Добавил:

AAA1 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.01.2021

Размер:

10.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 5643 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 > Следующая >>>

§13. Ряди

421

Продовження таблиці 13.3

+ ∞

−iα t

iα x

в) в комплексній формі

f (x) =

∫

e dα

2π

−∞

f (t) e

− ∞

Перетворення Фур’є

π2

+ ∞

а) косинус-перетворення

FC (α ) =

∫f (t)cosα t dt (пряме),

f (x) =

2 + ∞ F

(α )cosα x dα

(обернене).

∫

б) синус-перетворення

F (α ) =

∫

+∞

f (t)sinα t dt (пряме),

f (x) =

2 + ∞ F (α )sinα x dα

(обернене).

∫

21π

+ ∞

в) загального вигляду

F(α ) =

−∫∞ f (t) e−iα t dt (пряме),

12π

+ ∞

f (x) =

−∫∞ F(α

) eiα x dα (обернене).

422	Глава 7. Довідковий матеріал

§14. Функції комплексної змінної

Таблиця 14.1 – Комплексні числа

Поняття або

співвідношення,

Формула

що визначаються

Комплексне число

Алгебраїчна форма

z = x +i y ,

i2 = −1

Тригонометрична форма

z = r (cosϕ

+i sinϕ )

Показникова форма

z = reiϕ

Модуль комплексного

r = z

x2 + y2

числа

arctg

x > 0,

(M (x, y) I, IV чверті)

Головне значення

π + arctg

0, y≥

(M (x, y)

II чверті)

аргументу

−π < arg z≤ π

(M (x, y)

ϕ =

arg z= −π +

arctg

0, <y

III чверті)

x = 0, y > 0,

−

x = 0, y < 0.

Дії над комплексними числами

Алгебраїчна

форма

1.z1 + z2 = (x1 +i y1 ) + (x2 +i y2 ) = (x1 + x2 ) +i ( y1 + y2 ) .

2.z1 − z2 = (x1 +i y1) −(x2 +i y2 ) = (x1 − x2 ) +i ( y1 − y2 ) .

3.z1 z2 =(x1 +i y1)(x2 +i y2 ) = (x1x2 − y1 y2 )+i (x1 y2 + x2 y1) .

x1 + i y1

z1 z2

(x1 + i y1 )(x2 − i y2 )

(x2 + i y2 )(x2 − i y2 )

x2 + i y2

z2 z2

x1x2 + y1 y2

+ i

x2 y1 − x1 y2

, z2 ≠ 0 .

x22 + y22

zn = z z… z , n N.

n раз

Тут z1 = x1 + i y1 , z2 = x2 + i y2 , z = x + i y .

§14. Функції комплексної змінної

423

Продовження таблиці 14.1

z1 z2 = r1 r2 [cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) +i sin(ϕ 1 +ϕ 2 )] .

[cos(ϕ 1 − ϕ 2 ) +i sin(ϕ 1 − ϕ 2 )] , z2 ≠ 0 .

Тригонометрична

zn = (r(cosϕ +isinϕ ))n = rn (cosnϕ

+i sinnϕ ) .

форма

ϕ + 2kπ

+i sin

ϕ + 2kπ

cos

, k =0, n −1.

Тут

z1 = r1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) ,

z2 = r2 (cos ϕ 2 + i sinϕ 2 ), z = r(cos ϕ

+ i sinϕ ) .

1. z

= r r ei (ϕ 1+ϕ 2 ) .

ei (ϕ 1−ϕ 2 ) , z2 ≠ 0 .

Показникова

форма

= r

i nϕ

4. n z = n r e

i (ϕ +2kπ )

, k =

0, n −1 .

Тут

= r ei ϕ 1 , z

= r

ei ϕ 2 ,

z = r ei ϕ .

Таблиця 14.2 – Функції комплексної змінної

Основні елементарні функції

Степенева функція

= (x + i y)n ,

Показникова функція

= ex+i y

= ex (cos y + isin y)

cos z =

ei z + e−i z

sin z =

ei z − e−i z

Тригонометричні

функції

sin z

cos z

tg z

ctg z =

cos z

sin z

ch z =

ez + e− z

sh z =

− e− z

Гіперболічні

функції

sh z

ch z

th z =

cth z =

ch z

sh z

424

Глава 7. Довідковий матеріал

Продовження таблиці 14.2

Логарифмічна

Ln z = ln

+ i (arg z + 2k π ),

z ≠

0 ,

де

ln z = ln

+ i arg z ;

функція

Ln z = ln z + 2kπ i

Загальна степенева

= ea Ln z ,

функція

Загальна показникова

= ez Ln a ,

функція

Arcsin z = −i Ln(iz ±

1− z2 ),

Обернені тригонометричні

Arccosz = −i Ln(z ±

z2 −1 ),

функції

Arctg z = − i

Ln 1 + iz

1− iz

Arcctg z =

Ln z − i .

z + i

Arsh z = Ln (z ±

z 2 + 1 ) ,

Обернені гіперболічні

Arch z = Ln (z ±

z 2 − 1 ) ,

функції

Arth z

Ln 1 + z

1 − z

Arcth z = 1

Ln z + 1 .

z − 1

Таблиця 14.3 – Диференціювання функцій комплексної змінної

Поняття або

співвідношення,

Формула

що визначаються

Похідна функції

w′ =

f ′(z) =

lim

∆ w

w = f (z) = u(x, y) + i v(x, y)

∆

z →

0 ∆ z

Умови Коші-Рімана

∂u

∂v

∂u

∂v

= −

∂x

∂y

∂x

Формули для

f ′(z) =

∂u

∂v

∂u

∂v

обчислення похідної

∂x

+ i ∂x =

∂y − i ∂y

∂x

− i ∂y =

∂y

+ i

∂x

§14. Функції комплексної змінної						425

Таблиця 14.4 – Інтегрування функцій комплексної змінної

Поняття або
співвідношення,		Формула
що визначаються
1		2
Інтеграл		∫f (z)dz
від функції w = f (z)		∫f (z)dz
вздовж кривої C		C
вздовж кривої C
Формули для обчислення інтегралів

1. Зведення до обчислення	∫f (z) dz = ∫(u + i v) (dx + i dy) =
1. Зведення до обчислення	C	C
криволінійних інтегралів	= ∫u dx − v dy + i	∫u dy + v dx ,
другого роду.	= ∫u dx − v dy + i	∫u dy + v dx ,
	C	C
	де z = x + i y , f (z) = u + i v .

		β
2. Зведення до обчислення	∫f (z) dz = ∫f [z(t)] z′(t)dt ,
2. Зведення до обчислення	C	α		або z(t) = x(t) + i y(t) ,
визначених інтегралів.	де C : x = x(t), y = y(t)			або z(t) = x(t) + i y(t) ,
	початковій та кінцевій точкам дуги C відпо-
	відають значення t = α ,			t =β .

	z1		z1
3. Формула	∫f (z) dz = Φ (z)			= Φ (z1 ) − Φ (z0 ) ,

			z0
			z0
Ньютона-Лейбніца.	z0					D,
	де функція f (z)	аналітична в області				D,
	z0 ,z1 D, Φ (z)	– первісна для функції				f (z) .
	z1				z1
4. Формула	∫f (z)ϕ ′(z)dz = [ f (z)ϕ (z)]				zz1 − ∫ϕ (z) f ′(z) dz ,
4. Формула	∫f (z)ϕ ′(z)dz = [ f (z)ϕ (z)]				zz1 − ∫ϕ (z) f ′(z) dz ,
інтегрування частинами.	z0			0
інтегрування частинами.	z0				z0
	де функції f (z), ϕ (z) аналітичні в однозв’яз-
	нійобласті D, z0 , z1 D .
5. Формула	∫f (z) dz = ∫f [ϕ (w)]ϕ ′(w) dw ,
5. Формула	C	C1
заміни змінної.	C	C1
заміни змінної.	де функція w= f (z) така, що функція z = ϕ (w)
	де функція w= f (z) така, що функція z = ϕ (w)
	взаємно однозначно відображає контур C1 в
	площині W на контур C в площині Z .

426

Глава 7. Довідковий матеріал

Продовження таблиці 14.4

(z0 ) =

f (z)

dz ,

2π i

∫z − z

Інтегральна формула Коші

f (z)

де функція

аналітична в області

обмеженій кусково-гладким замкненим

контуром C , і на самому контурі;

D ,

контур C – додатно орієнтований.

Формула для обчислення

f (z)

dz = 2π i f (z0 )

інтегралів

∫z − z

Формула для похідної n -го

f (n) (z0 ) =

f (z)

порядку

2π i

C∫(z − z0 )n+1

Формула для обчислення

f (z)

2π i

f (n) (z0 )

інтегралів

C∫(z − z0 )n+1

Основна теорема Коші.

Якщо функція

f (z)

аналітична в однозв’язній області

D, обмеже-

ній контуром C і L – замкнений контур в

D , то

∫f (z) dz = 0 .

Якщо функція

f (z)

неперервна в замкненій області

= D + C , то

∫f (z) dz = 0 .

Узагальнена теорема Коші.

Якщо функція

f (z)

аналітична в многозв’язній області

D, обмеже-

ній контуром C і внутрішніми по відношенню до нього контурами

γ 1,

γ 2 ,…, γ k , і неперервна в замкненій області D = D + C+ + γ 1− + γ −2 +…+ γ k− , де знаки верхніх індексів означають напрямки обходів, то

∫f (z) dz = 0 .

C+ + ∑k γ i− i =1

§14. Функції комплексної змінної

427

Таблиця 14.5 – Комплексні ряди

Поняття або

співвідношення,

Формула

що визначаються

Числовий ряд

z1 + z2 +…+ zn +…= ∑∞

zn ,

n =1

де zn = xn + i yn .

Степеневий ряд

c0 + c1z + c2 z2 +…+ cn zn +…= ∑∞

cn zn

n =0

Формули

R = lim

cn+1

n →

∞

для обчислення

радіуса збіжності

R = lim

n →

∞

Ряд Тейлора

∞

f (n) (z

)

для функції f (z) , одно-

f (z) = ∑

cn (z − z0 )n

= ∑

(z − z0 )n ,

n !

значної і аналітичної в

n =

n =0

∫

f (z)n+1

точці z = z0

де

dz,

n = 0,1,2,…

2 π i

(z − z0 )

Формули розкладу в ряд Тейлора елементарних функцій

ez = ∑∞

< + ∞ ,

n =0 n!

z2n+1

sin z = ∑∞

(−1)n

< + ∞

(2n +1)!

n =0

cos z = ∑∞

(−1)n

z2n

< + ∞

(2n)!

n =0

∞

z2n+1

sh z = ∑

< + ∞

n =0 (2n +

1)!

∞

z2n

ch z = ∑

< + ∞ ,

(2n)!

n =0

428

Глава 7. Довідковий матеріал

Продовження таблиці 14.5

ln(1+ z) = ∑∞

(−1)n+1

< 1 ,

n =1

ln(1 − z) = − ∑∞

< 1 ,

arctg z = ∑∞

n =1 n

z2n+1

(−1)n

< 1 ,

2n +1

n =0

(1+ z)α

= 1+ ∑∞

α (α

−1)(α

− 2)…(α

− n +1)

zn ,

<1 ,

n =1

= ∑∞

(−1)n zn ,

< 1 ,

1+ z

n =0

= ∑∞

zn ,

< 1 .

1− z

n =0

Ряд Лорана

∞

c−n

∞

для функції f (z) , одно-

f (z) =

∑

+ ∑ cn (z − z0 )n ,

(z − z0 )n

n =1

n =0

значної і аналітичної

∫

f (z)n+1

в кільці r <

z − z0

< R

де cn =

dz , n = 0, ±1, ± 2, …

2 π i

Γ (z − z0 )

§14. Функції комплексної змінної

429

Таблиця 14.6 – Лишки функцій та їх застосування

Поняття або

співвідношення,

Формула

що визначаються

res f (z0 ) =

f (z) dz ,

2π i

∫

Лишок функції f (z)

де контур

– коло з центром у точці z0

в особливій точці

достатньо малого радіуса і такого, щоб

коло не виходило за межі області

аналітичності функції

f (z)

і не містило

всередині інших особливих точок функції

f (z) .

Формула

res f (z0 ) = c−1

для обчислення лишку

Формули для обчислення лишку

для різних типів особливих точок

1. z0

– усувна особлива точка

res f (z0 ) = 0

2. z0 – полюс n -го порядку

res f (z0 ) =

lim

d n−1

( f (z)(z − z0 )

)

(n −

dzn−1

1)! z→

res f (z0 ) = lim ( f (z)(z − z0 ))

або

z→

3. z0 – простий полюс

ϕ (z0 )

ϕ (z)

res f (z0 ) =

якщо

f (z) =

ψ ′(z0 )

ψ (z)

4. z0

– істотно особлива точка

res f (z0 ) = c−1

Основна теорема про лишки –

теорема Коші

∫f (z) dz = 2π i ∑

res f (zk )

k =1

430	Глава 7. Довідковий матеріал

§15. Операційне числення

Таблиця 15.1 – Таблиця зображень основних функцій

Оригінал f (t)

Зображення F( p)

e−α t

p + α

sinβ t

p2 + β 2

cosβ t

p2 + β 2

shβ

p2 − β 2

ch β

p2 − β 2

e−α t sinβ t

( p + α )2 + β 2

e−α t cosβ t

p + α

( p + α )2 + β 2

e−α tshβ t

( p + α )2 − β 2

e−α t chβ t

p + α

( p + α )2 − β 2

pn+1

tne−α t

( p + α )n+1

t sin at

2 pa

( p2 + a2 )2

t cosat

p2 − a2

( p2 + a2 )2

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 5643 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 1-1 Высшая математика

#
31.01.202141.44 Кб55325.jpg
#
31.01.202110.43 Кб56Individual work 1.pdf
#
31.01.202187.04 Кб56Individual work 2.doc
#
31.01.202153.25 Кб66REKOMENDOVANA_LITERATURA-1.doc
#
31.01.202128.67 Кб56Titul.doc
#
31.01.202110.23 Mб87visshaya_matematika_chast_IV.pdf
#
31.01.2021539.08 Кб55ВМ - график консультаций.jpg
#
31.01.2021458.12 Кб55ВМ - для идиотов.jpg