гидромеханика нефти

Добавил:

spbguap9 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Предмет:

Добыча нефти и газа

Файл:

∫ ρ qedV .(15.16)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.01.2021

Размер:

20.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 4624 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

275

Подставив соотношения (15.4) – (15.7) в уравнения (15.2) и (15.3), по- лучаем приближенно (из-за несовпадения средних и точных величин)

∫ [(ρ 1 − ρ 0) c −	ρ 1v1] dS = 0 ,	(15.8)
S1
∫ (ρ 1v1c − ρ 1v12) dS = =	( p1 − p0) S − τ ср χ c dt .	(15.9)
S1

Учитывая теперь, что рассматриваемое течение одномерное, то есть все параметры распределены по сечению трубы равномерно, и считая газ

идеальным (τ = τ ср = 0 ), переходим к пределу при dt →

0 и из равенств

(15.8) и (15.9) получаем

(ρ 1 − ρ 0) c =

ρ 1v1,

ρ 1v1c − ρ 1v12 = p1 − p0 .

(15.10)

Исключив из соотношений (15.10) скорость v1 , имеем

ρ 1

p1 −

(15.11)

ρ 0

ρ 1 −

ρ 0

Скоростью звука а называется скорость бесконечно малых возмуще-

ний, то есть

a =

lim c ,

→

ρ 1

→

ρ 0

поэтому в соответствии с формулой (15.11) получаем

a2 =

lim

ρ 1

p1 −

(15.12)

→

ρ 0 ρ 1 − ρ 0

dρ

ρ 1

→

ρ 0

Заметим, что при выводе формулы (15.12) нигде не использовалось то обстоятельство, что рассматриваемая среда является газом. Следовательно, эта формула справедлива для любой сжимаемой среды. Так как давление p и плотность газа ρ связаны между собой уравнением состояния (15.1), то для вычисления скорости звука a необходимо задать вид термодинами- ческого процесса, связанного с распространением звука.

Предположим, что этот процесс изотермический, то есть что T = const . Обозначив через aT скорость звука, вычисленную в этом предположении, из уравнений (15.1) и (15.12) получаем

	= dp	=
aT	= dp	=	RT .		(15.13)
	dρ
Для воздуха газовая постоянная		R =	287	м	2	, и для температу-

с2 град

ры T = 293° K имеем aT = 290 м/с, что заметно отличается от результа- тов эксперимента, и, следовательно, формула (15.13) непригодна для опре-

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

276

ГЛАВА XV

деления скорости звука. Предположим поэтому, что процесс распростра- нения звука является изэнтропическим, то есть в этом процессе соблюда- ется уравнение (7.38), или

p	=	ρ	k
p		ρ		(15.14)
		ρ 0	.	(15.14)
p0		ρ 0

Тогда с учетом уравнения состояния (15.1) получаем

as2 =

k− 1

kp0

= k

= kRT ,

(15.15)

dρ

ρ 0

где as – скорость звука, подсчитанная в предположении изэнтропичности

процесса. Для воздуха показатель адиабаты k = 1,4 , и при R =	287	м	2	,

с2 град

T = 293° K по формуле (15.15) получаем a = 343м/с, что очень хорошо согласуется с результатами измерений. Поэтому в дальнейшем для опреде- ления скорости звука в газе будем пользоваться формулой (15.15).

§2. Закон сохранения энергии

	Для вывода закона сохранения энергии при установившемся одномерном
течении идеального, то есть невязкого,					газа воспользуемся уравнением (2.70)
и соотношением (4.3),			в соответствии с которым для			идеального газа
					0 , и уравнение (2.70)
pn =	pnnn = −	pn . В этом случае pn		τ 1 =		принимает вид

∫		p		v2		∫
	− Π + u +		+		ρ v dS −		− Π
	− Π + u +	ρ	+	2	ρ v dS −		− Π
		ρ		2
S						S
2						1

Так как течение, по условию, могут быть вынесены из-под знака шемся течении

∫ ρ v dS =

одномерное, то выражения в скобках интеграла. Кроме того, при установив-

∫ ρ v dS = Qm .

(15.17)

S2 S1

С учетом сказанного и формулы (15.17) уравнение (15.16) может быть переписано в виде

p v2

− Π + u +

−

− Π + u +

Qm ∫

ρ qedV . (15.18)

Уравнение (15.18) выражает собой закон сохранения энергии при од- номерном установившемся движении идеального газа. В дальнейшем при изучении движения газа будем пренебрегать влиянием массовых сил, в ча- стности весом, то есть считать, что Π = 0 .

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

277

При адиабатическом процессе qe =

0 , и из уравнения (15.18) имеем

u +

= const .

(15.19)

Введем тепловую функцию – энтальпию i , по определению, равную

i =

u +

(15.20)

Подставив это соотношение в уравнение (15.19), получим

i +

= const .

(15.21)

Для газа, подчиняющегося уравнению состояния (15.1), удельная внут-

ренняя энергия u пропорциональна

его

абсолютной

температуре T

и равна

u =

CVT .

(15.22)

Кроме того, для такого газа имеет место формула Майера (7.33)

Cp −

CV = R .

(15.23)

Из формул (15.22) и (15.23) следует, что

i =

CVT +

RT =

CpT ,

(15.24)

и закон сохранения энергии (15.21) может быть представлен в виде

CpT +

const .

(15.25)

Из уравнения Менделеева–Клапейрона (15.1) и формулы Майера (15.23)

имеем

CpT =

k =

(15.26)

Cp − CV ρ

k − 1

Подставив соотношение (15.26) в уравнение (15.25), получим

= const .

(15.27)

k −

1 ρ

Заметим, что с точностью до члена gz , которым мы пренебрегаем, уравнение (15.27) совпадает с интегралом Бернулли (7.45). Из этого следу- ет, что интеграл Бернулли представляет собой частный случай закона со- хранения энергии.

Введем понятие параметров торможения. Под параметрами торможе- ния в данном поперечном сечении одномерного потока (трубки тока) под- разумеваются параметры, которыми будет характеризоваться газ при при- ведении его мысленно к состоянию покоя изэнтропическим путем, то есть с сохранением той энтропии, которую имеет движущийся газ в рассматри- ваемом поперечном сечении. Температура, давление, энтальпия торможе- ния, плотность заторможенного газа обозначаются, соответственно, че-

рез T0, p0, i0, ρ 0 .

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

278

ГЛАВА XV

Уравнения (15.21), (15.25), (15.27), то есть различные виды закона со- хранения энергии, можно, очевидно, используя параметры торможения, записать в виде

i +

i0 ,

(15.28)

CpT +

CpT0 ,

(15.29)

(15.30)

k −

1 ρ

k − 1

ρ 0

Из уравнений (15.28), (15.29), (15.30) следует, что при адиабатическом течении идеального газа с ростом скорости течения его температура, эн-

тальпия, отношение ρp убывают. Из уравнений (7.46) и (7.47) видно, что при этом убывают и p и ρ ( k > 1). Отметим, что если энтропия вдоль по- тока меняется, то параметры торможения в различных сечениях, вообще говоря, будут различными. Отметим также, что адиабатическое течение невязкого газа является изэнтропическим.

§3. Число Маха. Коэффициент скорости

Из закона сохранения энергии (15.29) видно, что при адиабатическом течении изменение скорости потока от сечения к сечению приводит к со- ответствующему изменению температуры. С другой стороны, как это сле- дует из формулы (15.15), изменение температуры приводит к изменению скорости звука. Таким образом, скорость звука в каком-либо месте по- тока зависит от скорости течения газа в том же месте. При этом увели- чение местной скорости течения v приводит к уменьшению местной скорости звука а.

Отношение скорости v течения газа в данном месте потока к скорости

звука в том же месте, то есть величина M, равная
		M =	v	,	(15.31)
		M =		,	(15.31)
			a
называется числом Маха*.
При v <	a, или M <	1, режим называется дозвуковым;
при v >	a , или M >	1, режим называется сверхзвуковым;
при v =	a , или M =	1, режим называется критическим.

Параметры течения газа при критическом режиме называются крити- ческими и обозначаются vкр, pкр, ρ кр,Tкр, aкр .

* Эрнст Мах (1838–1916), австрийский физик и философ.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

279

Отношение местной скорости течения газа						v к критической скоро-
сти vкр = aкр , то есть величина λ	, равная
λ	=	v	=	v	,	(15.32)

		aкр		vкр

называется коэффициентом скорости.

Из закона сохранения энергии (15.29) следует, что максимально воз-

можная скорость адиабатического потока vmax достигается при T =

0 и

vmax =

2cpT0 .

(15.33)

Скорость звука, как это видно из формулы (15.15), при T = 0

также

равна нулю. Таким образом, число Маха может изменяться в пределах

0 ≤

M < ∞ .

Подставив в уравнение закона сохранения энергии (15.30) скорость

звука по формуле (15.31), получаем

(15.34)

k − 1

где a0 = k p0 =

– скорость звука при температуре торможения

kRT0

ρ 0

T = T0 .

Полагая в уравнении (15.34) a = v = aкр , имеем

aкр =

vкр =

RT0 =

2k p0 ,

(15.35)

k +

k + 1 ρ 0

откуда видно, что в адиабатическом потоке с температурой торможения T0 критическая скорость есть величина постоянная для всего потока. Полагая в уравнении (15.34) a = 0 , получим еще одно выражение для vmax :

vmax =	2	a0 .	(15.36)
	k −	1

Из определения ao и формулы Майера (15.23) следует, что выраже-

ния (15.33) и (15.36) идентичны. Из формул (15.32), (15.35) и (15.36) видно,

что коэффициент скорости λ может изменяться в пределах

0 ≤ λ < k +	1 .
k −	1

Для того, чтобы установить зависимость параметров потока от числа Маха и параметров торможения, воспользуемся законом сохранения энер- гии в виде (15.34). Из этого уравнения имеем

1 +	k − 1	v2	=	a02	,
	2 a2			a2

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

280					ГЛАВА XV
или, с учетом формул (15.15) и (15.31),
	T0	= 1 +	k − 1	M2 .	(15.37)
			2
	T

Из уравнения состояния Менделеева–Клапейрона (15.1) и адиабаты Пуассона (15.14) следует, что

ρ 0T0

ρ 0

k− 1

ρ T

Подставив в формулу (15.37) равенства (15.38), получаем

ρ 0					k − 1				1
ρ 0	=			+	k − 1		2		k− 1
			1			M			,		(15.39)
ρ			1		2	M			,		(15.39)
ρ					2
					k − 1					k

p0		=		+			2			k− 1
			1			M		.			(15.40)
			1		2	M		.			(15.40)
p					2

Формулы (15.37), (15.39) и (15.40) представляют собой искомые зависимо- сти. Заметим, что если величины p, ρ ,T и p0, ρ 0,T0 берутся в одном и том же сечении, то, как это следует из определения параметров тормо- жения, формулы (15.37), (15.39) и (15.40) справедливы и при неадиабати-

ческих процессах.

Полагая в формулах (15.37), (15.39), (15.40) M =

1, имеем

ρ кр

Tкр

k− 1

pкр

k− 1

(15.41)

ρ 0

k + 1

k +

k + 1

Для метана k = 1,3, для воздуха k = 1,4 . Поэтому для метана

Tкр

0,870,

ρ кр

0,628,

pкр

= 0,546 .

ρ 0

Для воздуха

Tкр

0,833,

ρ кр

0,634,

pкр

= 0,528 .

ρ 0

Из приведенного примера видно, что критическое течение возникает

при относительно небольших перепадах давления.

Из формул (15.15), (15.31), (15.32), (15.35) и (15.37) следует, что

a02

2 T k + 1

k +

k − 1

− 1

1 +

(15.42)

кр

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

281

откуда

2λ 2

k + 1 − (k − 1)λ 2

Подставив это выражение в формулы (15.37), (15.39) и (15.40), полу-

чаем

k −

τ (λ )

1 −

λ 2 ,

(15.43)

k +

ε (λ )

k −

−

k− 1

(15.44)

ρ 0

k +

k −

π (λ )

k− 1

1 −

(15.45)

k +

то есть зависимости, связывающие между собой параметры потока, парамет- ры торможения и коэффициент скорости.

§4. Связь между площадью поперечного сечения трубки тока и скоростью течения

При установившемся одномерном течении газа уравнение неразрыв-

ности (2.30), или (15.17), имеет вид

Qm =

ρ vS=

const .

(15.46)

Дифференцируя это выражение, получаем

vS dρ + ρ S dv + ρ v dS = 0 ,

или

−

dρ

(15.47)

Дифференцируя закон сохранения энергии (15.30), имеем

ρ dp −

p dρ

v dv = 0 ,

(15.48)

k −

ρ 2

а так как в соответствии с формулами (15.12) и (15.15)

dp = a2dρ ,

p =

ρ a2 ,

то равенство (15.48) можно представить в виде

dρ

+ v dv =

0 .

(15.49)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

282

ГЛАВА XV

Исключив из выражений (15.47) и (15.49) величину dρ

/ρ

, получаем

v dv

(1 −

) .

−

= −

(15.50)

1 −

= −

Из формулы (15.50) видно, что при M = 1

dS = 0 . Следовательно,

экстремум функции

S =

S(x) ,

где координата х отсчитывается вдоль оси

трубки тока, соответствует критическому режиму. При M <

1 −

M2 > 0 ,

и знаки dv и dS противоположны. Это означает, что в дозвуковом режиме скорость потока возрастает при уменьшении площади поперечного сечения

трубки. В сверхзвуковом потоке M > 1, 1 − M2 < 0 , и знаки dv и dS сов- падают. Следовательно, в этом случае скорость потока возрастает с ростом площади сечения. Таким образом, экстремум S является минимумом*, и крити- ческий режим (M = 1) может возникнуть только в самом узком, так называе- мом критическом сечении трубки тока. Из уравнения (15.46) следует, что при S = Smin = Sкр массовая скорость ρ v достигает максимума. Примерный

график зависимости SSmin от M представлен на рис. 15.2.

Рис. 15.2

Рис. 15.3

Из формулы (15.39) видно, что при сверхзвуковом течении рост числа Маха сопровождается резким снижением плотности газа. Поэтому для того, чтобы выполнялся закон сохранения массы (15.46), необходимо увеличи- вать площадь сечения трубки тока. Отметим особо, что при дозвуковом те- чении зависимость скорости от площади сечения имеет качественно такой же вид, что и при течении несжимаемой жидкости. В сверхзвуковом пото- ке эта зависимость имеет принципиально иной характер.

* Условие dS = 0 не может соответствовать				максимуму S , так как дозвуковой поток при подходе
к Smax будет замедляться, то есть число Маха,				которое меньше единицы, будет далее уменьшаться. Ес-
ли M > 1 ,	то при подходе к	Smax	поток	будет ускоряться. Следовательно, критическое тече-
ние (M = 1)	может быть только	при S =	Smin .

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

283

§5. Истечение газа через сходящийся насадок

Рассмотрим установившееся адиабатическое истечение газа из резер- вуара через сходящийся насадок (рис. 15.3). Как уже указывалось, адиаба- тическое течение невязкого газа является изэнтропическим. Поэтому па- раметры покоящегося в резервуаре газа – p0,T0, ρ 0 – можно рассматривать

как параметры торможения. Из закона сохранения энергии (15.30) что скорость газа в любом сечении насадка равна

v =	2k	p0		−	p ρ 0
						,
	k −	1 ρ 0	1		p0 ρ	,
	k −	1 ρ 0			p0 ρ

или, с учетом адиабаты Пуассона (15.14),

k−

v =

1 −

k − 1

ρ 0

имеем,

(15.51)

Массовый расход в рассматриваемом сечении в соответствии с фор-

мулами (15.1), (15.14) и (15.51) равен

Qm = ρ vS =

=Sp0

RT0

ρ 0vS =

−

k − 1

0vS =

k+ 1

Обозначив площадь выходного сечения насадка через вне резервуара через p1 , из формулы (15.52) имеем

(15.52)

S1 , а давление

S p

Qm =

−

(15.53)

k − 1

Для исследования формулы (15.53) положим

k+ 1

p k

= x,

−

= x

− x

= y .

Очевидно, что 0

≤

p0 , или 0

≤

x ≤

1 . Внутри этого промежут-

ка y > 0 , так как (k +

2 k , а на его концах y = 0 . Следовательно,

функция y(x) имеет

на

отрезке

[0,1] максимум.

Приравнивая первую

производную нулю, имеем

− 1

k +

−

0 ,

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

284 ГЛАВА XV

откуда массовый расход Qm достигает максимума при

x =

k− 1

(15.54)

k +

k+ 1

max

S p

k− 1

(15.55)

RT0

k +

Сравнивая формулу (15.54) с соответствующим равенством (15.41),

видим, что

pкр

k− 1

k + 1

Таким образом, при снижении наружного давления

p1 массовый рас-

ход Q

возрастает от Q = 0 при p

до Qmax

при p =

. При p = p

кр

скорость газа в выходном сечении

насадка равна критической, то

есть v =

vкр = aкр . Такое истечение называется критическим. Дальнейшее

снижение давления p1 должно в соответствии с формулой (15.53) приво-

дить к уменьшению массового расхода, что противоречит физическому смыслу процесса. Опыт показывает, что при 0 ≤ p1 ≤ pкр массовый расход

остается постоянным, давление и скорость в выходном сечении остаются равными p = pкр , v = vкр , а струя по выходе из насадка расширяется. При

этом между давлением в выходном сечении pкр и давлением в окружаю-

щем пространстве p1 образуется разрыв.

Итак, массовый расход через

сходящийся		насадок			определяется
при pкр ≤	p1	≤	p0	по		формуле
(15.53),	а при		0 ≤	p1	≤	pкр – по

формуле (15.55). График зависимости

Qm	от	p1	представлен на рис. 15.4.
		p
	0

Пунктирная линия на этом графике отвечает части решения, даваемого формулой (15.53), не имеющей фи-

Рис. 15.4

зического смысла.

Постоянство расхода в области 0 ≤ p1 ≤ pкр можно объяснить сле-

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 4624 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Добыча нефти и газа

#
10.01.20214.54 Mб82Гидродинамические исследования скважин Курс лекций.pdf
#
10.01.2021459.11 Кб19ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН НА ПРИОБСКОМ МЕСТОРОЖДЕНИИ.pdf
#
07.02.20211.03 Mб21ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН-1.pdf
#
10.01.2021353.18 Кб33Гидродинамические методы исследования скважин.pdf
#
02.01.202138.63 Mб20Гидродинамическое исследование скважин.pdf
#
02.01.202120.67 Mб24гидромеханика нефти.pdf
#
07.02.20211.34 Mб28Гидроочистка сырья.pdf
#
03.02.20211.46 Mб6гидроочистки сырья.pdf
#
24.01.2021452.97 Кб12Гидроразрыв пласта при КРС.pdf
#
24.01.2021271.57 Кб10Гидроразрыв пласта.pdf
#
29.01.2021304.86 Кб7Глубину превращения при термическом крекинге.pdf