1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV

§3. Індивідуальне завдання 6.3

261

6. Знайтипохіднускалярногополя U (x, y, z) вточці М занапрямком

нормалідоповерхні σ .

U = (x2 + y2 + z2 )3 2 ;

σ :

2x2 − y2 + z2 − 7 = 0 ;

M (0, − 3, 4) .

7. Знайти об’ємну густинуG

електричних зарядів ρ (x, y, z) за заданим

вектором електричної індукції D(x, y, z) :

G

GG

G

;

G

G

G

G

G

G G

G G

G G

G

D = (ra) b

r

= ix + jy + kz ;

a

= i + j

− k

; b = i − j

+ k .

8. Знайтиструмзміщеннявдіелектрику, якщовньомузадане магніт-

не поле HG(x, y, z) : HG

= iG(x2 + y2 ) ez +

Gj ( y2 + z2 ) ex + kG

(z2 + x2 ) ey .

9. Перетворити заданий поверхневий інтеграл

w∫∫

x

dxdz +

y

dxdy +

z

dydz

x

2

+ y

2

y

2

+ z

2

z

2

+ x

2

σ

L

, натягнутій на замкнений

за формулою Стокса до інтеграла по поверхні σ

контур L.

EG

11. Знайти потік векторного поля

через замкнену поверхню σ

(нормаль зовнішня).

EG = (zx + y) iG+ (xy − z) Gj + (x2 + yz) kG ; σ : x2 + y2 = 2, z = 0, z = 1.

12. Знайти модуль циркуляції поля HG

вздовж контуру L.

G

G

2

G

G

x

2

+ y

2

= 4 ,

H = −3zi + y

j + 2yk ; L :

x − 3y − 2z = 1.

Варіант №14

1. Визначити об’єм тіла, обмеженого даними поверхнями:

z = 6 x2 + y2 ; z = 16 − x2 − y2 .

2. Знайти заряд Q, зосереджений в об’ємі Ω

, якщо відома об’ємна

густина заряду ρ (x, y, z) .

Ω : x2 + y2 =

z2

,

x2 + y2 =

z

,

x ≥ 0, y≥ 0;ρ = 14 yz .

25

5

3. ЗнайтизарядQ поверхні σ

: z = x2 + y2

(0 ≤

z≤ 4, x≥ 0, ≥y 0) при

заданій поверхневій густині заряду γ (x, y, z) =

xyz .

262

4. Показати, що задане поле EG

– потенціальне і знайти його потенціал:

G

G

G

K

− (ix + jy + kz)

E =

.

U = ln (1+ x2 + y2 ) −

x2 + z2 ;

σ : x2− 6x+ 9 y2+ z2= 4z+ 23 ; M (3, 0, − 4) .

7. Знайти об’ємну густинуG

електричних зарядів ρ (x, y, z) за заданим

вектором електричної індукції

D(x, y, z) :

G

G

G

G

D = ix4 + jy4 +

4kxyz2 .

8. Знайтиструмзміщеннявдіелектрику, якщовньомузадане магніт-

G

G

G cos x2

G cos y2

G cos z2

не поле H (x, y, z) :

H = i

+ j

+ k

.

y + z

x + z

x + y

§3. Індивідуальне завдання 6.3

263

2. Знайти заряд Q, зосереджений в об’ємі Ω

, якщо відома об’ємна

густина заряду ρ (x, y, z) .

Ω : x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = 9z2 , x ≥ 0, y≥ 0, z≥ 0;ρ =

10z .

3. Знайти заряд Q поверхні σ

:

x2 + y2 + z2 = R2 (z ≥ 0)

при заданій

поверхневій густині заряду γ (x, y, z) = (R2 − z2 )3 2 .

4. Показати, що задане поле EG – потенціальне і знайти його потенціал:

G

G

G

G

iex

+ jey

+ kez

E =

.

ex + ey

+ ez

EG за заданим потенціа-

5. Знайти напруженість електричного поля

лом U : U = az (x2 + y2 ) − (x2 + y2 + z2 )3 .

6. Знайтипохіднускалярногополя U (x, y, z)

вточці М занапрямком

нормалі до поверхні σ .

U = x2 − arctg( y + z); σ : 2z= x2+ y2 ;

M (1, 1, 1) .

7. Знайти об’ємну густину електричних зарядів ρ (x, y, z) за заданим

вектором електричної індукції

G

D(x, y, z) :

G

G xy

G

x

G

y

D = i

+ j

+ k

.

z

y

z2

8. Знайтиструмзміщеннявдіелектрику, якщовньомузадане магніт-

G

G

G

G

G

не поле H(x, y, z) :

H

= iz sin (x + y)

+ jxsin ( y + z) + ky sin (x + z) .

264

12. Знайти модуль циркуляції поля HG

вздовж контуру L.

G

G G

G

2

+ y

2

− z

2

= 0 ,

H = 2 yi + j + 2 yzk ; L :

x

.

= 2.

z

z =

64 − x2 − y2 ;

z = 4;

x2 + y2 = 39 (x2 + y2 ≤ 39) .

2. Знайти заряд Q,

зосереджений в об’ємі Ω

, якщо відома об’ємна

густина заряду ρ

(x, y, z) .

Ω

: 9 (x

2

2

2

2

2

5

2

2

) .

+ y

) = z

, x

+ y

= 4, x ≥ 0, y≥ 0, z≥

0ρ;=

(+x

y

3

3. Знайти заряд Q поверхні σ

:

x2 + y2 = a2

(−h ≤ z≤

h)

при заданій

поверхневій густині заряду γ (x, y, z) =

xy .

4. Показати, що задане поле EG

– потенціальне і знайти його потенціал:

G

G

yz

G

G

E

= i

+

( jz + ky) arctg x .

+

2

v∫

x2

y2

z2

dx +

dy +

dz

y + z

x + z

x + y

L

за формулою Стокса до інтеграла по поверхні σ

, натягнутій на замкнений

контур L.

EG

11. Знайти потік векторного поля

через замкнену поверхню σ

(нормаль зовнішня).

2 G

G

G

2 G

+

2

2

=

0, 25,

z= 0, z= 2 .

E = x

i + y

j

2zk; σ : x + y

12. Знайти модуль циркуляції поля HG

вздовж контуру L.

G

G

G G

2

+ y

2

+ z

2

= 4 ,

x

.

H = xzi − j + yk ; L :

= 1.

z

Варіант №18

1. Визначити об’єм тіла, обмеженого даними поверхнями:

z =

3

x2 + y2

; z =

5

− x2 − y2 .

2

2

2. Знайти заряд Q,

зосереджений в об’ємі Ω

, якщо відома об’ємна

густина заряду ρ

(x, y, z) .

Ω : x2 + y2 = 1, x2 + y2 = z, z = 0, x ≥ 0, y≥ 0;ρ = 10 y .

3. Знайти заряд Q поверхні

σ : 2z = x2 + y2

(x ≥ 0, y≥ 0, 0≤ ≤z 2)

при заданій поверхневій густині заряду γ (x, y, z) =

xyz .

§3. Індивідуальне завдання 6.3

8. Знайтиструмзміщеннявдіелектрику, якщовньомузадане магніт-

G

G

G

x

G

y

G

z

не поле H (x, y, z) :

H

= i

+ j

+ k

.

x2 + y2

y2 + z2

z2 + x2

9. Перетворити заданий поверхневий інтеграл

w∫∫

xy

xz

yz

tg

dydz

+ tg

dxdy + tg

dxdz

z

y

x

σ

L

, натягнутій на замкнений

за формулою Стокса до інтеграла по поверхні σ

контур L.

EG через замкнену поверхню σ

11. Знайти потік векторного поля

(нормаль зовнішня).

EG = xyiG+ yzjG+ xzkG; σ : x2+

y2= 4, z= 0, z= 1.

12. Знайти модуль циркуляції поля HG вздовж контуру L.

G

G

G

G

2

x2 + y2

+ z2 = 25,

H =

2iyz + jxz − kx

; L :

.

= 9 (z > 0).

x2 + y2

z = 9 − x2 − y2 ; z =

x2 + y2

.

35

2. Знайти заряд Q,

зосереджений в об’ємі Ω

, якщо відома об’ємна

густина заряду ρ (x, y, z) .

Ω : x2 + y2 =

z2

,

x2 + y2 =

z

, z = 0, x ≥ 0,

y≥ 0ρ; = 10xz .

7

49

3. Знайти заряд Q поверхні σ

:

z2 = x2 + y2 (x2 + y2 ≤ 2ax, z≥ 0) при

заданій поверхневій густині заряду γ (x, y, z) = yz .

4. Показати, що задане поле EG

– потенціальне і знайти його потенціал:

G

G

G

G

E = iy2 z + 2 jxyz

+ kxy2 .

EG за заданим потенціа-

5. Знайти напруженість електричного поля

U = x(ln y − arctg z); σ : 8z+ 2x2−

y2=

0 ;

M (2, 4, 1) .

7. Знайти об’ємну густинуG

електричних зарядів ρ (x, y, z) за заданим

вектором електричної індукції D (x, y, z) :

G

G

x2

G

y2

G

z2

D

= i tg

+ j tg

+ k tg

.

y

z

x

8. Знайтиструмзміщеннявдіелектрику, якщовньомузадане магніт-

G

G

G

G

G

не поле H (x, y, z)

: H = ix3 y + jy3 z + kz3 x .

9. Перетворити заданий поверхневий інтеграл

2

2

2

w∫∫

arctg

x

dxdz + arctg

y

dxdy + arctg

z

dydz

2

2

2

σ

y

z

x

v∫ x2 tg

y

dx + y

2 tg

z

dy + z 2 tg

x

dz

L

z

x

y

, натягнутій на замкнений

контур L.

EG

11. Знайти потік векторного поля

через замкнену поверхню σ

(нормаль зовнішня).

EG = xyiG+ yzjG+ xzkG; σ : x2+

y2+ z2= 1, x=

0,

y=

0, z= 0 (x≥ 0,

y≥ 0,≥z 0).

12. Знайти модуль циркуляції поля HG

вздовж контуру L.

G

G

G

G

2

+ y

2

= 1,

H = 4xi − yzj + xk ; L :

x

+ y + z = 1.

x

Варіант №20

1. Визначити об’єм тіла, обмеженого даними поверхнями:

z = 49 − x2 − y2 ; z = 3; x2 + y2 = 33 (x2 + y2 ≤ 33) .

2. Знайти заряд Q,

зосереджений в об’ємі Ω

, якщо відома об’ємна

густина заряду ρ (x, y, z) .

Ω : x2 + y2 = 4z2 , x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0, x≥ 0, y≥ 0;ρ =

10z .

3. Знайти заряд Q поверхні σ

: z =

a2 − x2 − y2 при заданій поверх-

невій густині заряду γ (x, y, z) =

z

.

a

§3. Індивідуальне завдання 6.3

269

4. Показати, що задане поле EG

– потенціальне і знайти його потенціал:

G

G

G

G

E = iy2 z2 + 2xyz ( jz

+ ky) .

EG

5. Знайти напруженість електричного поля

за заданим потенціа-

лом U : U =

x

.

x2 + y2 + z2

6. Знайтипохіднускалярногополя U (x, y, z)

вточці М занапрямком

нормалідоповерхні σ .

U = ln (3 − x2 ) + xy2 z;

σ : 6x3+ y3+ z2= 8xyz ;

M (1, 1, 1) .

7. Знайти об’ємну густину електричних зарядів ρ

(x, y, z) за заданим

вектором електричної індукції

G

D (x, y, z) :

G

G

G

G

D

= ixy + jyz

+ kzx .

8. Знайтиструмзміщеннявдіелектрику, якщовньомузадане магніт-

G

G

K

G

G

G

G

G

G

G

G

G

не поле H (x, y, z) : H

= r ×

a ;

r=

ix+

jy+

kz; a=

iz+

jx+ ky .

9. Перетворити заданий поверхневий інтеграл

w∫∫

σ

v∫

xy

yz

zx

dx +

dy

+

dz

z

x

y

L

, натягнутій на замкнений

контур L.

EG

через замкнену поверхню σ

(нормаль зовнішня).

EG = ziG+ yzjG− xykG;

σ : x2+

y2= 4, z= 0, z= 1.

12. Знайти модуль циркуляції поля HG

вздовж контуру L.

G

G

G

G

x

2

+ y

2

− z

2

= 0 ,

H = − yi + 2 j + k ; L :

z = 1.

U = sin (x + 2 y) +

xyz ; σ

: 4z−

x2+

y2=

0 ; M

π

3π π

2

,

,

.

2

2

7. Знайти об’ємну густинуG

2

електричних зарядів ρ (x, y, z)

за заданим

вектором електричної індукції D (x, y, z) :

G

G

y

G

z

G

x

D = i arctg

+ j arctg

+ k arctg

.

x

y

y

8. Знайтиструмзміщеннявдіелектрику, якщовньомузадане магніт-

G

G

2

G

x

G

G

не поле H (x, y, z) :

H

=

i −

( j + k ) .

y + z

( y + z)3

9. Перетворити заданий поверхневий інтеграл

w∫∫

z

dxdy +

x

dydz −

y

dxdz

y + z

x + y

σ

x + z

L

, натягнутій на замкнений

за формулою Стокса до інтеграла по поверхні σ

контур L.

EG через замкнену поверхню σ

11. Знайти потік векторного поля

(нормаль зовнішня).

G

G