гидромеханика нефти
.pdf
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОГО РЕЖИМА |
495 |
Разделение фильтрационного потока на две области – возмущенную и невозмущенную – вызывает необходимость рассматривать процесс пере- распределения пластового давления протекающим в две фазы. В течение первой фазы граница возмущенной области непрерывно расширяется. И в тот момент, когда она достигает естественной границы пласта, начинается вторая фаза. При теоретическом исследовании процесса в условиях беско- нечного пласта приходится, естественно, иметь дело только с первой фа- зой, продолжительность которой не ограничивается.
Рассмотрим теперь расчет неустановившихся одномерных потоков упругой жидкости при помощи метода ПССС.
Прямолинейно-параллельный неустановившийся фильтрационный поток упругой жидкости.
Случай 1. Приток к галерее, на которой поддерживается постоян-
ный дебит Q. Пусть в момент вре- мени t = 0 в горизонтальном пласте постоянной толщины h и ширины В пущена в эксплуатацию прямоли- нейная галерея, на которой поддер-
живается постоянный дебит Q. До пуска галереи давление во всем пла- сте было одинаковым и равным рк.
К моменту времени t после пус- ка галереи граница возмущенной об- ласти распространится на длину l(t) (рис 24.1). Распределение давления
в этой области считается установившимся (см. гл. XX, §2), т.е. описывает- ся линейной зависимостью:
p(x, t) = pк |
− |
Q |
(l(t) − x) , 0 ≤ x ≤ l( t) . |
(24.1) |
|
||||
|
|
kBh |
|
|
Требуется найти закон перемещения во времени внешней границы возмущенной области l(t) .
Воспользуемся соотношением (23.7), которое выражает условие того, что количество добытой продукции за время dt равно изменению упругого запаса
жидкости в возмущенной зоне пласта за тот же промежуток времени, |
|
||||||
Qdt = β * d[V(t)∆ |
p], |
|
|
(24.2) |
|||
где V(t) – объем возмущенной зоны пласта, |
|
|
|
|
|||
V(t) = |
B h l( t) ; |
|
|
|
(24.3) |
||
∆ p = pк − ~p = pк − |
|
pк + pг |
= |
pк − pг |
. |
(24.4) |
|
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
||||
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
496 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГЛАВА XXIV |
Приняв во внимание, что p(x, t) |
= |
pг( t) при х = 0, из (24.1) найдем |
|||||||||||||||||||
|
|
Q = |
|
k pк |
− |
pг |
Bh , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l(t) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
µ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
откуда |
|
|
Q l(t) |
|
|
|
|
|
|
− pг |
|
|
|
||||||||
|
|
|
= |
|
|
pк |
|
. |
(24.5.) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2kBh |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
Подставив равенства (24.3)–(24.5) в соотношение (24.2), получим |
|||||||||||||||||||||
|
Q = β |
* |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
Qµ l |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Bhl |
|
|
|
|
|
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
2kBh |
|||||||||
или, так как Q = const, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Q = |
|
|
β *µ |
Q |
d |
(l2), |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
dt |
|
|
||||||
откуда следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(κ = k (µβ *)) . |
||||||||||
|
2κ dt = dl2 |
||||||||||||||||||||
Проинтегрируем полученное соотношение и найдем |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
l(t) = |
|
|
2κ t . |
(24.6) |
|||||||||||||
Следовательно, формула для распределения давления в пласте (24.1) |
|||||||||||||||||||||
будет иметь вид |
|
Q ( 2κ t − x) , |
|
|
|||||||||||||||||
p(x, t) = |
pк − |
0 ≤ x ≤ 2κ t , |
|||||||||||||||||||
p(x, t) = |
kBh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(24.7) |
||||
pк , |
|
x > |
|
|
|
2κ t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Значения депрессии pк |
− pг |
|
|
по приближенной формуле (24.7) значи- |
|||||||||||||||||
тельно отличаются от данных расчета по точной формуле (24.39): погреш- ность составляет 25%.
Случай 2. Приток к галерее, на которой поддерживается постоянное забойное давление pг = const. В таком же пласте, как и в случае 1, в момент времени t = 0 пущена эксплуатационная галерея с постоянным забойным давлением pг = const. До пуска галереи давление во всем пласте было оди-
наковым и равным рк. Требуется найти распределение давления, закон пе- |
|||||||||||
ремещения границы возмущенной области l(t) |
и изменение дебита галереи |
||||||||||
во времени Q(t) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дебит галереи в условиях установившегося движения, очевидно, можно |
|||||||||||
выразить следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q (t) = |
k ( pк |
− pг ) |
Bh= |
|
k |
Bh |
∂ p |
|
|||
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
µ |
l (t) |
µ |
|
|
∂ x |
|
x= 0 |
||||
|
|
|
|||||||||
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОГО РЕЖИМА |
497 |
Задача решается аналогично предыдущему случаю с той лишь разни- цей, что в уравнение для упругого запаса жидкости (24.2) нужно подста-
вить выражения |
|
|
V(t) = B h l( t) , |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∆ p = |
pк − ~p = |
pк − |
pк + pг |
= |
|
pк − pг |
, |
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(t) = |
|
k( pк − pг ) |
Bh . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
µ l(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, в результате получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
k( pк − |
|
pг ) |
Bh dt = |
β |
* |
|
|
pк − pг |
|
||||||
|
|
|
|
|
d |
Bhl |
|
|
. |
|||||||
|
µ l(t) |
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Проведя арифметические преобразования в этом соотношении, и вы- полнив интегрирование, найдем закон движения границы возмущенной об- ласти
l(t) = 2
κ t .
Следовательно, распределение давления в возмущенной зоне пласта
определяется соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
p(x, t) = |
pк − ( pк − |
|
|
− |
x |
< |
x ≤ 2 κ t , |
pг) 1 |
, 0 |
||||||
p(x, t) = |
|
|
|
|
2 κ t |
|
(24.8) |
pк , x > 2 κ t , |
|
|
|
||||
а дебит галереи – соотношением |
k( pк |
− pг ) Bh. |
|
|
|||
|
Q(t) |
= |
|
(24.9) |
|||
|
|
|
µ |
2 |
κ t |
|
|
Погрешность расчета дебита галереи по приближенной формуле (24.8) по сравнению с расчетами по точной формуле (23.27) составляет 11%. Сле- довательно, методом последовательной смены стационарных состояний лучше пользоваться в случае неустановившихся прямолинейно-параллель- ных потоков при заданной постоянной депрессии.
Плоскорадиальный неустановившийся фильтрационный поток упру- гой жидкости.
Случай 1. Приток к скважине, на которой поддерживается постоян- ный дебит Q. Пусть в неограниченном горизонтальном пласте постоянной толщины h в момент времени t = 0 пущена добывающая скважина радиу- сом rc с постоянным дебитом Q. До пуска скважины давление во всем пла- сте было одинаковым и равным pк .
В соответствии с методом ПССС принимаем, что через время t после пуска скважины вокруг нее образуется возмущенная область радиусом R(t) ,
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
498 |
|
|
|
|
|
ГЛАВА XXIV |
в которой давление будет распределено по стационарному закону |
||||||
p(r, t) = pк |
− |
Qµ |
ln |
R(t) |
. |
(24.10) |
2π kh |
|
|||||
|
|
|
r |
|
||
Рис. 24.2. Кривые распределения дав- ления в плоскорадиальном потоке в раз- ные моменты времени по методу ПССС (отбор осуществляется при ус-
ловии Q = const)
В остальной части пласта со- храняется начальное пластовое дав- ление pк .
Требуется найти закон движения границы возмущенной области R(t) .
Кривые распределения давления в разные моменты времени в таком потоке приведены на рис. 24.2. Де- бит скважины, очевидно, будет описываться формулой, аналогич- ной формуле Дюпюи,
Q = |
2π kh( pк − |
pc (t)) |
. (24.11) |
|
µ ln(R(t) |
rc) |
|||
|
|
Размеры возмущенной области найдем из уравнения материального баланса (24.2) при
V(t) = π (R2( t) − rc2 )h, ∆ p = pк − ~p. |
(24.12) |
Средневзвешенное пластовое давление ~p в установившемся плоско- радиальном потоке (см. гл. XX, §3)определяется по формуле (20.25)
~p = |
pк − |
pк − pc |
||
2 ln(R(t) |
r ) |
, |
||
|
|
|
c |
|
откуда, учитывая (24.11), находим
∆ p = |
pк − ~p = |
pк − pc |
= |
Qµ |
|
|
2 ln(R(t) rc) |
|
. |
(24.13) |
|||
4π kh |
||||||
Закон движения границы возмущенной области R(t) найдем, подста- вив выражения (24.12) и (24.13) в уравнение материального баланса (24.2),
4κ dt = d(R2 (t) − rc2 ),
откуда после интегрирования в пределах от 0 до t и от rc до R(t) найдем
R(t) = |
|
. |
|
rc2 + 4κ t |
(24.14) |
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОГО РЕЖИМА |
499 |
||||
Тогда из равенства (24.10) можно определить давление в любой точке |
|||||
пласта в любой момент времени t |
|
|
|||
p(r, t) = |
pк − |
Qµ ln rc2 + 4κ t , |
rc ≤ r ≤ rc2 + 4κ t ; |
(24.15) |
|
p(r, t) = |
|
2π kh |
r |
|
|
pк , |
r > |
rc2 + 4κ t . |
|
|
|
Депрессия в момент времени t: |
|
|
|||
|
∆ pc ≡ |
pк − |
pc (t) = Qµ ln |
rc2 + 4κ t . |
(24.16) |
|
|
|
2π kh |
rc |
|
Сравнивая (24.16) с депрессией, определенной по точной форму- ле (23.52), можно убедиться, что относительная погрешность уменьшается
с течением времени и составляет, по вычислениям, 10,6%, если fo = κ t
rc2 = = 100; 7,5%, если fo = 103; 5,7%, если fo = 104.
Случай 2. Приток к скважине, на ко- торой поддерживается постоянное дав- ление pc = const. В случае плоскоради-
ального потока жидкости к скважине, |
|
|
пущенной в эксплуатацию с постоянным |
|
|
забойным давлением pc = const, закон |
|
|
движения границы возмущенной области |
|
|
выражается интегралом, представляемым |
|
|
в виде медленно сходящегося ряда, по- |
|
|
этому решение здесь не приводится. Рас- |
|
|
чет движения границы возмущенной об- |
|
|
ласти в этом случае можно определить |
Рис. 24.3. Зависимость безразмер- |
|
по графику (рис. 24.3). |
ного радиуса возмущенной облас- |
|
Дебит скважины определяется по |
ти R(t) rc |
от безразмерного вре- |
формуле Дюпюи (24.11) при pc = const. |
мени fo |
при отборе жидкости |
Сравнение с результатами точных |
с постоянным забойным давлени- |
|
расчетов, выполненных К.А.Царевичем и |
ем pc = const |
|
И.Ф.Курановым, показывает, что погреш- |
|
|
ность определения дебита по методу ПССС составляет около 5%. Заметим, что как в случае линейной, так и радиальной фильтрации
в точке перехода от возмущенной к невозмущенной области градиент дав- ления терпит разрыв, что служит одной из причин расхождения между ре- зультатами расчетов по методу ПССС и по точному решению. Однако этот метод служит достаточно эффективным расчетным приемом, позволяю- щим найти решение в простом виде, чем и объясняется его применение в некоторых случаях не только для задач фильтрации однофазного флюида,
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
500 |
ГЛАВА XXIV |
но и для задач о движении газированной жидкости и о перемещении гра- ницы раздела жидкостей и газов.
Распределение давления в области фильтрации, получаемое по методу ПССС, является довольно грубым приближением; гораздо точнее этим ме- тодом дается связь между дебитом и депрессией, особенно в случае ради- альной фильтрации.
§2. Метод А.М.Пирвердяна
Этот метод аналогичен методу ПССС и уточняет его. В методе А.М.Пирвердяна, как и в методе ПССС, неустановившийся фильтраци- онный поток в каждый момент времени мысленно разбивается на две области – возмущенную и невозмущенную. Граница между этими облас- тями также определяется из уравнения материального баланса. Но в от- личие от метода ПССС распределение давления в возмущенной области по методу А.М.Пирвердяна задается в виде квадратичной параболы так, чтобы пьезометрическая кривая на границе областей касалась горизон- тальной линии, представляющей давление в невозмущенной области. Распределение давления уже не будет стационарным, а градиент давле- ния на границе областей становится равным нулю, что обеспечивает плавное смыкание профиля давления в возмущенной и невозмущенной областях.
Рассмотрим прямолинейно- параллельный неустановившийся фильтрационный поток упругой жидкости.
Случай 1. Приток к галерее, на которой поддерживается посто- янный дебит Q. Пусть в горизон- тальном пласте постоянной тол-
щины h и ширины В пущена в экс-
Рис. 24.4. Кривая распределения давле- плуатацию галерея с постоянным
ния в прямолинейно-параллельном по- дебитом Q. До пуска галереи дав- токе по методу A.M.Пирвердяна
ление во всем пласте было одина- ковым и равным рк.
К моменту времени t после пуска граница возмущенной области про- двинется на длину l(t) , при этом кривая распределения давления в этой области будет иметь вид параболы. График распределения давления в пла- сте ко времени t после пуска галереи представлен на рис. 24.4. Уравнение параболы, задающей распределение давления в возмущенной области, оп-
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОГО РЕЖИМА |
501 |
|||||||||||||
ределяется равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
||||
p(x, t) = pк − ( pк − |
pг) 1 − |
|
|
|
|
|
, |
0 < |
x ≤ l(t) . |
(24.17) |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
l(t) |
|
|
|
|
|
||||
Дебит галереи определяется по закону Дарси |
|
|
||||||||||||
Q = |
|
k |
Bh |
∂ p |
|
|
|
|
|
(24.18) |
||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||
µ |
∂ x |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x= 0 |
∂ p |
|
|
найдем, |
продиффе- |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
Значение градиента давления на галерее |
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||||
∂ x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x= 0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ренцировав формулу (24.17) и подставив в полученное выражение x = 0 . В результате будем иметь
|
∂ p |
|
|
= |
|
2( pк |
− pг ) |
. |
(24.19) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂ x |
|
x= 0 |
|
|
l(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставив равенство (24.19) в (24.18), найдем формулу для дебита гале- |
||||||||||
реи |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Q = 2 |
k pк − |
pг |
|
|
(24.20) |
|||||
|
|
l(t) |
|
Bh. |
||||||
µ |
|
|
||||||||
Закон движения границы возмущенной области определяется из урав- нения материального баланса (24.2) с учетом (24.3), при ∆ p = pÍ − ~p . Зна- чение средневзвешенного пластового давления в возмущенной области к моменту времени t определим теперь, используя распределение (24.17),
|
1 |
|
|
1 |
|
l(t) |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
pк |
− pг |
|
|||
~p = |
|
|
p(x,t) dV = |
|
|
|
pк |
− |
( pк |
− |
pг) 1 − |
|
dx = pk |
− |
|
|
. |
|||||
V(t) |
∫ |
l(t) ∫ |
|
|
3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l(t) |
|
|
|
||||||||||
|
|
V (t) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, изменение давления равно |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
∆ p = |
|
pк − ~p = |
|
pк − pг |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Используя формулу (24.20), преобразуем последнее равенство к виду |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∆ |
p = |
|
pк |
− |
pг |
|
= |
|
Q l(t) |
|
|
|
|
|
(24.21) |
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
6kBh |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и далее, подставив (24.3) и (24.21) в уравнение материального баланса
(24.2), получим
Qdt = |
|
2 |
(t) |
Qµ |
|
|
β * d Bhl |
|
|
, |
|||
|
||||||
|
|
|
|
6kBh |
|
|
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
502 |
|
|
|
|
|
|
ГЛАВА XXIV |
откуда |
|
|
|
dl2 (t) , |
|
|
|
|
|
|
6κ dt = |
|
|
||
и после интегрирования в пределах от 0 до t и от 0 до l найдем |
|||||||
|
|
|
l(t) = |
|
6κ t . |
|
(24.22) |
Таким образом, формула для распределения давления (24.17) в воз- |
|||||||
мущенной области пласта принимает вид |
|
|
|||||
p(x, t) = |
pк − |
Qµ |
|
− |
x |
2 |
0 < x ≤ 6κ t , |
2kBh |
6κ t 1 |
6κ t |
, |
||||
p(x, t) = |
|
|
|
|
(24.23) |
||
pк , x > |
6κ t . |
|
|
|
|
||
Расчет депрессии pк − pг по формуле (24.23) дает погрешность по срав- нению с точным решением примерно 9%, т. е. в 2,5 раза меньше, чем по методу ПССС.
Случай 2. Приток к галерее, на которой поддерживается постоянное давление pг = const. Пусть имеем прямолинейно-параллельный фильтраци- онный поток упругой жидкости к галерее, которая пущена в эксплуатацию с постоянным забойным давлением pг = const. До пуска галереи давление во всем пласте было одинаковым и равным рк.
Для построения приближенного решения по методу А.М.Пирвердяна используем ту же методику, что и для случая 1. Подставим в уравнение материального баланса (23.2) выражения для расхода, объема и перепада давления
Q = |
2 |
k pк − |
pг |
Bh , |
V(t) = B h l( t) , |
∆ p= p−к |
=p |
pк − pг |
, |
||
|
|
l(t) |
|
|
|||||||
µ |
|
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в результате получим дифференциальное уравнение
6κ dt = l(t)dl( t) ,
интегрируя которое получим закон движения границы возмущенной об- ласти
l(t) = 
12κ t .
Подставляя найденный закон движения границы возмущенной облас- ти в формулы для распределения давления (24.17) и дебита (24.20), полу- чим для давления в возмущенной области пласта соотношение
p(x, t) = |
pк − ( pк − |
|
− |
x 2 |
|
pг) 1 |
|
, |
|||
|
|
|
|
12κ t |
|
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts