Добавил:
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV

.pdf
Скачиваний:
84
Добавлен:
31.01.2021
Размер:
10.23 Mб
Скачать

 

§12. Диференціальні рівняння

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

411

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продовження таблиці 12.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод Ейлера

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Характеристичне рівняння

 

 

 

 

 

 

 

det (A − λ E) = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Корені характеристичного

 

 

 

 

 

 

 

λ

1,λ

2 ,,λ n

 

 

 

 

 

 

 

рівняння

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Загальний розв’язок

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

Ck X(λ

k ) (t)

 

 

 

 

 

однорідної системи

 

 

 

 

 

 

X(t) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формування X(λ k ) (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(λ )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

а) λ

– дійсний корінь

 

 

 

 

X

(λ )

(t) = Y

(λ

)

e

λ t

 

 

y2(λ

)

 

 

λ t

,

 

 

кратності 1

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(λ

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де AY(λ ) = λ Y(λ ) , Y(λ ) 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) λ

– комплексний

 

 

 

 

 

 

X1(λ ) (t) = ReX(λ

) (t),

 

 

 

 

 

корінь кратності 1

 

 

 

 

 

 

X(2λ ) (t) = ImX(λ ) (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

+ α

(2)

+…+ α

(r)

t

r1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α 1

1

t

1

 

 

 

 

в) λ

– корінь кратності

 

 

X

(λ )

(t) =

 

α 2(1)

+ α (22)t +…+ α

2(r)t r1

λ t

 

r 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

……………………………

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

+ α

(2)

+…+ α

(r)

t

r1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α n

n

t

n

 

 

 

 

 

Лінійні неоднорідні системи диференціальних рівнянь

 

 

 

зі сталими коефіцієнтами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dX

 

= A X(t) + F(t) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вигляд системи

 

де

A – матриця коефіцієнтів ai j

системи,

 

ai

j – сталі, i, j =

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X (t) = (x1 (t), x2 (t),, xn (t))T ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi (t)

– шукані функції, i =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(t) = ( f1(t), f2 (t),, fn (t))T ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fi (t)

– задані функції, i =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, n

 

 

 

 

 

 

412

Глава 7. Довідковий матеріал

 

 

 

 

 

 

Продовження таблиці 12.3

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

X(t) = X0 (t) + X(t) ,

 

Загальний розв’язок

 

де X0 (t) – загальний розв’язок відповідної

 

неоднорідної системи

 

 

 

dX

 

 

 

однорідної системи

 

= A X(t) ,

 

 

 

dt

 

 

~

 

 

 

 

 

 

X(t) – деякий частинний розв’язок неодно-

 

 

 

рідної системи

 

Метод підборучастинного розв’язку

 

 

 

 

 

 

Вигляд функцій fi (t)

 

 

Вигляд частинного розв’язку (аналогічно

 

правої частини

 

 

неоднорідномудиференціальному

 

 

 

рівнянню n -го порядку – таблиця 12.2)

 

(P(t)cosβ t + Q(t)sinβ t) eα t

 

 

§13. Ряди

413

 

 

§13. Ряди

Таблиця 13.1 – Числові ряди

Поняття або

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

співвідношення,

 

 

 

 

 

Формула

 

 

 

 

 

що визначаються

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Числовий ряд

u1 + u2 +…+ un +…=

uk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1

 

 

 

n -а частинна сума ряду

 

 

 

 

 

Sn = n

 

uk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1

 

 

 

 

 

 

Ряд збіжний

 

 

 

 

 

lim Sn

= S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→ ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Необхідна умова

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо ряд

un

збігається, то

lim un = 0 .

збіжності ряду

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Достатня умова

 

 

 

 

 

lim un

0

 

 

 

 

 

розбіжності ряду

 

 

 

 

 

n→ ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a + aq + aq2 +…+ aqn1 +…=

 

 

aqn1 ,

Геометричний ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

ряд збігається при

 

q

 

< 1 ,

S =

 

a

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1q

 

ряд розбігається при

 

 

q

 

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гармонічний ряд

1+

1

+

1

 

+…+

 

 

 

1

+…=

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n=1 n

 

 

ряд розбіжний

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Узагальнений

 

 

 

n=1

,

 

 

 

p

R ,

 

 

 

 

 

 

 

 

n p

 

 

 

 

 

 

 

 

гармонічний ряд

ряд збіжний при

p > 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ряд розбіжний при p

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знакододатний ряд

 

 

 

 

un ,

un > 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

414

 

 

 

Глава 7. Довідковий матеріал

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продовження таблиці 13.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Ознакипорівняння для рядів

 

 

 

 

un

(1),

vn (2), un > 0, vn > 0

 

 

 

 

n=1

 

n=1

 

 

 

 

 

 

а) un vn , n

 

 

 

 

 

 

 

 

якщо ряд (2) збіжний, то ряд (1) збіжний,

 

 

 

 

якщо ряд (1) розбіжний, то ряд (2) розбіжний.

 

 

б) lim

un

= l

0 , то обидва ряди збіжні, або обидва розбіжні.

 

n→ ∞

vn

 

 

 

 

 

 

 

 

Достатні ознаки збіжності для ряду

un ,

un

> 0

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

un+1

 

= l ,

 

 

 

 

 

 

un

 

Ознака Даламбера

 

 

 

n→ ∞

 

 

 

l < 1 – ряд збіжний,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l > 1 – ряд розбіжний,

 

 

 

 

 

 

 

 

l = 1 – потрібне додаткове дослідження.

 

 

 

 

 

 

lim n un

= l ,

 

Радикальна ознака Коші

 

 

n→ ∞

 

 

 

 

l < 1 – ряд збіжний,

 

 

 

 

 

 

 

 

l > 1 – ряд розбіжний,

 

 

 

 

 

 

 

 

l = 1 – потрібне додаткове дослідження.

 

 

 

 

 

u1 u2 u3

Інтегральна ознака Коші

функція f (x)

така, що

f (n) = un , n .

 

+ ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тоді інтеграл f (x) dx збіжний (або розбіж-

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ний) одночасно з заданим рядом.

Знакозмінний ряд

 

 

 

un ,

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

де un

– задані числа, як додатні, так і від’ємні.

Знакопочережний ряд

 

u1 u2 + u3 −…+ (1)n+1 un +…=

(1)n+1 un , un > 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

§13. Ряди

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

415

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продовження таблиці 13.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Ознака Лейбніца

Ряд

(1)n+1un

збігається, якщо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u1 > u2 > u3

> … та lim un

= 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→ ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)n1

= 1

1

+

 

1

−…+ (1)n1

1

+….

 

 

 

2

3

 

Ряди лейбніцевого

n=1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

типу

(1)

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

= 1

+

−…+ (1)n1

 

 

+….

 

 

2n 1

 

 

 

 

 

 

 

2n 1

 

 

n=1

 

 

 

 

3 5

 

 

 

 

 

Це умовно збіжні ряди

 

 

 

 

 

 

 

 

Достатня ознака

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

збіжності

Якщо ряд

 

un

 

 

збіжний, то збіжний і ряд un .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

Ряд

un

Якщо ряд

 

un

 

 

збіжний.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

абсолютно збіжний

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ряд

un

Якщо ряд

un

 

 

збіжний, а ряд

 

un

 

 

розбіжний.

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

умовно збіжний

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

416

 

Глава 7. Довідковий матеріал

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблиця 13.2 – Функціональні ряди. Степеневі ряди

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поняття або

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

співвідношення,

 

 

 

 

 

Формула

 

що визначаються

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Функціональний ряд

 

 

 

 

 

un (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

n -а частинна сума ряду

 

 

 

Sn (x) = n

uk (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1

 

 

 

 

 

Сума ряду

 

 

 

S(x) = lim Sn (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n -й залишок ряду

 

 

 

rn (x) = S(x) Sn (x) =

uk (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k =n+1

 

 

 

 

 

 

 

an xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

Степеневий ряд

 

або

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an (x a)n ,

 

 

 

 

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де a, a0 , a1, a2 , – дійсні числа.

 

 

 

 

 

 

R = lim

 

 

an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an+1

 

Радіус збіжності

 

або

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

степеневого ряду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R = lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

an

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ряд Тейлора

 

 

 

 

 

f

(k )

(a)

 

 

 

 

для функції f (x)

 

 

 

f (x) =

 

 

 

(x a)k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k =0

 

k!

 

 

 

 

 

 

Ряд Маклорена

 

 

 

 

 

 

 

f

(k)

(0)

 

 

для функції f (x)

 

 

 

f (x) =

 

 

 

 

xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k =0

 

 

k!

 

Формули розкладу елементарних функцій в ряд Маклорена

 

 

 

 

 

 

 

ex = 1+ x +

x2

+…+

xn

+…=

xn

, − ∞ < x < + ∞ ,

 

n!

 

2!

 

 

n =0 n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§13. Ряди

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

417

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продовження таблиці 13.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

= x

x3

+

 

x5

 

 

x7

 

+

…+

(1)

n

 

x

2n+1

+…=

 

 

 

 

3!

 

 

 

5!

 

 

 

7!

 

 

 

(2n +

1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

(1)n

x2n+1

 

,

 

− ∞ < x < + ∞ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2n +1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n =0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

= 1

x2

+

 

x4

 

x6

 

+…+ (1)n

 

x2n

+…=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2n)!

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

4!

 

 

 

 

6!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

(1)n

x2n

, − ∞ < x < + ∞ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2n)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n =0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1+ x)m = 1+ mx

+

m(m 1)

x2 +…+

 

m(m 1)(m n +1)

xn +…=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1+

 

m(m 1)(m 2)(m n +1)

xn ,

1 < x <1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

= 1x + x2 x3

+…+ (1)n xn +…=

(1)n xn , 1 < x <1,

1 + x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n =0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

= 1+ x + x2 + x3

+…+ xn +…=

xn , 1 < x <1,

 

 

 

1x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n =0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(1+ x) = x

x2

 

+

x3

 

…+

(1)n1

xn +…=

(1)n1

xn

, 1 < x 1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n =1

n

 

 

 

 

arctg x = x

 

 

x3

 

 

x5

 

 

x7

 

 

 

 

 

 

 

n

x2n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+…+ (1)

 

 

 

 

 

+…=

 

 

 

 

 

3

 

 

5

 

 

 

7

 

 

2n +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

(1)n

 

x2n+1

 

,

 

 

1 x 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n =0

 

 

 

 

 

 

2n +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin x = x +

1

 

 

x3

 

+

 

1 3

 

x5

+…+

1 3

(2n

1) x2n+1

+…=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3

 

 

 

2 4 5

 

2 4 2n 2n +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x +

(2n 1)!!

 

x2n+1

,

 

1 < x < 1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n =1 (2n)!! 2n +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де (2n 1)!!= 1 3 (2n 1),

(2n)!!= 2 4 2n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

418

Глава 7. Довідковий матеріал

 

 

Продовження таблиці 13.2

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рівняння та функції Бесселя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рівняння Бесселя

 

x2 y′′ + xy′ + (x2 − ν2 ) y = 0,

 

ν – const.

 

Загальний розв’язок:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

ν – не ціле число,

а)

y = C1Iν (x) + C2 I−ν (x) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

ν – ціле число

б)

y = C1Iν (x) + C2 Kν (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

k

x

2k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функції Бесселя першого

 

Iν (x) =

 

 

 

 

2

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

Γ(k + ν +1)

 

родупорядку ν і −ν

 

k =0Γ(k +1)

 

 

відповідно

 

 

 

(1)

k x

 

2k−ν

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I−ν (x) =

 

 

 

2

 

 

 

 

.

 

 

 

Γ(k +1)

Γ(k − ν +1)

 

 

 

k =0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функція Бесселя другого

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bk xk

 

 

родупорядку ν

 

Kν (x) = Iν (x)ln x + x−ν

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k =0

 

 

 

 

+ ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гамма-функція

 

Γ( p) = ex x p1dx

( p > 0) ,

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ейлера

 

Γ( p +1) = p Γ( p) ,

 

 

 

 

 

для цілих значень p > 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ( p +1) = p!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§13. Ряди

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

419

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблиця 13.3 – Ряди Фур’є

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поняття або

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

співвідношення,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула

 

 

 

 

 

що визначаються

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

 

+

(an cosnx + bn sin nx) ,

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ряд Фур’є

 

де

a0

=

1

 

π

f (x) dx ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для періодичної функції

f (x)

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з періодом 2π

 

 

 

 

 

 

 

 

1 π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−π

f (x)cosnx dx ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)sin nx dx

,

 

 

 

 

 

 

 

bn

= π

 

n = 1, 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) ряд Фур’є для парної функції

 

 

 

 

 

f (x)

=

a0

 

+

 

 

an cosnx ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де a0

=

2

 

π

f (x) dx ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an =

 

2 π

f (x)cosnx dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) ряд Фур’є для непарної функції

 

 

 

 

 

f (x) =

bn sinnx ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де b

=

2

 

π

f (x)sin nx dx

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

 

 

 

 

 

 

 

 

π

nx

 

 

 

 

 

π nx

 

 

 

 

 

 

 

+

 

an cos

 

 

 

 

 

+ bn sin

 

 

,

 

 

 

2

 

 

 

 

l

 

 

l

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ряд Фур’є

 

де

a0

=

1 l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для періодичної функції

f (x)

 

 

 

 

f (x) dx ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з періодом 2l

 

 

 

 

 

 

 

 

1 l

 

 

 

 

 

π nx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

=

 

f (x) cos

dx ,

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 l

 

 

 

 

π

nx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bn =

 

 

f (x)sin

 

 

 

 

dx ,

n = 1, 2,

 

 

 

l

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

420

 

 

Глава 7. Довідковий матеріал

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продовження таблиці 13.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) ряд Фур’є для парної функції

 

 

f (x) =

a0

+

an cos

π nx

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

n=1

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

2 l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де a0 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) dx ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 l

 

 

 

 

 

π

nx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) ряд Фур’є для непарної функції

 

 

f (x) =

bn sin

π nx

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 l

 

 

 

π

nx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де b

=

 

 

 

 

 

f (x)sin

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ряд Фур’є в комплексній формі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) для періодичної функції

f (x)

 

 

 

 

 

f (x) =

 

 

Cneinx ,

 

 

з періодом 2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n= −∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де Cn

=

 

 

f (x)einx dx ,

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n = 0, ±1, ± 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ∞

 

 

 

 

 

 

π nx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

б) для періодичної функції

f (x)

 

 

 

 

 

f (x) =

 

 

Cne

l

,

 

з періодом 2l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l f (x)e

π

nx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

i dx ,

 

 

 

 

 

 

де Cn

=

 

 

l

 

 

 

 

 

 

2l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n = 0, ±1, ± 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

+ ∞

+ ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Інтеграл Фур’є:

 

f (x) =

 

dα

f (t)cosα (t x) dt

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

− ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

+ ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) якщо

f (x)

– парна,

 

f (x) =

 

f (t)cosα

t dt cosα x dα

 

π

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ∞

+ ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) якщо

f (x)

– непарна,

 

f (x) =

 

 

f (t)sinα

t dt

sinα x dα

 

π

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в папке 1-1 Высшая математика