гидромеханика нефти

Добавил:

spbguap9 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Предмет:

Добыча нефти и газа

Файл:

∫ rU(x, r, s) dr,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.01.2021

Размер:

20.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 4622 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

255

Рис. 13.10 Рис. 13.11

Особый

интерес

представляет

случай

T =

При

0 ≤

≤

F(t) =

1 −

F ( t ) = F(

0) =

ρ cw

. При 2 ≤

≤

F(t)

= 1 +

−

4 ,

0 T

F(t1)

= F( 0)

− 1,

p =

4−

. При t > T

−

4 ,

на отрезке

4 ≤

≤ 6 ,

k =

F(t)

5 −

;

на отрезке

0 ≤

ct1≤

и F ( t1) =

5−

, откуда следует, что p(l, t) = 0 .

Легко

видеть, что

при

6 ≤

≤

∞

p(l, t)

0 .

Зависимость

от τ =

при T =

представлена на рис. 13.11. Можно пока-

ρ cw0

зать, что если T =

, то при t ≥ T

p(l, t) =

0 . Заметим, что величи-

на

представляет собой время пробега волны гидравлического удара по

трубе длиной l .

§8. Влияние нестационарности течения на силу трения

Выведенные в §1 настоящей главы уравнения неустановившегося дви- жения по трубам, например (13.24), связывают между собой средние в се- чении скорость w , плотность ρ , давление p и среднее по периметру тру- бы касательное напряжение τ χ . Для замыкания этой системы уравнений

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

256	ГЛАВА XIII

обычно используется гипотеза квазистационарности. Расчеты, выполнен- ные на базе этой гипотезы, как правило, хорошо подтверждаются экспери- ментом. Тем не менее, в ряде случаев, особенно при наличии крутых фрон- тов давления (скорости), а также при течении неньютоновских жидкостей, были обнаружены заметные расхождения между экспериментальными и теоретическими результатами. Это обстоятельство заставляет обратить особое внимание на правомерность гипотезы квазистационарности. Дейст- вительно, τ χ , как известно, есть функция реологических характеристик

жидкости и распределения местных скоростей по сечению потока. В то же время распределение скоростей при нестационарном течении существенно отличается от такового при стационарном. Для случая ламинарного неус- тановившегося течения несжимаемой жидкости этот факт был теоретиче- ски установлен в работах И.С.Громеки, П.Лямбосси и ряда других авторов и экспериментально исследован Е.Ричардсоном и Е. Тайлером. Очевидно, что уравнения для осредненных величин в принципе не позволяют оценить влияние нестационарности на величину силы трения. Поэтому для уточне- ния связи τ χ с осредненными параметрами течения необходимо обратить-

ся к рассмотрению соответствующих дифференциальных уравнений для местных величин, то есть к уравнениям Навье–Стокса.

Оставаясь в рамках тех же допущений, что и при выводе уравне- ний (13.28), то есть пренебрегая сжимаемостью жидкости и упругостью трубы в уравнении движения, запишем уравнение Навье–Стокса в виде

ρ dv = ρ F − p + µ ∆ v .

(13.83)

Рассмотрим осесимметричное течение по круглой цилиндрической тру- бе, считая, что из массовых сил действует только сила тяжести. В этом случае уравнение (13.83) в проекции на ось трубы Oх имеет вид (13.29), или

∂ u

= −

∂

(ρ gz1 +

p) +

µ ∂

∂ u

u = vx .

(13.84)

∂ t

∂ x

r ∂ r

∂ r

Полагая

p(x, t) =

p0( x) + p*( x, t) ,

u( x, r,)t = u(0 x,)r + u( *

x, r,) t , где

u , p – стационарные значения скорости и давления, а u*, p*

– их возму-

щения, перепишем уравнение (13.84) в виде

∂ u*

∂ p*

µ ∂

∂ u*

= −

(13.85)

∂ t

∂ x

r ∂

∂ r

Начальные условия для возмущений имеют, очевидно, вид

t ≤

u* (x, r,0) =

p*( x, t) =

0 .

(13.86)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

257

В дальнейшем индекс * будем опускать и под p, u понимать возму- щения давления и скорости.

Применяя к уравнению (13.85) и начальным условиям (13.86) преоб- разование Лапласа по времени, получим

∂ 2U(x, r, s)	+	1	∂ U(x, r, s)
∂ r2		r	∂ r

где

∞

U(x, r, s) = ∫ u( x, r, t) e− st dt,

Вводя функцию

−	s	U(x, r, s) +	1	dΡ (x, s)		=	0 , (13.87)
−		U(x, r, s) +				=	0 , (13.87)
			ρ s	dx
	ν		ρ s	dx
		∞					µ
Ρ( x, s) = ∫ p( x,)t e−				st dt,	ν =		µ	. (13.88)
Ρ( x, s) = ∫ p( x,)t e−				st dt,	ν =		ρ	. (13.88)
	0

Φ (x, r, s)

= U( x, r, s)

dΡ (x, s)

(13.89)

ρ s

из уравнения (13.87) после умножения на r2

и замены переменной

z =

ν r ,

(13.90)

получим

2 ∂

2Φ

+ z

∂ Φ

−

0 .

(13.91)

∂

∂ z

Уравнение (13.91) представляет собой однородное уравнение Бесселя

нулевого порядка. Его решение, ограниченное при r = z =

0 , имеет вид

Φ (x, z, s) =

C( x, s)

I0( z)

(13.92)

где I0 (z) – функция Бесселя от мнимого аргумента нулевого порядка. Подставив решение (13.92) в соотношение (13.89), с учетом равенст-

ва (13.90) получаем					1 dΡ (x, s)
U(x, r, s) =	C( x, s) I0	s		−
			r			.	(13.93)

		ν			ρ s dx

Функция U(x, r, s) должна удовлетворять условию прилипания жид- кости на стенке трубы, то есть при r = R

U(x, R, s) = 0 ,

откуда в соответствии с равенством (13.93) получаем

1 dΡ (x, s)	=	C(x, s) I0	s
			ν	R ,	(13.94)
ρ s dx

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

258

ГЛАВА XIII

Исключая из формул (13.93) и (13.94) C(x, s) , получаем

U(x, r, s)

−

dΡ (x, s)

(13.95)

ρ s

Умножая равенство

(13.95)

на

2π rdr

интегрируя

полученное

π R2

выражение от 0 до R, то есть осредняя решение по радиусу, получаем*

dΡ (x, s)

= − ρ sV(x, s)

где I2 – функция Бесселя от мнимого аргумента второго порядка,

(13.96)

(13.97)

Из формул (13.30), (13.88) и (13.97) следует, что

			R	∞
V ( x, s) =	2	∫ r ∫ u ( x,r,t)e− stdtdr=
V ( x, s) =	2	∫ r ∫ u ( x,r,t)e− stdtdr=
	R		0	0
				∞		R	∞
				= ∫	2	∫ ru ( x,r,t) e− stdrdt=	∫ w( x,t) e− stdt,
				= ∫	2	∫ ru ( x,r,t) e− stdrdt=	∫ w( x,t) e− stdt,
то есть V(x, s)				0	R 0		0
то есть V(x, s)			представляет собой изображение по Лапласу средней ско-
рости w(x, t) .

Применяя преобразование Лапласа к первому из уравнений (13.41), то есть к уравнению неразрывности, с учетом начальных условий (13.86) по-

лучаем
	dV(x, s)	= −	s	Ρ (x, s) .	(13.98)
			ρ c2
	dx

Уравнения (13.96) и (13.98) представляют собой записанные в изображе- ниях по Лапласу уравнения ламинарного неустановившегося движения вязкой слабосжимаемой жидкости по круглой цилиндрической трубе для средних в сечении величин скорости и давления при начальных условиях (13.86).

Перейдем к определению связи между средней скоростью w и каса- тельным напряжением τ χ . Осреднив уравнение (13.85) по сечению трубы,

* При выводе формулы (13.96) были использованы известные соотношения для функций Бесселя

∫ zI 0 ( z) dz = I1( z) , I 2( z)	=	I(0 )z −	2I	1 ( z)	.
				z

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

259

получим

2τ χ

∂ w

−

∂

2µ ∂ u

= −

∂ p

(13.99)

∂ t

∂

x R ∂ r

r= R

∂ x R

Применив к уравнению (13.99) преобразование Лапласа, с учетом на-

чальных условий (13.86) имеем

dΡ (x, s)

+ ρ sV(x, s) ,

(13.100)

где

∞

T = ∫τ χ (x, t) e− stdt .

		0
Подставив в соотношение				(13.100)
ния (13.96), получаем
	=	ρ R		(			−
T		ρ R	SV		x s
T			SV		x s
		2			, )	1

значение dΡ (x, s) из уравне- dx

I0		(2	s	)
I0		(2	a	)

I		(2	s )		,	(13.101)
	2		a

то есть получаем связь между изображениями касательного напряжения T и средней скорости V(x, s) . Так как

∞

sV(x s) = ∫ ∂ w e− stdt,

, ∂ t

то в соответствии с теоремой о свертке из равенства (13.101) имеем

τ χ	=	ρ R	t	∂ w(x,θ)	κ (t − θ) dθ,	(13.102)
				∂ θ
	2		∫
			0

где

κ (t) =		γ + i∞
κ (t) =	2π i ∫
	1
		γ − i∞

или, так как I0 (z) = J0( iz) , I2( z)

κ (t) =		γ + i∞
κ (t) =	2π i ∫
	1
		γ − i∞

	I0
	I0	2
1	−
1	−
	I2
	I2	2

=	J(2 iz) ,
	J0
	J0	2i
1 −
1 −
	J2
	J2	2i

a est ds , s

a est ds . s

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

260 ГЛАВА XIII

В результате получено, что

	∞	az2
		az2
		k
	κ (t) = − 2a − a∑exp −	k	t ,		(13.103)
	κ (t) = − 2a − a∑exp −	4	t ,		(13.103)
	k= 1	4
	k= 1
где zk	(k ≠ 0) – корни уравнения J2 (z) = J2	2i	s	=	0 . Подставив соот-
			a

ношения (13.102) и (13.103) в уравнение (13.99) и используя уравнение не- разрывности из (13.41), или (13.42), которое, очевидно, остается без изме- нений, имеем

−

∂ p

ρ c2

∂ w

∂ t

∂ x

(13.104)

∂ p

∂ w

t ∂ w(x,θ)

−

2aw

+ ρ a

W(t − θ) dθ,

∂ x

∂ t

∫

∂ θ

где

∞

az2

W(t) = ∑exp −

t , t =

at .

График функции W(t)

k= 1

представлен на рис. 13.12. Коэффициент 2a , как

это видно из формулы (13.33), при ламинарном режиме течения по круглой трубе равен

2a =

8ν

= const ,

8δ

Re 8δ

что совпадает с формулой (13.97). Таким образом, при ламинарном режиме течения нет необходимости в линеаризации уравнений (13.41), то есть име-

Рис. 13.12

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

261

ют место уравнения (13.42). Отказ от гипотезы квазистационарности при- водит к появлению в уравнении движения интегрального члена

aρ ∫t ∂ w(x,θ) W(t − θ) dθ,

∂ θ

учитывающего с определенным весом всю предысторию нестационарного процесса. Анализ решений уравнений (13.104) показал, что при периодиче- ских процессах коэффициент затухания высокочастотных гармоник пропор- ционален корню квадратному из частоты. Это приводит к сглаживанию импульсов давления (скорости) и «размазыванию» крутых фронтов. Дан- ные факты имеют экспериментальное подтверждение. В то же время из решения уравнений (13.42) следует, что коэффициент затухания высоко- частотных гармоник практически не зависит от частоты. Таким образом, использование гипотезы квазистационарности не позволяет учесть указан- ные выше явления. Позади фронта гидравлического удара кривые повы- шения давления, рассчитанные по уравнениям (13.42) и (13.104), посте- пенно сближаются. Поэтому расчет давления позади фронта, в том числе и расчет максимального повышения давления, может быть выполнен с достаточно высокой точностью по формулам, полученным в предполо- жении справедливости гипотезы квазистационарности.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Глава XIV

ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

Рассмотрим обтекание потоком жидкости неподвижной стенки С. В слу- чае идеальной жидкости оно описывается уравнениями Эйлера

ρ	dvi	=		ρ Fi −	∂ p	(14.1)
					∂ xi
	dt
и граничным условием
				= 0 .		(14.2)
	vn		C

В случае несжимаемой вязкой жидкости необходимо использовать урав- нения Навье–Стокса

	dvi				∂ p
ρ			= ρ	Fi −	∂ xi+		µ∆	vi	(14.3)
	dt
и граничные условия
		C =		0 ,			=	0 .	(14.4)
	vτ				vn	C

Очевидно, что при → 0 уравнения Навье–Стокса (14.3) в пределе совпадают с уравнениями Эйлера (14.1). Однако решение уравнений Навье–Стокса не стремится при этом к решению уравнений Эйлера, так как граничные условия (14.4), при которых оно было получено, не за- висят от величины вязкости и не могут стремиться к граничному усло-

вию (14.2).

Эти соображения, а также некоторые экспериментальные данные при- вели Л.Прандтля к мысли, что при малой вязкости, или, что то же самое, при больших числах Рейнольдса, ее действие проявляется лишь в доста- точно тонком слое у стенки, получившем название пограничного слоя. Вне пограничного слоя вязкость сказывается весьма незначительно, и жидкость можно рассматривать как идеальную.

Уравнения Навье–Стокса для течения в пограничном слое, учитывая малую толщину последнего, могут быть существенно упрощены. Теории пограничного слоя посвящена весьма обширная литература.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

263

§1. Уравнения пограничного слоя

Для вывода уравнений погранично- го слоя рассмотрим, пренебрегая массо- выми силами, плоскопараллельное обтекание вязкой несжимаемой жидкостью тонкого цилиндрического тела (рис. 14.1). При этом будем считать, что обтекаемая стенка плоская, и напра- вим ось Oх вдоль стенки, а ось Oу – по нормали к ней.

Из формул (4.42) следует, что уравнения случае имеют вид

∂ vx

= −

∂ p

∂ t

∂ x

∂ y

∂ x

∂ vy

= −

∂ p

∂ t

∂ x

∂ y

∂

∂ vy

= 0.

∂ x

∂ y

Рис. 14.1

течения в рассматриваемом

∂

∂ x

∂ y

∂

2vy

∂

2vy

(14.5)

∂ x

∂ y

Для приведения уравнений (14.5) к безразмерному виду положим

x = Lξ , y = Lη , vx	= Vu, vy	= Vv, p = ρ V2		, t =	L		,
						t
			p

				V

где L – характерная длина обтекаемого тела, V – характерная скорость по- тока. Подставив эти соотношения в уравнения (14.5) и опуская для сокраще- ния записи черточки над безразмерными временем и давлением, получим

∂ u

∂

p 1∂

2u 1∂

u∂

v∂

−

∂

ξ+

+ξ 2

∂ t

Re ∂

Re∂

η 2

(14.6)

1 1

∂ v

∂

1∂

u∂

v∂

−

∂

η+

+ξ 2

∂ t

Re ∂

Re∂

η 2

(14.7)

1 δ

∂ u

∂ v

∂ η

(14.8)

∂ ξ

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

264

ГЛАВА XIV

где

δ= δ , Re = ρ VL ,

L µ

δ– толщина пограничного слоя, а под членами этих уравнений приведены их оценки внутри пограничного слоя по величине δ .

Перейдем к рассмотрению справедливости этих оценок. Примем, что

на длине L скорость vx изменяется на величину порядка V . Тогда u ~ 1 и

∂ vx	=	V	∂ u	~	V	,	∂ u
							∂ ξ
∂ x L ∂ ξ					L

∂ 2u

Аналогичным образом можно показать, что ∂ ξ 2

Из уравнения неразрывности (14.8) имеем

∂ v	=	−	∂ u	~ 1.
∂ η			∂ ξ

Далее, очевидно,

v = − ∫ ∂∂ uξ dη ~ δ ,

~1.

0 <

η <

. Из этого неравенства также

так как внутри пограничного слоя

следует, что

∂ 2v

∂ u

∂ 2u

∂ η

∂ η 2

Так как v ~ δ

, то

∂ v

∂ 2v

δ ,

~ δ .

∂

∂ ξ 2

Примем также, что

∂ u

~ 1. Это означает,

что внезапные ускорения

∂ t

типа гидравлического удара исключаются из рассмотрения. Тогда

∂ v ~ δ .

∂ t

Таким образом, подтверждена справедливость выписанных выше оце- нок отдельных членов в уравнениях (14.6), (14.7), (14.8).

Из этих оценок следует, что при учете влияния вязкости определяю-

1 ∂ 2u

щим в уравнении (14.6) является член Re ∂ η 2 . Поэтому отношение сил

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 4622 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Добыча нефти и газа

#
10.01.20214.54 Mб82Гидродинамические исследования скважин Курс лекций.pdf
#
10.01.2021459.11 Кб19ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН НА ПРИОБСКОМ МЕСТОРОЖДЕНИИ.pdf
#
07.02.20211.03 Mб21ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН-1.pdf
#
10.01.2021353.18 Кб33Гидродинамические методы исследования скважин.pdf
#
02.01.202138.63 Mб20Гидродинамическое исследование скважин.pdf
#
02.01.202120.67 Mб24гидромеханика нефти.pdf
#
07.02.20211.34 Mб28Гидроочистка сырья.pdf
#
03.02.20211.46 Mб6гидроочистки сырья.pdf
#
24.01.2021452.97 Кб12Гидроразрыв пласта при КРС.pdf
#
24.01.2021271.57 Кб11Гидроразрыв пласта.pdf
#
29.01.2021304.86 Кб7Глубину превращения при термическом крекинге.pdf