1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV
.pdf
|
§11. Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеграли. Теорія поля |
399 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продовження таблиці 11.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
б) проектування на одну |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з координатних площин |
∫∫(F,n) dσ = |
∫∫ |
|
|
(F,n) |
|
|
|
|
|
dxdy |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
σ : z = z(x, y) , прxOyσ = Dxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
cosγ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
Dx y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=z( x,y) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
(F,n) dσ = |
|
|
|
(F,n) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdz |
|
|||||||||||||||||
|
σ : y = y(x, z) , прxOzσ = Dxz |
|
∫∫ |
|
|
|
cosβ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
Dx z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y= y( x,z) |
|
|
|||
|
|
(F,n) dσ = |
|
|
|
|
|
|
(F,n) |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dydz |
|
||||||||||||||
|
σ : x = x( y, z) , прyOzσ = Dyz |
|
∫∫ |
|
|
cosα |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
Dy z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=x( y,z) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P dydz + Q dxdz + R dxdy = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Формула |
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂P |
|
|
|
|
|
|
∂Q |
|
|
∂R |
|
|
|
||||||||
|
Остроградського-Гаусса |
|
|
|
|
= |
∫∫∫ |
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
dxdydz |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
∂z |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
σ – зовнішня сторона замкненої поверхні, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
що обмежує тіло G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
∫P dx + Q dy + R dz = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Q ∂P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂R ∂Q |
|
||||||||||||||
|
Формула Стокса |
= |
∫∫ |
|
− |
|
dxdy + |
|
|
|
− |
|
dydz + |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
∂z |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
σ |
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂P |
|
|
∂R |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
dxdz |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
орієнтація кривої L узгоджена з вибором |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
сторони поверхні σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Застосування поверхневого інтеграла другого роду |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Обчислення кількості |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рідини Π , що протікає |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
через поверхню σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Π = |
∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
в одиницю часу в сторону, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(v,n) dσ |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
визначену напрямом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора нормалі n , якщо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x, y, z) = v(x, y, z) – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
швидкість руху рідини |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|