Добавил:

spbguap9 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Предмет:

Добыча нефти и газа

Файл:

гидромеханика нефти

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.01.2021

Размер:

20.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 468 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ГИДРОСТАТИКА

115

§5. Элементы теории плавания

Рассмотрим какое-либо тело (судно), плавающее в жидкости.

Объем жидкости, вытесненный телом, называется его объемным во- доизмещением. Равнодействующая сил давления, действующих на это те- ло, как было показано в §4, сводится к направленной вертикально вверх силе Архимеда, называемой также поддерживающей силой. Линия дейст- вия поддерживающей силы, как это следует из формулы (6.45), проходит через центр тяжести вытесненного объема жидкости, который называется центром водоизмещения D. Принято считать, что поддерживающая сила приложена в центре водоизмещения.

В общем случае центр тяжести Т плавающего тела не совпадает с цен- тром давления D, однако очевидно, что в статическом положении эти точки находятся на одной вертикальной прямой, которая называется осью плава- ния. Очевидно также, что в статическом положении вес тела G равен по


величине поддерживающей силе R и что G =	− R.

Плоскость свободной поверхности жидкости, пересекающая плаваю- щее тело, называется плоскостью плавания. Периметр сечения плавающего тела плоскостью плавания называется ватерлинией. Площадь, ограничен- ная ватерлинией, называется площадью ватерлинии.

Плавучестью тела называется его способность плавать при заданном весе G. Мерой плавучести является водоизмещение. Запасом плавучести называется допустимая перегрузка, при которой тело еще не будет тонуть. Поскольку при увеличении погружения тела в жидкость его водоизмеще- ние растет, то запас плавучести определяется высотой непроницаемой час- ти надводного борта над плоскостью плавания.

Под статической устойчивостью плавающего тела подразумевается его способность плавать в нормальном положении и в случае статиче- ского нарушения нормального положения из-за крена возвращаться в прежнее положение, как только силы, вызвавшие крен, прекратят свое действие.

Так как при статическом крене вес тела не изменяется, то его водоиз- мещение и, следовательно, поддерживающая сила R не изменяются. Од- нако, центр водоизмещения смещается относительно тела в точку D1, так как меняется форма его погруженной части (рис. 6.11). Центр тяжести са- мого тела при этом сохраняет свое положение на оси плавания*. Поэтому при возникновении крена вес тела и поддерживающая сила образуют пару сил. В зависимости от взаимного положения центра тяжести тела T и центра водоизмещения D1 эта пара сил может быть как восстанавливающей, так и опрокидывающей.

* Случай незакрепленных грузов, или жидких незапрессованных грузов, здесь не рассматривается.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

Рис. 6.11

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

116

ГЛАВА VI

Линия DD1, по которой при кре- не перемещается центр водоизмеще- ния, называется линией центров во- доизмещения.

Точка М пересечения поддер- живающей силы R1 с осью плавания

при малых углах крена α называется начальным метацентром. Под углом крена α понимается угол между осью плавания и вертикалью.

Величина HM – расстояние ме- жду центром тяжести T и началь- ным метацентром М называется на- чальной метацентрической высо- той. Момент, создаваемый парой

сил G и R1, то есть восстанавливающий момент MM , равен

MM = R1HM sinα = RHM sinα ,

(6.46)

так как при статическом крене поддерживающая сила не изменяется и рав- на весу плавающего тела G.

Из рис. 6.11 видно, что если точка М лежит выше точки T , то мо- мент MM стремится вернуть тело в начальное положение. Поэтому, если точка М лежит выше точки T , то начальная метацентрическая высота HM считается положительной. При HM < 0 момент MM будет, очевидно, опрокидывающим. Иначе говоря, для статической остойчивости плавающего тела необходимо, чтобы начальная метацентрическая высота была положительной.

Расстояние HM + h от начального метацентра до начального центра водоизмещения, то есть длина отрезка MD, называется начальным мета- центрическим радиусом.

Рассмотрим плавающее тело, накрененное на малый угол α относи- тельно своего нормального положения. Величина погрузившегося при этом объема Оав равна

V1 = ∫α x dS,	(6.47)
S1

где S1 – часть площади новой ватерлинии, x – расстояние от линии пере- сечения площадей ватерлиний до элемента dS . Так как вес тела G и вели-

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ГИДРОСТАТИКА

117

чина поддерживающей силы R не изменились, то величина всплывшего объема равна

V2 =	− ∫ α x dS =	− V1,	S2		= S − S1 ,	(6.48)
	S2
где S – новая площадь ватерлинии.
Величина поддерживающей силы возрастает на величину
	δ R1	= ρ gV1
и уменьшается на	δ R2 = − ρ gV2 = − δ R1 .
	δ R2 = − ρ gV2 = − δ R1 .
Моменты, создаваемые этими силами, равны
M1 =	αρ g∫ x2 dS,	M2	=	αρ	g∫ x2 dS.	(6.49)
	S1				S2
В соответствии с формулами (6.47) и (6.48)
	∫ x dS +	∫ x dS =		0 ,

S1 S2

то есть статический момент площади новой ватерлинии относительно оси пересечения смежных площадей ватерлиний равен нулю, и эта ось прохо- дит через центр тяжести новой площади ватерлинии (теорема Эйлера).

Из формул (6.49) имеем, что восстанавливающий момент MM равен

MM = M1 + M2 = αρ g∫ x2 dS = αρ gJ ,	(6.50)
S

где J – момент инерции новой площади ватерлинии относительно оси, проходящей через ее центр тяжести ( M1 и M2 , как видно из рис. 6.11, на- правлены в одну сторону).

Восстанавливающую силу R1 можно представить в виде

R1 = R + δ R1 + δ R2 .

Ее момент относительно центра давления D равен сумме моментов сил δ R1, δ R2 , то есть равен М, так как линия действия силы R проходит

через D. С другой стороны, момент силы R равен
MM = (HM + h)Rsin α ≈1(			HM + h) Rα ,	(6.51)
так как R1= R и при малых углах sinα = α .
Приравнивая выражения (6.50) и (6.51), получим
HM =	J	− h,		(6.52)

W

где W =	R	– объемное водоизмещение.

	ρ g

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

118 ГЛАВА VI

Если центр тяжести тела T лежит ниже центра водоизмещения D, то h < 0, а начальная метацентрическая высота HM всегда больше нуля.

Подставив соотношение (6.52) в формулу (6.46), получим выражение

для восстанавливающего момента MM в виде
	J
MM =	R	−	h sinα .	(6.53)

	W

Формула (6.53) называется метацентрической формулой остойчивости. Заметим, что формула (6.53) была получена для малых углов крена

(для высокобортных судов α ≤ 15–20° ). При больших углах крена зависи- мость MM от α становится более сложной, так как метацентр смещается относительно своего первоначального положения.

Под динамической остойчивостью понимается способность плаваю- щего тела совершать колебания под действием сил, создающих кренящие моменты, в пределах заданных углов крена. Чем больше начальная мета- центрическая высота, тем короче период этих колебаний.

Как показывают соответствующие исследования, размах динамичес- кого крена под действием внезапно приложенной силы равен удвоенному статическому крену, возникающему под действием такой же по величине силы.

Вопросы статической остойчивости при больших углах крена и динами- ческой остойчивости рассматриваются подробно в курсах теории корабля.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Глава VII

ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

§1. Уравнения Эйлера в форме Громеко–Ламба

Система уравнений для идеальной жидкости имеет вид

div v

0 ,

(7.1)

ρ F −

(7.2)

ρ dv

u +

ρ Fv

−

div pv +

ρ qe .

(7.3)

Уравнение притока тепла для идеальной жидкости записывается в виде

du =

−

p div v =

p dρ .

(7.4)

ρ 2

Для преобразования уравнения Эйлера (7.2) рассмотрим полную про-

изводную

. В соответствии с (1.19) имеем

∂

(v )v =

∂

(7.5)

∂ t

∂

∂ t

∂ xj

Проектируя вектор (v

на координатную ось 0x1, получим

∂ xj

( v

) v

∂ v1

∂

(7.6)

∂

Выражение (7.6) можно переписать в виде

∂ v1

= v1

∂ v1

+ v2

∂ v2

− v2

∂ v2

+ v3

∂ v3

− v3

∂ v3

+ v2

∂ v1

+ v3

∂ v1

∂ x1

∂ xj

∂ x1

∂ x2

∂ x3

(7.7)

∂

∂ v1

∂

∂ v1

∂

(

1 +

2 +

3 )

−

2 ∂ x1

∂ x2

∂

∂ x3

∂

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

120

ГЛАВА VII

В соответствии с формулой (3.9)

	=		=
2ω		rotv


e	e	e
∂1	∂2	∂3	,
∂ x1	∂ x2	∂ x3	,
∂ x1	∂ x2	∂ x3
v1	v2	v3

и равенство (7.7) можно представить в виде

	∂ v1	=	∂	v	2	− 2v2ω	3 + 2v3ω
vj								2 .

	∂ xj			2
			∂ x1

(7.8)

(7.9)

Благодаря изотропности среды все координатные оси равноправны, поэто- му после циклической перестановки индексов имеем

∂ v2

∂

−

2v3ω 1 +

2v1ω 3 ,

(7.10)

∂ xj

∂ x2

∂ v3

∂

−

2v1ω 2 +

2v2ω 1 ,

(7.11)

∂ xj

∂ x3

где ω i проекция вектора ω

на ось 0xi. Умножив соотношения (7.9), (7.10)

и(7.11), соответственно, на e1 , e2 , e3 и складывая с учетом формулы (7.8)

получим

	∂ v		v2

vj		=		+	2ω	× v .	(7.12)
vj	∂ xj	=	2	+	2ω	× v .	(7.12)

Подставив соотношения (7.5) и (7.12) в уравнение Эйлера (7.2), имеем окончательно

	2			1 p .
∂ v +	v −	2v ×	ω = F −	1 p .	(7.13)


∂ t	2			ρ

Уравнение (7.13) представляет собой уравнение Эйлера в форме Громеко- Ламба*.

§2. Интеграл Бернулли

Уравнения движения сплошной среды в напряжениях (2.42) были по- лучены из второго закона Ньютона. Поэтому уравнения Эйлера, являю- щиеся частным случаем уравнений (2.42), представляют собой математи- ческое выражение второго закона Ньютона для идеальной жидкости. Из

* Ипполит Степанович Громека (1851–1889), русский гидромеханик Горацио Ламб (1849–1934), английский гидромеханик.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

121

теоретической механики известно, что уравнения движения при опреде- ленных условиях имеют первый интеграл, представляющий собой закон сохранения механической энергии. Из сказанного следует, что уравнения Эйлера при соответствующих условиях также должны иметь первый инте- грал. Этот интеграл называется интегралом Бернулли*.

Для вывода интеграла Бернулли, представляющего собой одно из важ- нейших соотношений гидромеханики, введем следующие предположе- ния:

			∂
а) течение установившееся,			∂	v	=		0 ;
а) течение установившееся,			∂ t		=		0 ;			Π .
			∂ t
									=
б) напряжение массовых сил обладает потенциалом, F									=
В этих предположениях уравнение (7.13) принимает вид
		v2			1
	+			+			p = v ×	rot v .		(7.14)

− Π		2				ρ
		2				ρ

При установившемся движении линии тока и линии вихря неподвижны в пространстве, причем линии тока совпадают с траекториями частиц жид-

			=					=
кости.	Вдоль линии тока v		=	vs10 , а вдоль линии вихря			rot v	=		rot v	s20 ,
		– орты касательных к линии тока и к линии вихря. Поэтому,
где s0, s0		– орты касательных к линии тока и к линии вихря. Поэтому,
1	2
умножая уравнение (7.14)			последовательно на				, или,		что то же
умножая уравнение (7.14)			последовательно на		s0	и s0	, или,		что то же
					1	2

самое, проектируя это уравнение на линию тока и линию вихря, получим**

∂

−

∂ p

0 ,

(7.15)

∂ s1

∂

−

∂ p

0 .

(7.16)

∂ s2

При установившемся движении все характеристики движения ( p, ρ , T, v) суть, функции координаты s1, отсчитываемой вдоль неподвижной в про- странстве линии тока. Поэтому p = p (s1 , L1), ρ = ρ ( s1 , L1) , где L1 – метка рассматриваемой линии тока. Исключая из этих соотношений s1, по- лучим p = f1 (ρ , L1) . Аналогично для линии вихря получим p = f2 (ρ , L2 ) , где L2 – метка соответствующей линии вихря.

* Даниил Бернулли (1700–1782), швейцарец по национальности, математик и механик. Действительный, а затем почетный член Петербургской Академии Наук.



**	Смешанное произведение (a	b) c	при c \|\|b	или c	\|\|a равно нулю.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

122					ГЛАВА VII
Наличие соотношений вида		p = f(ρ , L) позволяет ввести функцию
давления
dΡ =	dp	, или Ρ = ∫	dp	,	(7.17)
	ρ		ρ

где интеграл берется вдоль линии тока (вихря). Функция давления Ρ опре- делена с точностью до аддитивной постоянной и в общем случае есть функ- ция L, то есть функция выбранной линии тока (вихря). Из равенства (7.17) следует, что

∂ Ρ	=	1	∂ p	,	Ρ =	1	p .	(7.18)
∂ xi		ρ				ρ
			∂ xi

Подставив соотношение (7.18) в равенства (7.15) и (7.16), получим

∂

−

0 ,

(7.19)

∂ s1

∂

−

0 ,

(7.20)

∂ s2

откуда, после интегрирования вдоль линии тока (вихря) имеем


−	Π	+	Ρ	+		v2	=	C1(L1) ,	(7.21)
					2

−	Π	+	Ρ	+	v2		=	C2 (L2) .	(7.22)
					2

Интеграл Бернулли утверждает, что при установившемся движении и наличии потенциала напряжения массовых сил трехчлен

− Π + Ρ +	v2	(7.23)

сохраняет постоянное значение вдоль линии тока (вихря). Константа C1(C2) на разных линиях тока (вихря) может иметь разные значения.

Соотношения (7.21) и (7.22), справедливые, соответственно, вдоль всякой линии тока и линии вихря, называются интегралом Бернулли.

Рассмотрим какую-либо линию вихря и проведем через ее точки ли- нии тока. Эти линии образуют поверхность тока. Так как вдоль фиксиро- ванной линии вихря C2 (L2 ) = const , то вдоль всех линий тока, ее пересе- кающих, C1 (L1) = C2( L2) = const . Таким образом, на построенной поверх- ности тока выполняется условие C1 = const .

Аналогично, если через какую-либо линию тока провести линии вих- ря, то на образованной таким способом вихревой поверхности будет вы- полняться условие C2 = const . В случае потенциального течения, то есть

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

123

следует, что

0 , и уравнение (7.14)

при v = ϕ , из формулы (7.8)

rot v

принимает вид

p = 0 .

(7.25)

− Π

ϕ равенство (7.25) справедливо во всей

Отметим особо, что при v

области течения. Поэтому

p =

Ρ ,

(7.26)

причем функция давления Ρ будет, очевидно, одной и той же во всей об- ласти течения. Следовательно, как это видно из ее определения (7.18), дав- ление зависит только от плотности. Процесс, при котором давление зави- сит только от плотности, называется баротропным.

Примерами баротропных процессов могут служить течение несжимае- мой жидкости, изотермические процессы. Ниже будут рассмотрены и дру- гие примеры баротропных процессов.

Подставив соотношение (7.26) в уравнение (7.25), получим

		− Π	+ Ρ +		v2		= 0 ,
		− Π	+ Ρ +				= 0 ,

					2
или
				v2
	−	Π	+ Ρ +			=	C,	(7.27)
	−	Π	+ Ρ +	2		=	C,	(7.27)
				2

причем равенство (7.27) справедливо вдоль любой линии, проведенной в жидкости, а константа C имеет одно и то же значение во всей области, занятой жидкостью.

Итак, если течение установившееся и потенциальное, а напряжение массовых сил имеет потенциал, то процесс будет баротропным.

Обратно, из уравнения (7.13) и соотношения (7.26) следует, что если течение установившееся, потенциальное и баротропное, то

Ρ +	v2	=
Ρ +		=	F ,
	2
	2

то есть такое течение может существовать только при наличии потенциала напряжения массовых сил.

§3. Частные виды интеграла Бернулли

Рассмотрим установившееся течение идеальной несжимаемой жидко-


сти в поле сил тяжести. В этом случае ρ = const, F =
сти в поле сил тяжести. В этом случае ρ = const, F =	g, Π = − gz, где z –
вертикальная координата.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

124

ГЛАВА VII

Из формулы (7.17) имеем для функции давления Ρ =

const , и инте-

грал Бернулли (7.21) (или (7.22)) принимает вид

gz +

= const ,

(7.28)

или

z +

H = const .

(7.29)

ρ g

Члены равенства (7.29) имеют размерность длины и называются: z –

геометрическая (нивеллирная)

высота или геометрический напор,

–

ρ g

пьезометрическая высота или пьезометрический напор;

– скоростная

высота или скоростной напор; их сумма H – полный напор.

Из равенства (7.29) следует, что при установившемся движении иде- альной несжимаемой жидкости в поле сил тяжести полный напор сохраня- ет постоянное значение вдоль любой линии тока или вихря.

В живом сечении элементарной трубки тока все характеристики течения, по определению, постоянны. Поэтому можно считать, что равен-ство (7.29) справедливо для элементарной трубки тока. Рассмотрим горизонтальную трубку тока z = const . Тогда из уравнения (7.29) следует, что с ростом скорости давление падает.

При увеличении скорости течения давление может стать достаточно малым и равным давлению насыщенного пара py . При этом жидкость на-

чинает кипеть, и в ней образуются каверны, заполненные парами жидко-

сти. Это явление называется кавитацией.

Из равенства (7.28) имеем

gz0

v02

= gz +

v*2

или

ρ g (z0 − z) + p0

2 =

− py

где v* – скорость, при которой начинается кавитация.

С кавитацией приходится сталкиваться при расчете насосов, всасы- вающих линий трубопроводов, сифонов, гребных винтов и т.п. Возникно- вение кавитации приводит к нарушению нормальной работы перечислен- ных устройств и в крайних случаях к их разрушению.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 468 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Добыча нефти и газа

#
10.01.20214.54 Mб82Гидродинамические исследования скважин Курс лекций.pdf
#
10.01.2021459.11 Кб19ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН НА ПРИОБСКОМ МЕСТОРОЖДЕНИИ.pdf
#
07.02.20211.03 Mб21ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН-1.pdf
#
10.01.2021353.18 Кб33Гидродинамические методы исследования скважин.pdf
#
02.01.202138.63 Mб20Гидродинамическое исследование скважин.pdf
#
02.01.202120.67 Mб24гидромеханика нефти.pdf
#
07.02.20211.34 Mб28Гидроочистка сырья.pdf
#
03.02.20211.46 Mб6гидроочистки сырья.pdf
#
24.01.2021452.97 Кб12Гидроразрыв пласта при КРС.pdf
#
24.01.2021271.57 Кб10Гидроразрыв пласта.pdf
#
29.01.2021304.86 Кб7Глубину превращения при термическом крекинге.pdf