектору cG .

в

точках

6. Три послідовні вершини трапеції знаходяться

A(6, −14, − 24) ,

B(1, −15, −16) , C(3, −11, −12) . Знайти четверту вершину

D цієї трапеції, точку перетину M її діагоналей та точку N перетину бічних

сторін, знаючи, що довжина основи AD дорівнює 12.

7. Задано тривектори aG = (−3, 1, − 2) ,

bG = (−1,

3, − 2) і cG = (−4, 1, − 2).

G

G

і

G

та напрямлений так,

Знайти вектор d , перпендикулярний векторам

a

b

G

G

G

G

G G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a

, b, c

і a

,b, d

§1. Індивідуальне завдання 6.1

213

ни D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

JJJG

G JJJG

G

G

G

нює 70. Вважаючи, що AC

= a, BD = b , виразити через вектори a і

b век-

JJJG JJJG JJJG JJJG

тори AB, BC, CD, DA .

bG = (−2, 0, 1) , cG = (1, − 2, 0)

5. Заданочотиривектори aG = (−1, 0, − 2) ,

7. Задано три вектори aG = (−5, 0,

2) , bG = (3, − 4, 2)

і cG = (2, 3,

2) .

G

G

G

Знайти вектор d , перпендикулярний векторам

a

і b та напрямлений так,

G G G

G

G

G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c і

a,b, d

Варіант №3

G

G

G

G

G

G

G

G

G G

G

−

1. Задано три вектори: a

= i + j −3k ,

b

= −2i − 3k ,

c

= −5i

5 j −3k .

G

G

G

G

G

=

G

G

= 180 .

Знайти вектор x , який задовольняє умови:

a x

= 72, b

x

72, c x

2. Вектор yG перпендикулярний осі Oz і

вектору aG = (−120, −160, 8)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

yG

= 100 ,

знайти координати

вектора yG .

шини D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

JJJG

G

JJJG

G

, виразити через вектори

G

G

век-

нює 16. Вважаючи, що AC

= a, BD

= b

a

і b

JJJG

JJJG

JJJG

JJJG

тори AB, BC, CD, DA .

2, 1), bG = (−4, − 2,

5. Заданочотири вектори aG = (−2,

0), cG = (0, − 4, − 3)

JG

rG ,

що є проекцією вектора

G

на пло-

та d = (156, 0, 104) . Знайти вектор

d

G

G

щину, визначенувекторами a і b , принапрямкупроектуванняпаралельно-

му вектору cG .

6. Три

послідовні

вершини

трапеції

знаходяться

в

точках

A(−14, − 26, − 24) ,

B(−7, −15, −10) , C(−5, −11, − 6) . Знайти четверту вер-

шину D цієї трапеції, точку перетину M її діагоналей та точку N перетину

бічних сторін, знаючи, що довжина основи AD дорівнює 12.

7. Задано три вектори aG = (−6, 0, 1) ,

bG = (2, 2, − 5)

і cG = (0, 0, −1) .

Знайти вектор

G

G

G

та напрямлений так,

d , перпендикулярний векторам

a

і b

G

G G

G

G G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c

і a,b, d

Варіант №4

G

G

G

G

G

G

1. Задано три вектори:

G

G G

G G

,

a = −i + j

− 3k

, b

= 2 j + k

c = −3i −3 j

−5k .

Знайти вектор

G

G

G

G

G

=

G

G

= 42 .

x

, який задовольняє умови: a

x = 28, b

x

56, c

x

2. Вектор

yG

перпендикулярний осі Oz і вектору aG = (120, − 225, 4)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

yG

= 51, знайти координати

вектора yG .

3. Об’єм тетраедра V = 8 , три його вершини знаходяться в точках

A(−3, − 2, − 2) ,

B(−2, − 2, − 3) ,

C(1, − 3, − 7) .

Знайти координати четвертої

вершини D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

JJJG

G

JJJG

G

, виразити через вектори

G

G

век-

нює 53. Вважаючи, що AC

= a, BD

= b

a

і b

JJJG

JJJG

JJJG

JJJG

тори AB,

BC,

CD,

DA .

215

5. Задано чотири вектори aG = (−4, − 2, − 3), bG = (1, − 3, 4), cG = (0, − 4, − 3)

та dG = (0, − 94, 188) . Знайтивектор rG , щоєпроекцієювектора dG

наплощи-

G

G

ну, визначену векторами a

і b , при напрямку проектування паралельному

вектору cG .

і cG = (−3, 1,

0) .

G

, перпендикулярний векторам

G

G

Знайти вектор d

a

і b та напрямлений так,

G G G

G G

G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c

і a,b, d

G

Варіант №5

G

G

G

G

G

G

G G

G G

1. Задано три вектори: a

= −2i − j

+ k

, b

= −2 j − 3k ,

c

= −3i −3 j −

2k .

G

, який задовольняє умови:

G

G

G

G

G

G

= 15 .

Знайти вектор x

a x

= 20, b

x =

0, c

x

2. Вектор

yG перпендикулярний осі Oz і вектору aG = (132, −176, 6)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

yG

= 55 ,

знайти координати

вектора yG .

ни D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

BC

JJJG

G JJJG

G

G

G

, виразити через вектори

нює 14. Вважаючи, що AC

= a, BD = b

a

і b век-

JJJG JJJG JJJG

JJJG

тори AB, BC, CD, DA .

aG = (−2, − 4, − 5) , bG = (−3, − 2, − 3) ,

5. Задано

чотири

вектори

cG = (2, 0, −1) та dG

= (0, 12, 0) . Знайти вектор rG , що є проекцією вектора dG

G

G

на площину, визначену векторами a

і b , при напрямку проектування пара-

лельному вектору cG .

216

2. Вектор yG перпендикулярний осі Oz і

вектору aG = (−105, −100, 8)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

yG

= 29 , знайти координати

вектора yG .

ни D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

JJJG

G JJJG

G

G

G

нює 26. Вважаючи, що AC = a, BD = b , виразити через вектори

a

і b век-

JJJG JJJG JJJG JJJG

тори AB, BC, CD, DA .

5. Задано чотири вектори aG = (1, 3, 0) , bG = (−5, 0,1) , cG = (1, −1, − 4)

та dG = (56, − 56, − 56) . Знайти вектор rG , що є проекцією вектора dG

на пло-

G

G

щину, визначенувекторами a

і b , принапрямкупроектуванняпаралельно-

му вектору cG .

217

2. Вектор yG перпендикулярний осі Oz і

вектору aG = (−72, − 96, 2)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

yG

= 30 , знайти координати

вектора yG .

3. Об’єм тетраедра V = 7 , три його вершини знаходяться в точках

A(−3, 0, −1) , B(−2, −1, 0) ,

C(0, −1, 1) . Знайти координати четвертої верши-

ни D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

JJJG

G JJJG

G

G

G

нює 43. Вважаючи, що AC

= a, BD = b , виразити через вектори

a і

b век-

JJJG JJJG JJJG JJJG

тори AB, BC, CD, DA .

5. Заданочотиривектори aG = (1, − 3, 0) , bG = (−4, −1, − 3) , cG = (3, − 5, 4)

та dG = (−40, 0, 40) . Знайти вектор rG , що є проекцією вектора dG

на площи-

G

G

ну, визначену векторами a

і b , при напрямку проектування паралельному

вектору cG .

6. Трипослідовнівершинитрапеціїзнаходятьсявточках A(−24, 4, − 4) ,

B(−8, 0, − 2) , C(−6, 4, 2) . Знайти четверту вершину D цієї трапеції, точку

перетину M її діагоналей та точку N перетину бічних сторін, знаючи, що

довжина основи AD дорівнює 12.

7. Заданотри вектори aG = (−5, 3, − 4) , bG = (−5, −1, 0) і cG = (−4, − 2, − 2) .

G

, перпендикулярний векторам

G

G

Знайти вектор d

a

і b та напрямлений так,

G G

G

G G G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c і

a,b, d

Варіант №8

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

1. Задано три вектори: a

= i

− k ,

b = −2i

− 2 j

− 2k

, c = −2i

− 3 j .

G

G

G

G

G

G

G

Знайти вектор x

, який задовольняє умови: a

x

= 16, b

x =

16, c

x = −16 .

2. Вектор

yG перпендикулярний осі Oz і вектору aG = (−294, − 392, 9)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

yG

= 70 , знайти координати

вектора yG .

3. Об’єм тетраедра V = 3 ,

три його вершини знаходяться в точках

218

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

BC

JJJG

G JJJG

G

G

G

, виразити через вектори

нює 64. Вважаючи, що AC

= a, BD = b

a

і b век-

JJJG

JJJG JJJG JJJG

тори AB, BC, CD, DA .

0, 0) , bG = (1, −1, −1) , cG = (−4, 2, − 2)

5. Задано чотири вектори aG = (2,

та dG = (−32,− 24, 16) . Знайти вектор rG , що є проекцією вектора dG

на пло-

G

G

щину, визначенувекторами a

і b , принапрямкупроектуванняпаралельно-

му вектору cG .

вершини

трапеції знаходяться

в

точках

6.

Три послідовні

Знайти вектор

G

, перпендикулярний векторам

G

G

та напрямлений так,

d

a

і b

G

G G

G G

G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c

і a,b, d

G

Варіант №9

G

G

G

G

G

G

,

G

G

+

G

G

1. Заданотри вектори: a = 2i + 2 j

− 2k

b

= −2i +

2 j

, c

= 4i

2 j

+ 2k .

Знайти вектор

G

, який задовольняє умови:

G

G

= 160 ,

G

G

= 0

,

G

G

= 0 .

x

a

x

b

x

c

x

2. Вектор

yG

перпендикулярний осі

Oz

і

вектору aG

= (42, −144, 2)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

yG

= 50 , знайти координати

вектора yG .

3. Об’єм тетраедра V = 4 , три його вершини знаходяться в точках

A(−2, 0, − 2) ,

B(−1, 0, 2) , C(−1, 2, 1) . Знайти координати четвертої верши-

ни D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

BC

JJJG

G

JJJG

G

, виразити через вектори

G

G

нює 85. Вважаючи, що AC

= a, BD

= b

a

і b век-

JJJG

JJJG

JJJG

JJJG

тори AB,

BC,

CD,

DA .

bG = (4, 1, − 3) , cG = (0, 0, − 4)

5. Заданочотиривектори aG = (−4, 2, − 4) ,

та dG = (0, 96, −144) . Знайтивектор rG , щоєпроекцієювектора dG

наплощи-

G

G

, при напрямку проектування паралельному

ну, визначену векторами a

і b

вектору cG .

§1. Індивідуальне завдання 6.1

219

довжина основи AD дорівнює 12.

bG = (1, − 2, − 3)

7. Заданотривектори aG = (−3, 2, − 3) ,

і cG = (−1, − 3, − 3) .

G

G

і

G

та напрямлений так,

Знайти вектор d , перпендикулярний векторам

a

b

G

G G

G

G G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c

і a,b, d

G

Варіант №10

G

G

G

G

G

G

G

G

G

1. Заданотривектори: a

= −2i

+ j

, b

= −i

− k , c

= −4i

− j

− 2k . Знай-

G

G

G

G

G

=

G

G

= −20 .

ти вектор x , який задовольняє умови: a

x

= 4, b

x

0, c

x

2. Вектор yG перпендикулярний осі Oz і вектору aG = (−77, − 420, 0)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

yG

= 61 , знайти координати

вектора yG .

ни D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

JJJG

G JJJG

G

, виразити через вектори

G

G

нює 61. Вважаючи, що AC = a, BD = b

a

і b век-

JJJG JJJG JJJG JJJG

тори AB, BC, CD, DA .

0, 1) , bG = (−3, 1, − 6), cG = (−5, − 2, −1)

5. Задано чотири вектори aG = (−1,

та dG = (−24,− 48, − 48) . Знайти вектор rG , що є проекцією вектора dG

на пло-

G

G

щину, визначенувекторами a

і b , принапрямкупроектуванняпаралельно-

му вектору cG .

7. Заданотривектори aG = (−5, 0, − 3) ,

bG = (−3,− 2, − 3) і cG = (1, − 2, 3) .

G

G

G

Знайти вектор d , перпендикулярний векторам

a

і b та напрямлений так,

G

G

G

G

G G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a

, b

, c

і a

,b, d

220

Варіант №11

Gj − 4kG , bG = −3iG− 4 Gj + kG ,

1. Задано

три

вектори:

aG = −2iG−

G

=

G

G

G

G

G

G

= −342 ,

c

4i − 4 j + 2k .

Знайти вектор x , який задовольняє умови: a

x

G

G

= −228 ,

G

G

=

342 .

b

x

c

x

вектору aG = (−39, − 52, 6)

2. Вектор

yG

перпендикулярний осі Oz і

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

yG

= 65 , знайти координати

вектора

yG .

A(−1, −1, 0) ,

B(0, − 4, − 3) ,

C(2, 0, −10) . Знайти координати четвертої вер-

шини D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

нює 13. Вважаючи, що

JJJG

G JJJG

G

G

G

AC

= a, BD = b , виразити через вектори

a

і b век-

JJJG

JJJG

JJJG

JJJG

тори AB, BC, CD, DA .

bG = (0, −1, − 2) , cG = (1, − 4, 1)

5. Задано чотири вектори aG = (1, − 2, 1) ,

A(−34, −16, − 34) , B(−15, − 8, −17) ,

C(−13, − 4, −13) . Знайти четверту вер-

шину D цієї трапеції, точку перетину M її діагоналей та точку N перетину

бічних сторін, знаючи, що довжина основи AD дорівнює 12.

7. Задано три вектори aG = (−4, 1, − 4) , bG

= (−2, 1, 0)

і

cG = (1, − 4, − 6) .

G

, перпендикулярний векторам

G

G

Знайти вектор d

G

a і

b та напрямлений так,

G

G

G

G

G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c і

a,b, d

Варіант №12

G

G

G

G

G

G

G

G

G

,

G

,

1. Задано три вектори: a = −i

+ j

b

= −3 j

+ 2k

c

= −5i

− 3 j

− k .

G

, який задовольняє умови:

G

G

G

G

G

G

Знайти вектор x

a x

= 38, b x

= 133, c

x = 0 .

2. Вектор

yG перпендикулярний осі Oz і вектору aG = (280, − 525, 9)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

yG

= 85 , знайти координати

вектора yG .