Добавил:
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV

.pdf
Скачиваний:
84
Добавлен:
31.01.2021
Размер:
10.23 Mб
Скачать

§2. Індивідуальне завдання 4.2

181

 

 

5. Розкласти функцію

f (x) =

 

 

 

6

 

 

в ряд Тейлора в околі точки

8 + 2x x 2

 

x0 = 1 та знайти область збіжності отриманого ряду.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

(−1)n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

cos

 

 

 

 

 

 

.

2.

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

5n

 

n=1

n 13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x

 

1

n

 

(x − 5)n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n + 4) ln (n +

4)

 

 

 

 

 

 

 

n=1

n

 

 

2x +1

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

5. Довести рівномірну збіжність ряду

 

sin (7nx)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

5n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 n

 

 

n+1

 

2n +1

 

 

 

 

 

 

1.

1 +

 

 

 

 

.

2.

(−1)

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

9n

 

 

 

n (n +1)

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x

 

(n!)2

 

n

 

 

 

 

 

(x −1)n+n2

 

3.

sin

 

 

 

 

 

.

4.

 

 

 

x

 

.

5.

 

 

 

.

 

n

2

 

(2n)!

 

n

n

 

n=1

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

Варіант №24

 

 

1

 

 

 

1.

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

n=1

 

9n3 +16

3.

n 3 sinn x .

 

n=1

 

 

 

 

 

 

1.

(2n)!

.

 

 

 

 

 

 

n=1 (n!)2

 

 

 

 

x + 2

n

3.

 

 

 

.

 

 

 

n=1

 

x + 3

 

 

 

 

n+1

 

n

2.

(−1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

n + 1

4.

10n xn

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

n

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №25

2.

(−1)n+1

n + 5

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

n3

 

(x −1)n

 

 

 

4.

 

 

 

 

 

 

.

 

 

(2n −1) 2n

 

 

 

n=1

 

 

 

n

.

5.

x(n2 n) 2

.

 

n=1

n!

.

 

n +1 n

 

2n

 

5.

 

 

 

(x − 2)

 

.

 

 

n=1

 

2n +1

 

 

 

182

Глава 4. Диференціальні рівняння. Ряди

 

 

§3. Індивідуальне завдання 4.3

Ряди Фур’є та інтеграл Фур’є

[Ч.3, гл.2, §3, приклади 1 – 16]

Варіанти завдань Варіант №1

1. Розкласти функцію

 

 

 

2x

π + 1, − π < x0;

в ряд Фур’є на

f (x) =

2x π + 1, 0< x< π

 

 

 

 

 

 

 

інтервалі (−π ;π ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. РозкластиврядФур’єпосинусахфункцію f (x) = x cos x наінтер-

валі (0; π ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію

y = f (x) та побуду-

 

0,

x < −3,

x > 3;

 

 

 

 

 

 

 

 

2,

3 < x < 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

вати її графік: f (x) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,

0 < x < 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №2

 

 

 

 

 

1. Розкласти функцію

 

1,

− π < x< 0;

в ряд Фур’є на інтер-

f (x) =

 

2,

 

0 < x < π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

валі (−π ;π ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Розкласти в ряд Фур’є по косинусах функцію

f (x) = x cos x на ін-

тервалі (0; π ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію

y = f (x) та побуду-

 

xe

−α x

, x 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(α >

0)

 

 

 

 

вати її графік: f (x) =

 

 

x < 0.

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π − x

 

, 0 < x < π ;

 

 

1. Розкластифункцію

 

 

2

 

 

врядФур’єнаін-

 

 

 

 

 

 

f (x) =

 

 

π +

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

− π < x<

 

0,

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тервалі (−π ;π ) .

§3. Індивідуальне завдання 4.3

 

 

 

 

 

183

 

 

 

 

 

2. Розкласти в ряд Фур’є по синусах функцію f (x) = x sin x на інтер-

валі (0; π ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію

 

y = f (x)

та побуду-

sin x,

0 x≤ π

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вати її графік: f (x) =

0,

 

x < 0, x > π .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №4

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Розкласти функцію

 

 

 

cos x,

0 < x < π

;

в ряд Фур’є на ін-

f (x) =

cos x,

− π < x<

0

тервалі (−π ;π ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Розкласти в ряд Фур’є по косинусах функцію

 

f (x) = x sin x на ін-

тервалі (0; π ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Зобразитифункцію y = f (x)

інтеграломФур’євкомплексній фор-

мі та побудувати її графік:

f (x) = xe−α

 

x

 

 

(α >

0) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №5

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Розкласти функцію

sin x, − π < x< 0;

в ряд Фур’є на ін-

f (x) =

0,

 

0 < x < π

 

тервалі (−π ;π ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. РозкластиврядФур’єпосинусахфункцію f (x)

 

x,

0 < x

1;

=

2 x,

1 < x < 2

на інтервалі (0; 2) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Представити інтегралом Фур’є задану функцію y = f (x) , продов-

живши її парним чином на від’ємну піввісь:

f (x) = e−α x , x 0 (α >

0) .

 

 

 

 

 

Варіант №6

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Розкласти функцію

f (x) = 2 3x

врядФур’єнаінтервалі (−π ;π

) .

2. РозкластиврядФур’єпокосинусахфункцію f (x)

 

x,

0 < x

1;

=

2 x,

1 < x < 2

на інтервалі (0; 2) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію

 

y = f (x)

та побуду-

 

e

x

,

x 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вати її графік: f (x) =

ex ,

x > 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

184

 

 

Глава 4. Диференціальні рівняння. Ряди

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1+

x

,

− π < x0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

π

1. Розкласти функцію

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в ряд Фур’є

 

f (x) =

 

1

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

,

0 < x < π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

π

 

 

 

 

 

 

на інтервалі (−π ;π ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Розкласти в ряд Фур’є по синусах функцію

f (x) = 2x на інтер-

валі (0; 1) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію

y = f (x) та побуду-

 

 

 

 

 

 

x

 

,

 

 

 

 

 

 

 

x

 

< 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вати її графік:

f (x) =

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

> 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Розкласти функцію

f (x) = ex в ряд Фур’є на інтервалі (−π ;π ) .

2. Розкласти в ряд Фур’є по косинусах функцію f (x) =

x

на інтер-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

валі (0; 2) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію

y = f (x) та побуду-

 

 

 

 

1

 

x

 

,

 

 

 

 

 

x

 

1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вати її графік:

f (x) =

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

> 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №9

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Розкласти функцію

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1x 4 ,

− π < x0;

в ряд Фур’є на ін-

f (x) =

0,

 

 

 

 

0 < x < π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тервалі (−π ;π ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Розкласти в ряд Фур’є по косинусах функцію

 

f (x) = cos x на ін-

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тервалі 0;

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію

y = f (x) та побуду-

вати її графік:

f (x) = e−α

 

x

 

 

(α > 0) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§3. Індивідуальне завдання 4.3

185

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №10

 

 

1. Розкласти функцію

f (x) = x + π в ряд Фур’є на інтервалі (−π ;π ) .

2. Розкласти в ряд Фур’є по синусах функцію f (x) = sin

x

на інтер-

2

 

 

 

 

 

валі (0; π ) .

 

 

 

 

 

3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію y = f (x)

та побуду-

 

cos x,

x ≤ π

2;

 

 

вати її графік:

 

 

 

 

 

f (x) =

x > π

2.

 

 

 

0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №11

 

 

 

 

 

 

 

 

x,

− π < x

0;

 

 

 

1. Розкласти функцію

 

 

x

2

 

 

 

в ряд Фур’є на інтер-

 

f (x) =

,

0 < x < π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

валі (−π ;π ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. ПредставитикомплексноюформоюрядуФур’єфункцію f (x) = ch x ,

яка задана в інтервалі (−π ;π

) .

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію

y = f (x)

та побуду-

 

1,

 

 

 

 

 

 

a < x < b;

 

 

 

 

 

 

 

вати її графік: f (x) =

0,

 

 

x

< a, x > b.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №12

 

 

 

 

1. Розкласти функцію

 

0,

2 < x

0;

в ряд Фур’є на інтер-

 

f (x) =

2,

 

0 < x < 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

валі (2; 2) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. ПредставитикомплексноюформоюрядуФур’єфункцію

f (x) = sh x ,

яка задана в інтервалі (−π ;π

) .

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію

y = f (x)

та побуду-

 

1,

 

 

x

 

< a ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вати її графік: f (x) =

0,

 

 

x

 

> a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

186

 

Глава 4. Диференціальні рівняння. Ряди

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №13

 

 

 

 

1. Розкласти функцію

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,

1 < x 0;

в ряд Фур’є на інтер-

f (x) =

x,

0 < x < 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

валі (1; 1) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. РозкластиврядФур’єпокосинусах функцію

f (x) = ch x наінтер-

валі (0; π ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Зобразитифункцію y = f (x)

інтеграломФур’євкомплексній фор-

мі та побудувати її графік: f

(x)

 

 

 

 

 

 

 

π x, 0

x

1;

 

 

 

=

x < 0,

x > 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №14

 

 

 

 

1. Розкласти функцію

f (x) = 2x + 3 врядФур’єнаінтервалі (−π ;π ) .

2. Розкласти в ряд Фур’є по синусах функцію

f (x) = ch x на інтер-

валі (0; π ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію

y = f (x)

та побуду-

 

 

 

sin x

 

,

 

 

 

 

x

 

< π

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вати її графік:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) =

0,

 

 

 

 

 

 

 

x

 

> π .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №15

 

 

 

 

1. Розкласти функцію

f (x) = x + x2

врядФур’єнаінтервалі (−π ;π ) .

2. Розкласти в ряд Фур’є по синусах функцію

f (x) = eα

x на інтер-

валі (0; π ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію

y = f (x)

та побуду-

 

sign x,

 

 

x

 

< 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вати її графік:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) =

0 ,

 

 

x

 

> 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №16

 

 

 

 

1. Розкластифункцію f (x) = x cos 2x врядФур’єнаінтервалі (−π ;π ) .

2. Розкласти в ряд Фур’є по косинусах функцію

f (x) = eα x на інтер-

валі (0; π ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§3. Індивідуальне завдання 4.3

187

 

 

3. Представити функцію

y = f (x) інтегралом Фур’є в комплексній

формі та побудувати її графік:

sin x,

0

x≤ π ;

f (x) =

x < 0,

x > π .

 

0,

Варіант №17

1.Розкласти функцію f (x) = 5x 1 в ряд Фур’є на інтервалі (5; 5) .

2.Розкласти в ряд Фур’є по синусах функцію f (x) = 12 (π − x) на ін-

тервалі (0; π ) .

 

 

 

 

 

3. Функцію f (x) = e−α x , x > 0, α >

0 зобразитиінтеграломФур’є, про-

довживши її непарним чином на від’ємну піввісь.

 

 

Варіант №18

 

 

0,

− π < x0;

 

1. Розкласти функцію

 

x

 

в ряд Фур’є на інтер-

f (x) = π

, 0 < x < π

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

валі (−π ;π ) .

2. Розкласти в ряд Фур’є по косинусах функцію f (x) = 12 (π − x) на

інтервалі (0; π ) .

3. ЗобразитиінтеграломФур’єзадануфункцію y = f (x) тапобудувати її графік: f (x) = xe−α x , α > 0 .

Варіант №19

1.Розкласти функцію f (x) = x2 в ряд Фур’є на інтервалі (1; 1) .

2.Розкласти в ряд Фур’є по синусах функцію

 

x,

0

< x ≤ π 2;

на інтервалі

(0;

π ) .

f (x) =

π − x,

π

2<

x< π

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Зобразитифункцію y = f (x) інтеграломФур’євкомплексній фор-

мі та побудувати її графік: f (x) = e−α

 

x

 

 

(α >

0) .

 

 

 

 

188

Глава 4. Диференціальні рівняння. Ряди

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Розкласти функцію

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− π

4, − π <

x<

 

0;

в ряд Фур’є на ін-

 

f (x) =

π

4,

0<

x< π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тервалі (−π ;π

) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x,

 

0 < x

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

2. РозкластиврядФур’єпокосинусахфункцію

 

 

 

 

2

f (x) =

π

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

< x

< π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на інтервалі (0; π ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію y = f (x)

та побуду-

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

≤ π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

,

 

 

x

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вати її графік:

f (x) =

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

> π .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Розкласти функцію

 

f (x)

x,

 

 

− π <

x

0;

 

в ряд Фур’є на інтер-

 

=

0,

 

 

0 < x < π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

валі (−π ;π ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. ПредставитикомплексноюформоюрядуФур’єфункцію f (x) = cos

x

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

яка задана на інтервалі (−π ;π

 

) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію y = f (x)

та побуду-

 

sin x,

 

 

x

 

≤ π

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вати її графік:

f (x) =

 

 

 

 

x

 

> π .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Розкласти функцію

 

f (x) =

 

sin x

 

 

в ряд Фур’є на інтервалі (0; π ) .

 

 

 

2. ПредставитикомплексноюформоюрядуФур’єфункцію f (x) = ex ,

яка задана на інтервалі (0;

2π

) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію y = f (x)

та побуду-

вати її графік:

1,

0 x

1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) =

x

< 0,

 

x > 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§3. Індивідуальне завдання 4.3

 

189

 

 

 

 

 

Варіант №23

 

 

1. Розкласти функцію f

 

π ,

 

− π <

x0;

в ряд Фур’є на ін-

(x) =

π − x,

0<

x< π

 

 

 

 

тервалі (−π ;π ) .

 

 

 

 

 

 

 

2. Розкласти в ряд Фур’є по косинусах функцію f (x) = (x 1)2 на ін-

тервалі (0; π ) .

 

 

 

 

 

 

 

3. Функцію

x +1,

0 x

1;

зобразитиінтеграломФур’є, про-

f (x) =

x

> 1

 

0,

 

 

 

 

довживши її парним чином на від’ємну піввісь.

Варіант №24

1. Розкласти функцію

f

0,

− π < x

0;

в ряд Фур’є на інтер-

(x) =

0

 

< x < π

 

 

 

x,

 

 

 

валі (−π ;π ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. РозкластиврядФур’єпосинусахфункцію

f (x) = (x 1)2 наінтер-

валі (0; π ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Зобразити функцію

 

1,

0

< x < a ;

 

інтегралом Фур’є в

f (x) =

x

< 0,

x > a

комплексній формі.

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант №25

 

 

 

 

 

 

1.

Розкласти функцію

f (x) =

 

cos x

 

 

в ряд Фур’є на інтервалі

 

 

(− π 2; π

2) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Розкласти в ряд Фур’є по синусах функцію

f (x) = sh 2x на інтер-

валі (0; π ) .

3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію y = f (x) та побуду-

 

 

x,

 

 

x

 

< 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вати її графік:

f (x) =

0,

 

 

x

 

> 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 5. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ.

ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

§1. Індивідуальне завдання 5.1

Комплексні числа

[Ч.1, гл.3, §4, приклади 1 – 14 або ч.3, гл.3, §1, приклади 1 – 14]

Завдання: 1. Представити задане комплексне число z в алгебраїчній

формі.

2.Представити задані комплексні числа у тригонометричній та показниковій формах.

3.Обчислити заданий вираз.

4.Знайти всі значення кореня n z та побудувати їх на комплексній площині.

5.Зобразити області, що задані рівняннями або нерівностями.

 

 

 

Варіанти завдань

 

 

 

 

 

Варіант №1

 

 

1.

z = (2i i2 )2 + (13i)3 . 2. а) 5i ;

б) 1+ i 3 ;

в) 5 12i .

3.

(1+ i)10 .

4. 4 1 .

 

 

5. а) {z : Re z > 2} ;

б) {z : | z 1| 1, | z+ 1|> 2} .

 

 

 

 

 

Варіант №2

 

 

1.

z = (1+ i)(13i) .

2. а) 17;

б) 2 + i 2 ;

в) 4 11i .

3.

(1i 3)6 .

4. 3 i .

 

 

5. а) {z : 1 Im z3} ;

б) {z : | z + i | ≥ 1, | z |< 2} .

 

 

 

 

 

Варіант №3

 

 

1.

z = i (1+ i)

2

.

2. а) 2i ;

б) 3 i ;

в) 2 + 5i .

 

 

 

i

 

 

 

3.

( 3 3i)6 .

4. 4 1 .

 

 

5. а) {z : | z i | < 3} ;

б) {z : 1 < zz < 2, Re z > 0, 0 Im z1} .

Соседние файлы в папке 1-1 Высшая математика