Добавил:

spbguap9 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Предмет:

Добыча нефти и газа

Файл:

гидромеханика нефти

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.01.2021

Размер:

20.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 4614 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПО ТРУБАМ

175

Из первых двух равенств (9.4) и последней формулы видно, что в ка- ждый данный момент времени давление линейно зависит от координат, то есть

p = ρ Fxx + ρ Fyy + C(t)z + D( t) ,

Граничное условие	для	уравнения
движения (9.4) имеет вид
u(x1 , y1 , t) =	V,	(9.6)

где x1 , y1 – координаты точек контура тру- бы S (рис. 9.2), а V – скорость ее движе- ния вдоль оси Oz. Если труба неподвижна, то V = 0 .

Введем функцию

∂ p	= C(t) .	(9.5)

∂ z

u~ = u −

−

1 ∂ p

Рис. 9.2

dt.

(9.7)

ρ ∂ z

∫

∂ p

Так как Fz =

const , а

C(t) , то, подставив соотношение (9.7)

∂ z

нение (9.4) и используя граничное условие (9.6), получим

∂ u~

∂ 2u~

∂ t

∂ x

∂ y

u~(x ,y ,t) =	V −	t		−	1	∂ p		∂ p	= C(t) .
			Fz				dt,
			Fz				dt,
1 1					ρ			∂ z
		∫			ρ	∂ z		∂ z
		0

в урав-

(9.8)

(9.9)

Следовательно, задача о неустановившемся движении вязкой несжи- маемой жидкости по призматической трубе может быть сведена к решению уравнения (9.8), имеющему вид уравнения теплопроводности при граничных

условиях (9.9). В случае установившегося движения					∂ p	=	const , и уравне-
условиях (9.9). В случае установившегося движения						=	const , и уравне-
ние (9.4) принимает вид					∂ z
ние (9.4) принимает вид
∆ u =	1	∂ p	− ρ Fz	= const ,			(9.10)

	µ
	µ	∂ z

то есть уравнение движения сводится к уравнению Пуассона.

Введем функцию ψ с помощью соотношения
u = ψ +	1	∂ p	− ρ Fz	(x	2	+	2	) .
							y
	4µ
		∂ z

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

176

ГЛАВА IX

Подставив это выражение в уравнение (9.10) и граничное условие (9.6), имеем

∂ 2ψ

∂ p

0, ψ (x1, y1) =

V −

− ρ Fz

(x1

y1 ) . (9.11)

∂ x2

∂ y

4µ

∂ z

Таким образом, задача об установившемся течении вязкой несжимае- мой жидкости по призматической трубе может быть сведена к решению уравнения Лапласа, когда на границе области задано значение искомой функции, то есть к задаче Дирихле.

Рассмотрим плоскопараллельное безвихревое движение идеальной не- сжимаемой жидкости внутри контура S (рис. 9.2), ограничивающего попе- речное сечение призматической трубы. Пусть этот контур вращается с угловой скоростью ω вокруг оси 0z. Проекции скорости точек контура S равны

− ω y1 , vy

ω x1 .

(9.12)

С другой стороны, в соответствии с формулами (8.2) и (8.7)

∂ 2ψ

0 ,

(9.13)

∂ x2

∂ y2

∂ ψ

−

∂ ψ

(9.14)

∂ y

∂ x

где ψ – функция тока. Из формул (9.12) и (9.14) имеем, что в точках кон- тура S

dψ = − vydx + vxdy = − ω (x1dx + y1dy) ,

откуда
ψ 1	= −	ω	(x12 +	y12) + C .						(9.15)
ψ 1	= −		(x12 +	y12) + C .						(9.15)
	2
Равенства (9.13) и (9.15) при C =					и ω =	1	∂ p		− ρ Fz
				V						совпада-
				V		2µ		∂ z		совпада-
						2µ		∂ z

ют с соотношениями (9.11). Следовательно, изучение установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости по призматическим трубам может быть заменено рассмотрением плоскопараллельного потенци- ального течения идеальной несжимаемой жидкости внутри вращающе- гося контура S и наоборот. Заметим также, что уравнения вида (9.13) с граничными условиями (9.15) описывают кручение призматических стержней.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПО ТРУБАМ

177

§2. Прямолинейное течение между двумя параллельными стенками

Течение в узких щелях (зазорах) можно моделировать как течение между параллель- ными стенками.

Рассмотрим установившееся течение ме- жду двумя неподвижными параллельными плоскостями, расположенными на расстоянии 2h друг от друга (рис. 9.3). Скорость течения,


		ku . Гра-
	как и раньше, принимаем равной u =	ku . Гра-
	ничные условия имеют вид:	Рис. 9.3
	при x = h u = 0, при x = − h u =	Рис. 9.3
	при x = h u = 0, при x = − h u =	0 . (9.16)

Благодаря симметрии движение в плоскостях, параллельных плоско- сти xOz, одинаково, и, следовательно, u = u(x) . Тогда уравнение движения (9.10) принимает вид

d2u	=	1	∂ p		−	ρ Fz	= const ,

dx2		µ		∂ z

откуда
u =	1	∂ p		− ρ Fz		2	+ C1x + C2 .
					x
	2µ		∂ z		x
	2µ		∂ z

Подставив решение (9.17) в граничные условия (9.16), получим

C1 = 0,

= −

∂ p

− ρ Fz

2µ

∂ z

u =

∂ p

− ρ Fz

−

) = −

∂ p

−

2µ ∂ z

2µ

∂ z

(9.17)

(9.18)

Из формулы (9.18) следует, что максимальная скорость течения umax

равна
	= −	h2	∂ p		−	ρ Fz	(9.19)
umax
umax		2µ		∂ z
		2µ		∂ z

и
u =		−	x2
					,	(9.20)
	umax 1		h	2	,	(9.20)
			h

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

178 ГЛАВА IX

то есть в зазоре между рассматриваемыми плоскостями возникает парабо-

лическое распределение скоростей. В безразмерных координатах	u	,	x
	umax		h

это распределение имеет универсальный характер (рис. 9.4) и не зависит ни от перепада давления, ни от свойств жидкости. Расход жидкости Q на единицу ширины канала равен

	h			2h3	∂ p				4h
	∫			2h3	∂ p				4h
Q =		u dx =	−				− ρ Fz	=		umax .
Q =		u dx =	−	3µ		∂ z	− ρ Fz	=	3	umax .
				3µ		∂ z			3
	− h

Средняя скорость течения uср равна

= −

∂ p

−

ρ Fz

umax .

ucр

3µ

∂ z

(9.21)

(9.22)

Напряжения трения для несжимаемой жидкости в соответствии с фор- мулами (4.28) и (3.5) даются формулами

τ ik =	2µε	ik, ε ik =	1	∂ vi		+	∂ vk
τ ik =	2µε	ik, ε ik =				+		.	(9.23)
			2		∂ xk		∂ xi
			2		∂ xk		∂ xi

В рассматриваемом случае вектор скорости имеет единственную от-

личную от нуля компоненту v3

= vz =

u , и из формулы (9.18) имеем

∂ u

∂ p

−

ε zx

ρ Fz

(9.24)

∂ x

∂ z

а все остальные компоненты тензора скоростей деформаций равны нулю. Обозначив через τ h напряжение трения на стенке, из формул (9.23) и (9.24) получаем

τ h

∂

−

Fz h .

(9.25)

∂ z

Подставив соотношение (9.25) в формулы (9.18), (9.19), (9.21) и (9.22),

имеем

u = −

τ h

1 −

umax

= −

τ h

2µ

(9.26)

Q = −

τ h ,

uср = −

τ h .

3µ

Заметим, что положительное направление оси Oz выбрано так, чтобы было u > 0 . Поэтому из формул (9.26) следует, что τ h < 0 .

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПО ТРУБАМ

179

§3. Прямолинейное течение в осесимметричных трубах

Рассмотрим установившееся незакрученное осесимметричное течение несжимаемой вязкой жидкости. Выберем цилиндрическую систему коор- динат Orzθ так, чтобы ось Oz совпадала с осью симметрии потока, и пусть положительное направление на оси Oz совпадает с направлением

ku(r) и оператор Лапласа имеет вид

скорости течения. Тогда u =

∆ u =

∂

∂ u

(9.27)

∂

∂ r

Подставив равенство (9.27) в уравнение движения (9.10), имеем

µ ∂

∂

∂ p

−

ρ Fz = const .

r ∂

∂

∂ z

Интегрируя это соотношение, получаем

∂ p

u =

−

ρ Fz

C1 ln r + C2 .

(9.28)

4µ

∂ z

Решение (9.28), очевидно, справедливо для любого незакрученного осе- симметричного потока в цилиндрических трубах. Для определения кон- стант интегрирования C1 и C2 необходимо задать соответствующие крае- вые условия.

Рассмотрим течение в круглой цилиндрической трубе радиуса R.

При r =	0 величина скорости имеет конечное значение. Отсюда следует,
что C1 =	0 . В соответствии с гипотезой прилипания при r = R u = 0 . То-
гда
	∂ p	R2
	C2 = −	− ρ Fz

	∂ z	4µ

1 ∂ p

R2 ∂ p

u = −

−

ρ Fz (R −

r ) =

−

ρ Fz

−

. (9.29)

4µ

∂ z

Из формулы (9.29) видно, что максимальное значение скорости umax

достигается на оси трубы и равно

R2 ∂ p

umax =

−

− ρ Fz .

(9.30)

4µ

∂ z

В соответствии с этим формула (9.29) может быть представлена в виде

u =

umax 1

−

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

180 ГЛАВА IX

то есть, как и в случае течения между параллельными плоскостями (см. формулу (9.20)), имеет место параболический закон распределения скоро-

стей, который в безразмерных координатах	u	,	r	также имеет универ-

	umax		R

сальный характер.

Для определения расхода жидкости рассмотрим в поперечном сече- нии трубы кольцо площадью dS = 2π rdr . Тогда расход Q в соответствии с формулами (9.29) и (9.30) будет равен

π R4

∂ p

π R2

∫

2π

∫

Q =

u dS =

ur dr =

−

8µ

−

ρ Fz

umax . (9.31)

∂ z

Средняя скорость течения uср равна

= −

∂ p

− ρ Fz

umax

(9.32)

uср

π R2

8µ

∂ z

Формула (9.31) представляет собой известную формулу Пуазейля* для ламинарного режима течения в круглых трубах.

При u = u(r) тензор скоростей деформаций имеет единственную от- личную от нуля компоненту (см. приложение)

ε rz	=	1	∂ u	,

		2 ∂ r

и в соответствии с формулой (9.23) для напряжения трения получаем

τ rz = µ	∂ u	.

	∂ r

Подставив в (9.33) выражение (9.29), получаем

τ rz	=	r	∂ r		− ρ Fz
						.
		2		∂ z

(9.33)

(9.34)

Из формулы (9.34) видно, что напряжение трения линейно зависит от радиуса. Полагая в формуле (9.34) r = R, получим напряжение трения на стенке трубы

		R ∂ p
τ R	=			− ρ Fz .	(9.35)
		2	∂ z

* Жан Луи Мари Пуазейль (1799–1869), французский врач и физик.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПО ТРУБАМ

181

Подставив соотношение (9.35) в формулы (9.29)–(9.32), получаем

Rτ R

−

u = −

2µ

−

umax

2µ

π R3

Rτ R

Q = −

R ,

uср = −

4µ

В случае горизонтальной трубы Fz =

0 , и из формулы (9.32) имеем

= −

∂ p

uÒ

(9.36)

8µ

∂ z

Рассмотрим участок трубы длиной l. Так как

∂ p

= const , то

∂ z

∂ p

p2 −

−

p1 − p2

−

∆ p

(9.37)

∂ z

где p1 , p2 – давления в начале и в конце рассматриваемого участка тру- бы. Подставив соотношения (9.36) и (9.37) в формулу Дарси–Вейсбаха (5.30), получаем для коэффициента гидравлического сопротивления λ формулу

λ =	64	=	64	, d = 2R .
	ρ uсрd
			Re

Заметим, что с помощью теории размерностей и подобия было получено

λ = 2C , C = const ,
Re
т.е. точное решение задачи дает значение C = 64 .
Перейдем к рассмотрению течения в канале, об-
разованном двумя круглыми соосными цилиндрами.
Обозначим радиус внешнего цилиндра через R1 ,	Рис. 9.5

внутреннего – через R2 (рис. 9.5).

Краевые условия в рассматриваемом случае, очевидно, имеют вид:

при r = R1

u =

при r = R2

u = 0 .

(9.38)

Подставив эти условия в решение (9.28), получим

∂ p

R12 − R22

∂ p

R22

ln R1 − R12 ln R2

= −

− ρ Fz

C2 =

−

ρ Fz

4µ

∂ z

ln R1 R2

∂ z

ln R1

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

182 ГЛАВА IX

∂ p

R12 −

R22

R22 ln R1 −

R12 ln R2

u =

−

ρ Fz

−

ln r −

4µ ∂ z

ln R1 R2

(9.39)

∂ p

− R22 − (R12 −

R22 )

ln r R

−

4µ

∂ z

ln R1 R2

Расход Q через сечение кольцевой трубы равен

∂

R12

− R22

Q = 2π

∫

ur dr =

− ρ

(R1 −

R2 )

− (R1

R2 ) . (9.40)

8µ

∂ z

ln R1 R2

Рассмотрим течение в узком кольцевом зазоре, когда R2 →

R1 . Поло-

жим

r = R2 + y,

R1 = R2

+ h,

Ограничиваясь членами не выше второго порядка малости, имеем

≈

−

= ln 1 +

≈

1 −

, ln

ln 1

2 R2

(R2

R2)

2y(y − h)

r2 − R2 −

−

r R2

≈ 2y(y −

≈ 2y(y − h) .

ln R1 R2

1 −

2 R2

Подставив последнее выражение в формулу (9.39), получаем

∂

u =

−

ρ Fz

− hy) .

(9.41)

2µ

∂

Заметим, что если граничные условия (9.16) задать в виде:

при x =

u =

при x =

2h =

u =

0 ,

то формула (9.18) примет вид

∂

u =

−

ρ Fz

− h1x) .

(9.42)

2µ

∂

Формула (9.42) с точностью до обозначений совпадает с выражени- ем (9.41). Следовательно, решение (9.41) представляет собой также реше- ние о движении вязкой жидкости между двумя неподвижными параллель- ными плоскостями, расположенными на расстоянии h1 = 2h друг от друга.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПО ТРУБАМ

183

§4. Уравнение установившегося кругового движения вязкой несжимаемой жидкости

Уравнения установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрических координатах 0rϕ z имеют вид (см. приложение)

∂ vr

vϕ

∂ vr

−

vϕ2

∂ r

∂ ϕ

∂ z

1 ∂ p

∂ 2vr

1 ∂ 2vr

∂ 2vr

1 ∂ vr

2 ∂

vϕ

= Fr

−

ρ ∂ r

∂ r

∂

∂ z

∂

∂ r r

∂ vϕ

vϕ

∂ vϕ

+ vz

∂ vϕ

vr vϕ

∂ r

∂ ϕ

∂ z

(9.43)

1 ∂ p

∂ 2v

∂

∂ 2v

∂ v

∂

= F −

−

ρ r ∂ ϕ

∂

∂ z

r ∂

∂ ϕ

∂ vz

vϕ

∂ vz

+ vz

∂ vz

∂ r

∂ ϕ

∂ z

= Fz −

∂

µ ∂ 2vz

1 ∂ 2vz

∂ 2vz

∂ vz

ρ ∂

z ρ

∂ r

∂ ϕ

∂ z

r ∂ r

∂ vr

1 ∂ vϕ

∂ vz

(9.44)

∂

∂ ϕ

∂ z

Будем считать, что ось 0z направлена вертикально вверх и что из

массовых сил действует только сила тяжести. Тогда

Fr =

Fϕ = 0,

−

g =

const .

(9.45)

Примем также, что

≡

0 ,

(9.46)

то есть рассмотрим течение, при котором траектории всех частиц пред- ставляют собой концентрические окружности с центрами на оси 0z .

Из уравнения неразрывности (9.44) и условий (9.46) следует, что
	∂ vϕ	≡ 0 ,	(9.47)
	∂ ϕ

то есть модуль скорости вдоль круговой траектории сохраняет свое значе- ние.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

184

ГЛАВА IX

Уравнения движения (9.43) с учетом равенств (9.45), (9.46) и (9.47)

принимают вид

vϕ2

∂ p

∂ r

∂ 2 v

∂

1 ∂ p

−

(9.48)

∂ r

∂ z

∂ r

r ∂ ϕ

0 =

ρ g +

∂ p

∂ z

Из первого и третьего равенств (9.48) имеем

vϕ

∂ vϕ

1 ∂ 2 p

−

1 ∂

0 ,

∂ z

ρ ∂ z∂ r

∂ z

откуда следует, что

∂ vϕ

0 .

(9.49)

∂ z

Таким образом, рассматриваемое круговое движение является плоско-

параллельным, и в соответствии с формулами (9.47) и (9.49) имеем

vϕ = vϕ

(r) .

(9.50)

Из формул (9.45) и (9.47) следует, что течение обладает осевой сим-

метрией, благодаря чему

∂ p

0 .

(9.51)

∂ ϕ

На основании равенств (9.50) и (9.51) второе уравнение (9.48) можно

представить в виде

∂ 2vϕ

1 ∂ vϕ

vϕ

dvϕ

vϕ

d 1 d

(

2 +

−

2 =

(9.52)

∂ r

r ∂ r

ϕ ) = 0 .

dr r dr

Интегрируя уравнение (9.52) получаем

C , C =

const .

(9.53)

1 2

Из первого уравнения (9.48) для давления имеем

p =

ρ ∫

vϕ2

dr + C3 ,

const .

(9.54)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 4614 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Добыча нефти и газа

#
10.01.20214.54 Mб82Гидродинамические исследования скважин Курс лекций.pdf
#
10.01.2021459.11 Кб19ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН НА ПРИОБСКОМ МЕСТОРОЖДЕНИИ.pdf
#
07.02.20211.03 Mб21ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН-1.pdf
#
10.01.2021353.18 Кб33Гидродинамические методы исследования скважин.pdf
#
02.01.202138.63 Mб20Гидродинамическое исследование скважин.pdf
#
02.01.202120.67 Mб24гидромеханика нефти.pdf
#
07.02.20211.34 Mб28Гидроочистка сырья.pdf
#
03.02.20211.46 Mб6гидроочистки сырья.pdf
#
24.01.2021452.97 Кб12Гидроразрыв пласта при КРС.pdf
#
24.01.2021271.57 Кб10Гидроразрыв пласта.pdf
#
29.01.2021304.86 Кб7Глубину превращения при термическом крекинге.pdf