Добавил:

spbguap9 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Предмет:

Добыча нефти и газа

Файл:

гидромеханика нефти

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.01.2021

Размер:

20.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4625 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

285

дующим образом. Когда в выходном сечении насадка скорость течения газа становится равной скорости звука, изменение давления во внешней среде не может проникнуть внутрь насадка. Действительно, это возму- щение (изменение давления) распространяется со скоростью звука и, следовательно, не может пройти через сечение, в котором скорость рав- на критической. Создается динамический барьер, изолирующий внут- реннюю часть насадка от внешних возмущений, что и приводит к посто- янству массового расхода.

§6. Сопло Лаваля

Сопло Лаваля* (рис. 15.5) состоит из сужающейся и расширяющейся частей и служит для получения сверхзвуковых скоростей течения газа. При рассмотрении работы сопла Лаваля будем считать течение установившим- ся и изэнтропическим. Тогда вдоль сопла выполняется закон сохранения массы в виде (15.46), а массовая скорость ρ v в любом сечении сопла в со- ответствии с формулой (15.52) равна

k+ 1

−

ρ v =

S(x) =

k − 1

(15.56)

Из формулы (15.56) видно, что ρ v =

, то есть массовая скорость

зависит только от распределения давления вдоль сопла (трубки тока) и не зависит явно от его геометрии. Иначе говоря, массовая скорость есть уни-

версальная функция давления. На основании проведенного в предыдущем
параграфе анализа имеем,		что max(ρ v)					достигается при p = pкр , то есть
при критическом режиме, и
max(ρ v)								2		k+ 1
		= ρ крvкр		=		p		2		k− 1
		= ρ крvкр		=		RT		k k +	1 .
						0
							0
		ρ v	=		p
График зависимости		ρ v			p		схематически показан на рис. 15.6.

	ρ			f
	ρ	крvкр			p0

* Карл Густав Лаваль (1845–1913), шведский инженер и изобретатель.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

286

ГЛАВА XV

	Рис. 15.5	Рис. 15.6
Итак, если заданы закон распределения площади S(x)				и массовый рас-
ход Qm	, то с помощью формулы (15.56) можно найти		p	= f(x) , то есть
			p0

можно найти распределение давления по длине сопла Лаваля. Для получе- ния решения удобно воспользоваться графиком рис. 15.6. Будем считать, что форма сопла Лаваля, то есть функция S = S(x) известна. Массовый расход Qm будем также считать известным. Возьмем какое-либо сечение сопла x1 слева от сечения x = xкр (рис. 15.5). Тогда в соответствии с фор-

мулой (15.56) величина

(ρ v)1	=	Qm
		S(x1)

будет известна. На графике (15.6) этому значению массовой скорости со-

ответствуют точки 1 и 1а. В точке 1 имеем						p1	>	pкр	, а в точке 1а –
ответствуют точки 1 и 1а. В точке 1 имеем							>		, а в точке 1а –
						p0		p0
1		<	pкр
	p a		pкр	.	Следовательно, точка 1 соответствует дозвуковому течению,
	p0		p0	.	Следовательно, точка 1 соответствует дозвуковому течению,
	p0		p0

а точка 1а – сверхзвуковому. В сужающейся части сопла происходит раз- гон потока, а при x = xкр течение не может быть сверхзвуковым. Поэтому

при x = x1 может существовать только дозвуковое течение, котором реа-

лизуется только одно значение давления – p1 .

		p0
Возьмем теперь сечение x2 справа от сечения x = xкр . Массовая ско-
рость в этом сечении равна
(ρ v)2	=	Qm	.
(ρ v)2	=	S(x2)	.
		S(x2)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА							287
		На графике рис. 15.6 значению			ρ v =		(ρ v) 2 соответствуют точки 2
(	p2	>	pкр	– дозвуковой режим) и 2а (	p2a	<	pкр	– сверхзвуковой режим).

	p0		p0		p0		p0
		В расширяющейся части сопла могут происходить как разгон, так и

торможение потока, то есть могут существовать как дозвуковой, так и сверхзвуковой режимы. Какой из них фактически имеет место, зависит от давления на выходе сопла. Проводя указанные построения для различных сечений, можно построить кривые распределения давлений по длине сопла Лаваля (рис. 15.7).

Из приведенных рассуждений следует, что при pe = p0 , где pe – дав- ление во внешнем пространстве, газ в сопле покоится. Снижение pe при- водит к возникновению течения, причем в сужающейся части сопла проис- ходит разгон, а в расширяющейся – торможение потока. Скорость течения при этом остается всюду дозвуковой, распределение давлений имеет вид пунк- тирной кривой на рис. 15.7. По мере дальнейшего снижения pe ( pe > pc ) скорость во всех сечениях и массовый расход через сопло возрастают. При pe = pc скорость течения в сечении x = xкр становится равной скорости

звука aкр = vкр , а в расширяющейся части сопла плавно уменьшается.

Массовый расход достигает максимального значения Qmmax =	ρ крvкрSкр ,
давление в расширяющейся части возрастает от p = pкр до p =	pc (кри-
вая А, рис. 15.7).

Рис. 15.7

Дальнейшее снижение pe ( pp < pe < pc ) приводит к возникновению

в расширяющейся части сопла скачков давления (кривая В, рис. 15.7). На участке xкр < x < xc течение будет сверхзвуковым, а при xc < x < l –

дозвуковым.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

288		ГЛАВА XV
При p =		pp течение всюду в расширяющейся части сопла будет сверх-
звуковым,	а	распределение давления будет описываться кривой С
на рис. 15.7.	<	pp параметры газа ( v, p, ρ ,T ) в выходном сечении сопла
При pe	<	pp параметры газа ( v, p, ρ ,T ) в выходном сечении сопла

будут такими же, как при p = pp , а по выходе из сопла струя газа будет расширяться. Выравнивание давления от значения pp до значения pe бу-

дет сопровождаться многократными расширениями и сжатиями струи с возникновением системы косых скачков. Отметим особо, что из построе- ния кривых А и С следует, что при Qm = Qmmax давления на срезе сопла pc и pp определяются только геометрией сопла и не зависят от противодав-

ления pe .

Режимы, при которых pc = pe или pp = pe , называются расчетными.

Первый – режим адиабатического сжатия, второй – адиабатического рас- ширения. Все прочие режимы работы сопла Лаваля – нерасчетные.

§7 Газодинамические функции

Соотношения (15.43), (15.44), (15.45), то есть функции τ (λ ), ε( λ) , π( λ) называются газодинамическими функциями. Для этих функций составле- ны подробные таблицы, что существенно облегчает выполнение различ- ных газодинамических расчетов.

Между газодинамическими функциями τ (λ ), ε( λ) , π( λ) существуют очевидные связи

T = τ (λ ) =

π (λ )

, ρ

= ε (λ ) =

[τ( λ) ] k−

1 ,

p = π

(λ ) = [τ( λ) ] k− 1 = [ε (λ )]k .

(15.57)

ε (λ )

ρ 0

Пользуясь газодинамическими функциями, массовый расход можно

представить в виде

Qm =

ρ vS =

ρ 0

aкрS =

ρ 0aкрSλε (λ ) .

(15.58)

aкр

Введем новую газодинамическую функцию

q(λ )

Cλ ε( λ)

(15.59)

и определим константу С так, чтобы q(1) = 1. Из формул (15.44) и (15.59) следует, что

	q(1)		1		k +		1	1
C =		=		=				k− 1
								,
	ε (1)		ε (1)			2

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

289

и формула (15.59) принимает вид

q(λ ) =

k +

(λ ) .

k− 1

λε

(15.60)

Представим функцию q(λ ) , учитывая, что ε (1) =

ρ кр

, в виде

λ ε (λ )

ρ 0

ρ v

ρ 0

q(λ ) =

(15.61)

ε (1)

vкр ρ кр ρ 0

ρ крvкр

Из формулы (15.61) видно, что q(λ )

представляет собой отношение

массовой скорости к критической массовой скорости.

График q(λ ) представлен на рис. 15.8. Отметим особо, что каждому значению q(λ ) ≠ 1 соответствуют два значения λ : одно в дозвуковом ре- жиме, другое – в сверхзвуковом.

Рис. 15.8

С введением функции q(λ ) формулу (15.58) можно представить в виде

						k+ 1
	=	p S		2		k− 1	q(λ ) .
Qm		0	k					(15.62)
Qm		RT0	k					(15.62)
		RT0	k +		1

При этом значение q(λ ) в формуле (15.62) надо брать в том же сече- нии, что и S. Например, при работе сопла Лаваля в расчетном режиме при x = xкр λ = 1, и надо принимать S = Sкр . Для иллюстрации возможных

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

290 ГЛАВА XV

применений газодинамических функций рассмотрим работу сопла Лаваля в расчетном режиме. В этом случае

Qm = ρ крvкрSкр =

ρ выхvвыхSвых ,

(15.63)

где

ρ вых, vвых

– плотность и скорость в выходном сечении сопла,

Sвых –

площадь этого сечения.

Из формул (15.62) и (15.63) имеем

ρ выхvвых

= q(λ вых) =

Sкр

(15.64)

ρ крvкр

Sвых

Примем,

что p0 = 107 Па,

T0 = 293°

К,

Sкр

= 0,5 см2,

Sвых

= 2 см2,

R =

287

м2

, показатель адиабаты

k =

1,4 .

Требуется

определить

с град

λ , M, p,T в

выходном сечении сопла.

Из формулы (15.64)

имеем

q(λ вых) = 0,25 . По таблицам газодинамических функций для k = 1,4 нахо-

дим, что значению q(λ )

0,25 соответствуют

λ 1

= 0,16 ,

= 0,146 ,

τ (λ 1)

= 0,996 ,

π ( λ 1)

0,985 ,

λ 2

= 1,95 ,

2,94 ,

τ (λ 2)

= 0,366 ,

π ( λ 2)

0,0297.

Так как λ 1

< 1, а λ 2

1, то первый режим соответствует адиабатичес-

кому сжатию, а второй – адиабатическому расширению.

В соответствии с формулами (15.57) получаем

τ (λ 1) T0

292° Κ

π ( λ 1) p0

9,85 106 Па;

τ (λ 2) T0

107° Κ

π ( λ 2) p0

2,97 105 Па.

Из формулы (15.62) имеем

k+ 1

Qm =

p S

k− 1

q(1) = 1,18 кг/с.

RT0

k +

§8. Ударные волны

Ранее рассматривались течения, при которых распределение всех ве- личин ( ρ , v, p,T ) в газе непрерывно. Возможны, однако, и такие движе- ния, в которых характеристики потока терпят разрыв. Эти разрывы возни- кают вдоль некоторых поверхностей – поверхностей разрыва. При пересе- чении поверхности разрыва характеристики течения испытывают скачок. Для объяснения причины возникновения скачков, иначе называемых удар-

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

291

ными волнами, рассмотрим трубу, закрытую с одной стороны поршнем и за- полненную газом (рис. 15.1). В начальный момент времени поршень и газ неподвижны. Когда поршень начинает вдвигаться в трубу, перед ним воз- никает возмущение (сжатие газа). Можно считать, что скорость распро- странения возмущений в каждом сечении равна местной скорости звука. Распространение возмущений, создаваемых поршнем, можно рассматри- вать как последовательность непрерывно следующих друг за другом зву- ковых волн, причем каждая последующая волна распространяется по газу, возмущенному предыдущими волнами. Сжатие газа сопровождается его на- гревом, а скорость распространения возмущений возрастает вместе с тем- пературой. Отсюда следует, что каждая последующая волна будет переме- щаться относительно стенок трубы быстрее предыдущей. Волны будут до- гонять друг друга, складываться и образовывать одну сильную волну сжа- тия – ударную волну.

При движении поршня внутри трубы за ним образуются волны разре- жения. Но в этом случае волны уже не будут догонять друг друга, так как последующая волна пойдет по газу, охлажденному в результате прохожде- ния предыдущей, и скорость распространения последующей волны будет меньше скорости волны, ей предшествующей. Таким образом, волны раз- режения не могут образовывать ударных волн.

Прямой скачок уплотнения
Неподвижная в пространстве удар-
ная волна, фронт которой перпендикуля-
рен скорости потока, называется прямым
скачком (рис. 15.9). Для расчета прямого
скачка, то есть установления связи меж-
ду параметрами газа до и после скачка,
воспользуемся законами сохранения
массы, изменения количества движения
и сохранения энергии. Движение будем
считать установившимся, а процесс ади-		Рис. 15.9
абатическим. Примем площадь попереч-
ного сечения трубы постоянной,	S = 1.
да получим в соответствии с формулой (15.46)
ρ 1v1 =	ρ 2v2 = m .	(15.65)

Здесь m – массовый расход на единицу площади трубы, индекс 1 относит- ся к параметрам газа перед скачком, индекс 2 – за скачком. Закон измене- ния количества движения (2.58) в рассматриваемом случае, то есть при пренебрежении силой тяжести и трением, в проекции на ось потока Oх

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

292

ГЛАВА XV

принимает вид

m(v2 −

v1)

Ρ x

p1 −

p2 .

(15.66)

Из закона сохранения энергии (15.30) имеем

(15.67)

k − 1 ρ 1

k − 1 ρ 2

k − 1 ρ 0

Из уравнения (15.65) имеем

v1 =

v2 =

ρ 1

ρ 2

Подставив эти соотношения в равенства (15.66) и (15.67), получаем

−

− p2 ,

ρ 2

ρ 1

(15.68)

−

2 .

k − 1

ρ 2

ρ 1

Исключая m2 из формул (15.68), имеем

−

1 p1 −

−

p1 − p2

. (15.69)

k −

ρ 1

ρ 2

−

ρ 2

ρ 1

Умножив равенство (15.69) на

ρ 2

, получаем

ρ 2

−

ρ 2

−

k −

p2 ρ 1

− 1

ρ 1

или, после приведения подобных членов –

k + 1

ρ 2

k +

−

ρ 2

(15.70)

k − 1 p2 ρ 1

k − 1 p2

ρ 1

Разрешив уравнение (15.70) относительно

имеем

k +

ρ 2

−

k −

1 ρ 1

(15.71)

k +

−

k −

ρ 1

или, разрешив относительно

ρ 2

, –

ρ 1

k + 1 p

+ 1

(15.72)

ρ 1

− 1

k−

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

293

Соотношение (15.71), или (15.72), называется ударной адиабатой, или адиабатой Гюгонио. Из (15.71) следует, что

→ ∞

при

ρ 2

→

k +

→

−

k −

при

ρ 2

→ 0 .

ρ 1

k −

k +

ρ 1

На рис. 15.10 представлены графики адиабаты Гюгонио и адиабаты Пуассона. При рассмотрении этих адиабат возникает ряд вопросов. Во- первых, при ρ 2 ρ 1 = 0 отношение давлений p2 p1 в соответствии с формулой (15.71) становится отрицательным, что физически бес- смысленно. Во-вторых, почему в соответствии с адиабатой Пуассона

ρ 2 ρ 1 → ∞	при p2 p1 → ∞			, а по адиабате Гюгонио предельное сжатие
ограничено величиной		k +	1	?
ограничено величиной		k −	1	?
		k −	1

				Рис. 15.10
Рассмотрим на рис. 15.10 точки α 1					и α 2 , отвечающие какому-либо
значению	ρ 2	> 1, и β 1, β 2 , соответствующие значению							ρ 2	< 1. В соответ-
значению		> 1, и β 1, β 2 , соответствующие значению								< 1. В соответ-
	ρ 1								ρ 1
ствии с формулой (7.37) изменение энтропии равно
		s −	s =	p2		ρ 1	k
				CV ln				.	(15.73)
				CV ln				.	(15.73)
	2		1	p1		ρ 2
				p1		ρ 2

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

нио, соответствующая

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

294								ГЛАВА XV
Из графика рис. 15.10 видно, что при						ρ 2	>	1
Из графика рис. 15.10 видно, что при						ρ 1	>	1
						ρ 1
	p		>		p
	2				2		,	(15.74)
							,	(15.74)
	p1	Г		p1		П

где

– соотношение давлений,

определенное по адиабате Гюгонио,

p1 Г

– по адиабате Пуассона. Следовательно,

в соответствии с нера-

венством (15.74)

ρ 1 k

(15.75)

p1 Г

ρ 2

p1 П

ρ 2

Из формул (15.73) и (15.75) имеем, что при

ρ 2

> 1

ρ 1

− s

CV ln

0 .

(15.76)

p1 Г ρ

Повторив аналогичные рассуждения для точек

β 1 и β 2 , то есть

при

ρ 2

1, получаем, что в этом случае

ρ 1

− S =

cV ln

0 .

(15.77)

p1 Г

Неравенства (15.76) и (15.77) показывают, что процесс сжатия в адиа- бате Гюгонио сопровождается ростом энтропии, а процесс разрежения – ее уменьшением. Таким образом, в ударной волне сжатия происходят рост энтропии и необратимый переход механической энергии в тепло. Это об-

стоятельство препятствует неограниченному росту величины ρ 2 .

ρ 1

В ударной волне разрежения происходит убывание энтропии, что фи- зически невозможно – это противоречит второму закону термодинамики, то есть ударные волны разрежения невозможны, и часть адиабаты Гюго-

ρ 2 < 1, не имеет физического смысла.

ρ 1

Вернемся к уравнениям (15.65), (15.66) и (15.67) и исключим из них давления и плотности.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4625 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Добыча нефти и газа

#
10.01.20214.54 Mб82Гидродинамические исследования скважин Курс лекций.pdf
#
10.01.2021459.11 Кб19ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН НА ПРИОБСКОМ МЕСТОРОЖДЕНИИ.pdf
#
07.02.20211.03 Mб21ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН-1.pdf
#
10.01.2021353.18 Кб33Гидродинамические методы исследования скважин.pdf
#
02.01.202138.63 Mб20Гидродинамическое исследование скважин.pdf
#
02.01.202120.67 Mб24гидромеханика нефти.pdf
#
07.02.20211.34 Mб28Гидроочистка сырья.pdf
#
03.02.20211.46 Mб6гидроочистки сырья.pdf
#
24.01.2021452.97 Кб12Гидроразрыв пласта при КРС.pdf
#
24.01.2021271.57 Кб11Гидроразрыв пласта.pdf
#
29.01.2021304.86 Кб7Глубину превращения при термическом крекинге.pdf