1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV
.pdf§2. Індивідуальне завдання 4.2 |
181 |
|
|
5. Розкласти функцію |
f (x) = |
|
|
|
6 |
|
|
в ряд Тейлора в околі точки |
||||||||||||||||||||
8 + 2x − x 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
x0 = 1 та знайти область збіжності отриманого ряду. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
|
|
|
|
9 |
|
∞ |
(−1)n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
∑ |
cos |
|
|
|
|
|
|
. |
2. |
∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
5n |
|
n=1 |
n 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
1 |
|
|
|
x |
|
−1 |
n |
∞ |
|
(x − 5)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 4. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + 4) ln (n + |
4) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n=1 |
n |
|
|
2x +1 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5. Довести рівномірну збіжність ряду ∑∞ |
|
sin (7nx) |
. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
5n |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
|
|
|
8 n |
|
∞ |
|
n+1 |
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1. |
∑ |
1 + |
|
|
|
|
. |
2. |
∑ |
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
9n |
|
|
|
n (n +1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∞ |
5x |
|
∞ |
(n!)2 |
|
n |
|
|
|
|
|
∞ |
(x −1)n+n2 |
|
|||||||||||||
3. |
∑ |
sin |
|
|
|
|
|
. |
4. |
∑ |
|
|
|
x |
|
. |
5. |
∑ |
|
|
|
. |
||||||
|
n |
2 |
|
(2n)! |
|
n |
n |
|||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
Варіант №24
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
1. |
∑ |
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|||
|
n=1 |
|
9n3 +16 |
||||
3. |
∑∞ |
n 3 sinn x . |
|||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
1. |
∑∞ |
(2n)! |
. |
|
|
||
|
|
|
|||||
|
n=1 (n!)2 |
|
|
||||
|
∞ |
|
x + 2 |
n |
|||
3. |
∑ |
|
|
|
. |
||
|
|
||||||
|
n=1 |
|
x + 3 |
|
|
|
∞ |
|
n+1 |
|
n |
||||||
2. |
∑ |
(−1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
n + 1 |
|||||
4. |
∑∞ |
10n xn |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Варіант №25 |
||||||||||
2. |
∑∞ |
(−1)n+1 |
n + 5 |
|
|||||||
|
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
n3 |
||||
|
∞ |
(x −1)n |
|
|
|
||||||
4. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
(2n −1) 2n |
|
|
|||||||||
|
n=1 |
|
|
|
n
.
5. ∑∞ |
x(n2 −n) 2 |
. |
|
||
n=1 |
n! |
.
∞ |
|
n +1 n |
|
2n |
|
|
5. ∑ |
|
|
|
(x − 2) |
|
. |
|
|
|||||
n=1 |
|
2n +1 |
|
|
|
182 |
Глава 4. Диференціальні рівняння. Ряди |
|
|
§3. Індивідуальне завдання 4.3
Ряди Фур’є та інтеграл Фур’є
[Ч.3, гл.2, §3, приклади 1 – 16]
Варіанти завдань Варіант №1
1. Розкласти функцію |
|
|
|
2x |
π + 1, − π < x≤ 0; |
в ряд Фур’є на |
|||||||||
f (x) = |
− 2x π + 1, 0< x< π |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
інтервалі (−π ;π ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. РозкластиврядФур’єпосинусахфункцію f (x) = x cos x наінтер- |
|||||||||||||||
валі (0; π ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію |
y = f (x) та побуду- |
||||||||||||||
|
0, |
x < −3, |
x > 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
−2, |
− 3 < x < 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
вати її графік: f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2, |
0 < x < 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Варіант №2 |
|
|
|
|
|
|||||||
1. Розкласти функцію |
|
−1, |
− π < x< 0; |
в ряд Фур’є на інтер- |
|||||||||||
f (x) = |
|
2, |
|
0 < x < π |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
валі (−π ;π ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Розкласти в ряд Фур’є по косинусах функцію |
f (x) = x cos x на ін- |
||||||||||||||
тервалі (0; π ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію |
y = f (x) та побуду- |
||||||||||||||
|
xe |
−α x |
, x ≥ 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(α > |
0) |
|
|
|
|
||||||||
вати її графік: f (x) = |
|
|
x < 0. |
|
|
|
|
||||||||
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
π − x |
|
, 0 < x < π ; |
|
|
||||
1. Розкластифункцію |
|
|
2 |
|
|
врядФур’єнаін- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
f (x) = |
|
|
π + |
x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
− |
|
, |
− π < x< |
|
0, |
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тервалі (−π ;π ) .
§3. Індивідуальне завдання 4.3 |
|
|
|
|
|
183 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2. Розкласти в ряд Фур’є по синусах функцію f (x) = x sin x на інтер- |
||||||||||||||||||
валі (0; π ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію |
|
y = f (x) |
та побуду- |
|||||||||||||||
sin x, |
0 ≤ x≤ π |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вати її графік: f (x) = |
0, |
|
x < 0, x > π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Варіант №4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. Розкласти функцію |
|
|
|
cos x, |
0 < x < π |
; |
в ряд Фур’є на ін- |
|||||||||||
f (x) = |
− cos x, |
− π < x< |
0 |
|||||||||||||||
тервалі (−π ;π ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Розкласти в ряд Фур’є по косинусах функцію |
|
f (x) = x sin x на ін- |
||||||||||||||||
тервалі (0; π ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Зобразитифункцію y = f (x) |
інтеграломФур’євкомплексній фор- |
|||||||||||||||||
мі та побудувати її графік: |
f (x) = xe−α |
|
x |
|
|
(α > |
0) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Варіант №5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. Розкласти функцію |
sin x, − π < x< 0; |
в ряд Фур’є на ін- |
||||||||||||||||
f (x) = |
0, |
|
0 < x < π |
|
||||||||||||||
тервалі (−π ;π ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. РозкластиврядФур’єпосинусахфункцію f (x) |
|
x, |
0 < x ≤ |
1; |
||||||||||||||
= |
2 − x, |
1 < x < 2 |
||||||||||||||||
на інтервалі (0; 2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Представити інтегралом Фур’є задану функцію y = f (x) , продов- |
||||||||||||||||||
живши її парним чином на від’ємну піввісь: |
f (x) = e−α x , x ≥ 0 (α > |
0) . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
Варіант №6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. Розкласти функцію |
f (x) = 2 − 3x |
врядФур’єнаінтервалі (−π ;π |
) . |
|||||||||||||||
2. РозкластиврядФур’єпокосинусахфункцію f (x) |
|
x, |
0 < x ≤ |
1; |
||||||||||||||
= |
2 − x, |
1 < x < 2 |
||||||||||||||||
на інтервалі (0; 2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію |
|
y = f (x) |
та побуду- |
|||||||||||||||
|
−e |
x |
, |
x ≤ 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вати її графік: f (x) = |
e− x , |
x > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
184 |
|
|
Глава 4. Диференціальні рівняння. Ряди |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
1+ |
x |
, |
− π < x≤ 0; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
π |
|||||||||||||||||||||
1. Розкласти функцію |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в ряд Фур’є |
||||||||||||||||||||||
|
f (x) = |
|
1 |
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
, |
0 < x < π |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|||
на інтервалі (−π ;π ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Розкласти в ряд Фур’є по синусах функцію |
f (x) = 2x на інтер- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
валі (0; 1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію |
y = f (x) та побуду- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
< 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вати її графік: |
f (x) = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
> 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. Розкласти функцію |
f (x) = e−x в ряд Фур’є на інтервалі (−π ;π ) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Розкласти в ряд Фур’є по косинусах функцію f (x) = |
x |
на інтер- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
валі (0; 2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію |
y = f (x) та побуду- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1− |
|
x |
|
, |
|
|
|
|
|
x |
|
≤ 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вати її графік: |
f (x) = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
> 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. Розкласти функцію |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x 4 , |
− π < x≤ 0; |
в ряд Фур’є на ін- |
||||||||||||||||||||||||||||
f (x) = |
0, |
|
|
|
|
0 < x < π |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тервалі (−π ;π ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Розкласти в ряд Фур’є по косинусах функцію |
|
f (x) = cos x на ін- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тервалі 0; |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію |
y = f (x) та побуду- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вати її графік: |
f (x) = e−α |
|
x |
|
|
(α > 0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§3. Індивідуальне завдання 4.3 |
185 |
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
Варіант №10 |
|
|
||
1. Розкласти функцію |
f (x) = x + π в ряд Фур’є на інтервалі (−π ;π ) . |
|||||
2. Розкласти в ряд Фур’є по синусах функцію f (x) = sin |
x |
на інтер- |
||||
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||
валі (0; π ) . |
|
|
|
|
|
|
3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію y = f (x) |
та побуду- |
|||||
|
cos x, |
x ≤ π |
2; |
|
|
|
вати її графік: |
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
x > π |
2. |
|
|
||
|
0 , |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Варіант №11
|
|
|
|
|
|
|
|
−x, |
− π < x≤ |
0; |
|
|
|
|||
1. Розкласти функцію |
|
|
x |
2 |
|
|
|
в ряд Фур’є на інтер- |
||||||||
|
f (x) = |
, |
0 < x < π |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
валі (−π ;π ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. ПредставитикомплексноюформоюрядуФур’єфункцію f (x) = ch x , |
||||||||||||||||
яка задана в інтервалі (−π ;π |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію |
y = f (x) |
та побуду- |
||||||||||||||
|
1, |
|
|
|
|
|
|
a < x < b; |
|
|
|
|
|
|
|
|
вати її графік: f (x) = |
0, |
|
|
x |
< a, x > b. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №12 |
|
|
|
|
||||
1. Розкласти функцію |
|
0, |
− 2 < x ≤ |
0; |
в ряд Фур’є на інтер- |
|||||||||||
|
f (x) = |
2, |
|
0 < x < 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
валі (−2; 2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. ПредставитикомплексноюформоюрядуФур’єфункцію |
f (x) = sh x , |
|||||||||||||||
яка задана в інтервалі (−π ;π |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію |
y = f (x) |
та побуду- |
||||||||||||||
|
1, |
|
|
x |
|
< a ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вати її графік: f (x) = |
0, |
|
|
x |
|
> a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
186 |
|
Глава 4. Диференціальні рівняння. Ряди |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Варіант №13 |
|
|
|
|
||||||||||||
1. Розкласти функцію |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
−1 < x ≤ 0; |
в ряд Фур’є на інтер- |
|||||||
f (x) = |
x, |
0 < x < 1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
валі (−1; 1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. РозкластиврядФур’єпокосинусах функцію |
f (x) = ch x наінтер- |
||||||||||||||||||||
валі (0; π ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Зобразитифункцію y = f (x) |
інтеграломФур’євкомплексній фор- |
||||||||||||||||||||
мі та побудувати її графік: f |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
π x, 0≤ |
x≤ |
1; |
|
|
|
|||||||
= |
x < 0, |
x > 1. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Варіант №14 |
|
|
|
|
||||||||||||
1. Розкласти функцію |
f (x) = 2x + 3 врядФур’єнаінтервалі (−π ;π ) . |
||||||||||||||||||||
2. Розкласти в ряд Фур’є по синусах функцію |
f (x) = ch x на інтер- |
||||||||||||||||||||
валі (0; π ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію |
y = f (x) |
та побуду- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
sin x |
|
, |
|
|
|
|
x |
|
< π |
; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
вати її графік: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
> π . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №15 |
|
|
|
|
||||||||||||
1. Розкласти функцію |
f (x) = x + x2 |
врядФур’єнаінтервалі (−π ;π ) . |
|||||||||||||||||||
2. Розкласти в ряд Фур’є по синусах функцію |
f (x) = eα |
x на інтер- |
|||||||||||||||||||
валі (0; π ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію |
y = f (x) |
та побуду- |
|||||||||||||||||||
|
sign x, |
|
|
x |
|
< 1; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
вати її графік: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
0 , |
|
|
x |
|
> 1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №16 |
|
|
|
|
||||||||||||
1. Розкластифункцію f (x) = x cos 2x врядФур’єнаінтервалі (−π ;π ) . |
|||||||||||||||||||||
2. Розкласти в ряд Фур’є по косинусах функцію |
f (x) = eα x на інтер- |
||||||||||||||||||||
валі (0; π ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§3. Індивідуальне завдання 4.3 |
187 |
||
|
|
||
3. Представити функцію |
y = f (x) інтегралом Фур’є в комплексній |
||
формі та побудувати її графік: |
sin x, |
0 ≤ |
x≤ π ; |
f (x) = |
x < 0, |
x > π . |
|
|
0, |
Варіант №17
1.Розкласти функцію f (x) = 5x −1 в ряд Фур’є на інтервалі (−5; 5) .
2.Розкласти в ряд Фур’є по синусах функцію f (x) = 12 (π − x) на ін-
тервалі (0; π ) . |
|
|
|
|
|
3. Функцію f (x) = e−α x , x > 0, α > |
0 зобразитиінтеграломФур’є, про- |
||||
довживши її непарним чином на від’ємну піввісь. |
|
||||
|
Варіант №18 |
|
|||
|
0, |
− π < x≤ 0; |
|
||
1. Розкласти функцію |
|
x |
|
в ряд Фур’є на інтер- |
|
f (x) = π |
, 0 < x < π |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||
|
|
|
|
валі (−π ;π ) .
2. Розкласти в ряд Фур’є по косинусах функцію f (x) = 12 (π − x) на
інтервалі (0; π ) .
3. ЗобразитиінтеграломФур’єзадануфункцію y = f (x) тапобудувати її графік: f (x) = xe−α x , α > 0 .
Варіант №19
1.Розкласти функцію f (x) = x2 в ряд Фур’є на інтервалі (−1; 1) .
2.Розкласти в ряд Фур’є по синусах функцію
|
x, |
0 |
< x ≤ π 2; |
на інтервалі |
(0; |
π ) . |
|||||
f (x) = |
π − x, |
π |
2< |
x< π |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Зобразитифункцію y = f (x) інтеграломФур’євкомплексній фор- |
|||||||||||
мі та побудувати її графік: f (x) = e−α |
|
x |
|
|
(α > |
0) . |
|||||
|
|
||||||||||
|
|
188 |
Глава 4. Диференціальні рівняння. Ряди |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Варіант №20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1. Розкласти функцію |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− π |
4, − π < |
x< |
|
0; |
в ряд Фур’є на ін- |
||||||||||||||||||||
|
f (x) = |
π |
4, |
0< |
x< π |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
тервалі (−π ;π |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, |
|
0 < x ≤ |
|
π |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||
2. РозкластиврядФур’єпокосинусахфункцію |
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) = |
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
< x |
< π |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
на інтервалі (0; π ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію y = f (x) |
та побуду- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
cos |
|
|
, |
|
|
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
вати її графік: |
f (x) = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
> π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Варіант №21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1. Розкласти функцію |
|
f (x) |
−x, |
|
|
− π < |
x≤ |
0; |
|
в ряд Фур’є на інтер- |
||||||||||||||||||||||||||
|
= |
0, |
|
|
0 < x < π |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
валі (−π ;π ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. ПредставитикомплексноюформоюрядуФур’єфункцію f (x) = cos |
x |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
яка задана на інтервалі (−π ;π |
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію y = f (x) |
та побуду- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin x, |
|
|
x |
|
≤ π |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вати її графік: |
f (x) = |
|
|
|
|
x |
|
> π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант №22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1. Розкласти функцію |
|
f (x) = |
|
sin x |
|
|
в ряд Фур’є на інтервалі (0; π ) . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. ПредставитикомплексноюформоюрядуФур’єфункцію f (x) = ex , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
яка задана на інтервалі (0; |
2π |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію y = f (x) |
та побуду- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
вати її графік: |
1, |
0 ≤ x≤ |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
f (x) = |
x |
< 0, |
|
x > 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§3. Індивідуальне завдання 4.3 |
|
189 |
||||
|
|
|
|
||||
|
Варіант №23 |
|
|
||||
1. Розкласти функцію f |
|
π , |
|
− π < |
x≤ 0; |
в ряд Фур’є на ін- |
|
(x) = |
π − x, |
0< |
x< π |
||||
|
|
|
|
||||
тервалі (−π ;π ) . |
|
|
|
|
|
|
|
2. Розкласти в ряд Фур’є по косинусах функцію f (x) = (x −1)2 на ін- |
|||||||
тервалі (0; π ) . |
|
|
|
|
|
|
|
3. Функцію |
x +1, |
0 ≤ x≤ |
1; |
зобразитиінтеграломФур’є, про- |
|||
f (x) = |
x |
> 1 |
|||||
|
0, |
|
|
|
|
довживши її парним чином на від’ємну піввісь.
Варіант №24
1. Розкласти функцію |
f |
0, |
− π < x≤ |
0; |
в ряд Фур’є на інтер- |
|||||||
(x) = |
0 |
|
< x < π |
|||||||||
|
|
|
x, |
|
|
|
||||||
валі (−π ;π ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. РозкластиврядФур’єпосинусахфункцію |
f (x) = (x −1)2 наінтер- |
|||||||||||
валі (0; π ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Зобразити функцію |
|
1, |
0 |
< x < a ; |
|
інтегралом Фур’є в |
||||||
f (x) = |
x |
< 0, |
x > a |
|||||||||
комплексній формі. |
|
0, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Варіант №25 |
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
Розкласти функцію |
f (x) = |
|
cos x |
|
|
в ряд Фур’є на інтервалі |
|||||
|
|
|||||||||||
(− π 2; π |
2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Розкласти в ряд Фур’є по синусах функцію |
f (x) = sh 2x на інтер- |
валі (0; π ) .
3. Зобразити інтегралом Фур’є задану функцію y = f (x) та побуду-
|
|
x, |
|
|
x |
|
< 1; |
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вати її графік: |
f (x) = |
0, |
|
|
x |
|
> 1. |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГЛАВА 5. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ.
ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ
§1. Індивідуальне завдання 5.1
Комплексні числа
[Ч.1, гл.3, §4, приклади 1 – 14 або ч.3, гл.3, §1, приклади 1 – 14]
Завдання: 1. Представити задане комплексне число z в алгебраїчній
формі.
2.Представити задані комплексні числа у тригонометричній та показниковій формах.
3.Обчислити заданий вираз.
4.Знайти всі значення кореня n z та побудувати їх на комплексній площині.
5.Зобразити області, що задані рівняннями або нерівностями.
|
|
|
Варіанти завдань |
|
||
|
|
|
|
Варіант №1 |
|
|
1. |
z = (2i − i2 )2 + (1− 3i)3 . 2. а) 5i ; |
б) 1+ i 3 ; |
в) 5 −12i . |
|||
3. |
(1+ i)10 . |
4. 4 1 . |
|
|
||
5. а) {z : Re z > 2} ; |
б) {z : | z −1| ≤ 1, | z+ 1|> 2} . |
|
||||
|
|
|
|
Варіант №2 |
|
|
1. |
z = (1+ i)(1− 3i) . |
2. а) 17; |
б) − 2 + i 2 ; |
в) −4 −11i . |
||
3. |
(1− i 3)6 . |
4. 3 i . |
|
|
||
5. а) {z : −1 ≤ Im z≤ 3} ; |
б) {z : | z + i | ≥ 1, | z |< 2} . |
|
||||
|
|
|
|
Варіант №3 |
|
|
1. |
z = i (1+ i) − |
2 |
. |
2. а) −2i ; |
б) − 3 − i ; |
в) 2 + 5i . |
|
||||||
|
|
i |
|
|
|
|
3. |
( 3 − 3i)6 . |
4. 4 −1 . |
|
|
||
5. а) {z : | z − i | < 3} ; |
б) {z : 1 < zz < 2, Re z > 0, 0 ≤ Im z≤ 1} . |