Добавил:

spbguap9 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Предмет:

Добыча нефти и газа

Файл:

гидромеханика нефти

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.01.2021

Размер:

20.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 4611 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ					145
откуда
ϕ = −	Ua3 cosθ	= −	Ua3x1	.	(7.102)
	2r2
			2r3
Легко проверить, что потенциал ϕ		, определяемый формулой (7.102),

отвечает всем поставленным условиям.

Придадим всей системе скорость, противоположную скорости сферы, то есть скорость − U . Это движение имеет потенциал − Ux1 . Потенциал относительного движения (сфера покоится, а жидкость на нее набегает со скоростью − U ) получим, сложив потенциалы абсолютного и переносного движений. Тогда

Ua3x

ϕ отн = −

− Ux1

= − 1

Ux1

− U r +

cosθ . (7.103)

Из формулы (7.103) следует, что нормальная составляющая скорости жидкости vn на поверхности сферы равна*

	∂ ϕ отн
vn	= −			= 0 ,
		∂ r
			r= a

то есть неподвижная сфера является поверхностью тока. Поэтому скорость жидкости vs , направленная по касательной к ней, есть полная величина скорости, и

v = vs =

∂ ϕ отн

U sinθ .

(7.104)

∂ s

r= a

r∂ θ

r = a

Как видно из формулы (7.104), в точках А и В (рис. 7.7) v =

0 , а при

θ =

π (на экваторе) v =

U . Следовательно,

на экваторе скорость обте-

кания сферы на 50% больше скорости набегающего потока.

При установившемся движении, пренебрегая массовыми силами, из

интеграла Бернулли (7.28) имеем

p = p0

+ ρ

− v2

(7.105)

где

p0 ,U – давление и скорость на бесконечности. Подставив в форму-

лу (7.105) значение скорости на экваторе, получим

p =

p0 −

ρ U2 .

* На поверхности сферы внешняя нормаль к жидкости и радиус сферы направлены в противоположные стороны.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

146

ГЛАВА VII

Так как скорости распределены симметрично относительно экватора, следовательно, и давления также распределены симметрично, то сопротив- ление движению сферы и подъемная сила равны нулю. Этот результат представляет собой частный случай парадокса Даламбера (см. ниже).

Хотя теория потенциальных непрерывных движений идеальной жид- кости и приводит к парадоксу Даламбера, благодаря ей можно вычислять распределения скоростей для хорошо обтекаемых тел, близкие к действи- тельности, что позволяет вычислять и силы трения с использованием тео- рии пограничного слоя, в котором проявляются силы вязкого трения

(см. гл. XIV).

Прейдем к рассмотрению неустановившегося движения сферы. Пусть сфера радиуса а движется поступательно со скоростью U = U(t) парал-

лельно оси Ox. В подвижной системе координат, связанной со сферой, потенциал течения имеет вид (7.102). Интеграл Коши–Лагранжа (7.69) в предположении, что жидкость несжимаема и что массовыми силами можно пренебречь, в рассматриваемом случае имеет вид

∂ ϕ 1

−

∂ ϕ

U +

const ,

(7.106)

∂ x

∂ t

так как на бесконечности жидкость покоится, давление равно p0

(ϕ 1 – по-

тенциал в подвижной системе координат).

Из формулы (7.102) имеем

∂ ϕ

= −

Ua3

r2 − 3x12

∂ ϕ

Ua3

x1y1 ,

∂ ϕ

Ua3

x1z1 .

∂ x1

2 r5

∂ y1

∂ z1 2 r5

Следовательно, в точках М и М1, симметрично расположенных отно- сительно плоскости y10z1 (рис. 7.8),

∂ ϕ
			=

	∂ x1
	∂ x1	M

поэтому

∂ ϕ

= −

, (7.107)

∂ x1

∂ y1

∂ z1

vM2 = vM2 ,		∂ ϕ	=		∂ ϕ
	U	∂ ϕ		U	∂ ϕ	.	(7.108)
	U			U		.	(7.108)
1
		∂ x1 M			∂ x1 M1

На сферу при ее движении будет действовать гидродинамическая сила

	(7.109)
R = − ∫ pn dσ ,	(7.109)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

147

где σ – поверхность сферы. Площадь элементарного шарового пояса

dσ			= 2π a2 sinθ dθ ,					(7.110)
					π
∫ p0 cosθ dσ =			2π a2 p0 ∫ cosθ sinθ dθ =				0 .	(7.111)
σ				0
Проектируя равенство (7.109)				на ось 0x , с учетом формул (7.109)
и (7.111) получим
			π
Rx = − 2π a2 ∫ ( p −					p0 ) cosθ sinθ dθ .			(7.112)
			0
Подставив в соотношение (7.108) разность ( p − p0)							из интеграла Ко-
ши–Лагранжа (7.106), с учетом равенств (7.107) и (7.108) имеем
	2		π		∂ ϕ 1
Rx = − 2π a		ρ	−			cosθ sinθ dθ ,		(7.113)
Rx = − 2π a		ρ	−			cosθ sinθ dθ ,		(7.113)
			∫		∂ t
			0
где при вычислении интеграла необходимо принять r =							a ,	так как p –

давление в точках сферы.

Из формулы для потенциала в подвижной системе координат (7.98)

при r = a , x1 =

r cosθ

имеем

∂ ϕ 1

= −

cosθ .

∂ t

2 dt

Подставив это соотношение в формулу (7.109), получаем

− π a

∫ cos

θ sinθ dθ =

−

π a

Если

0 , то сила сопротивления Rx

отрицательна, то есть пре-

пятствует увеличению скорости U . При

сила Rx

мешает тормо-

жению. Идеальная жидкость как бы повышает инертность тела.

Действительно, в идеальной жидкости уравнение движения шара мо-

жет быть записано в виде

(e)

−

2π

ρ a

3 dU

2π

ρ a

= F

(e)

, или m +

а в пустоте

m dU = F(e) . dt

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

148

ГЛАВА VII

Величина 2π ρ a3 называется присоединенной массой и для шара равна

половине массы жидкости в его объеме.

При движении тела в вязкой жидкости задачу в общем случае уже нельзя свести к расчету присоединенных масс. Однако при движении хо- рошо обтекаемых тел с большими скоростями свойством вязкости можно пренебречь, и эффект действия переменной скорости будет в первом при- ближении таким же, как и в идеальной жидкости.

§9. Некоторые примеры применения закона об изменении количества движения

1. Рассмотрим плоскую неподвижную стенку, на которую направлена струя (рис. 7.9). Будем считать, что движение установившееся и массовы- ми силами можно пренебречь. В этих предположениях закон об изменении количества движения (2.51) имеет вид


∫ ρ vvndΣ	= ∫ pndΣ ,	(7.114)

ΣΣ

		где Σ	– замкнутая поверхность, огра-
		ниченная сечениями S1 , S2 , S3 , по-
		верхностью струи S4 и поверхно-
		стью стенки σ .
			Примем также, что давление
		на поверхности струи S3 постоянно:
		p =	p0 = const , и что скорость в се-
		чениях S1 , S2 , S3 распределена рав-
		номерно. Из этих соображений в со-
		ответствии с интегралом Бернулли
	Рис. 7.9	следует, что скорость на поверхности
	Рис. 7.9	струи постоянна, а из уравнений Эй-
		струи постоянна, а из уравнений Эй-
лера – что давление в сечениях S1 , S2 , S3 тоже постоянно и равно p =				p0 .

Так как для несжимаемой идеальной жидкости ρ = const, pn				= − pn ,
	– нормаль к Σ , то равенство (7.114) можно переписать в виде
где n
		= − ∫ ( p −
	ρ ∫ vvndΣ	= − ∫ ( p −	p0 ) n dΣ ,	(7.115)
	Σ	Σ

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

149

поскольку для замкнутой поверхности Σ	в соответствии с теоремой Гаус-
са-Остроградского	= 0 .
∫ p0 n dΣ	= 0 .

Σ
Так как p ≠ p0 только в точках поверхности σ			, то из равенства (7.115)
имеем
ρ ∫ vvndΣ = − ∫ ( p − p0 ) n dσ			= − Fn ,	(7.116)
ρ ∫ vvndΣ = − ∫ ( p − p0 ) n dσ		= − F	= − Fn ,	(7.116)

Σσ

где F – сила, с которой струя действует на стенку. Благодаря тому, что жидкость идеальная, эта сила перпендикулярна стенке.

Спроектируем равенство (7.116) на ось 0x , перпендикулярную стен-

ке. При этом учтем, что на S4 и		σ vn	= 0 , на S2 и S3 vx = 0 , а на
S1vn = − v0= const, vx	= v0 sinα , где α		– угол между стенкой и направ-
лением струи. Тогда
F =	ρ ∫ v02 sinα	dS =	ρ v02S sinα .

Так как сила F возникает из-за изменения количества движения струи, то есть из-за поворота вектора скорости, то сечения S2, S3 надо выбирать там, где поверхность струи и, следовательно, ее скорость станут парал- лельными стенке.

2. Рассмотрим расположенный горизонтально участок трубы, изогнутой под 90° (колено), по ко- торому течет жидкость (газ) (рис. 7.10). Будем счи- тать, что движение установившееся, и воспользу- емся законом об изменении количества движе- ния (2.58) в виде

	Qm(v2(cp)		−	v1(cp) )	=				(7.117)
	Qm(v2(cp)		−	v1(cp) )	=	G +	Ρ +	R,	(7.117)


где R =	N +	T – сила, с которой колено действу-
ет на жидкость.			=

Полагая		pn		− pn		и проектируя			равенст-
во (7.117) на оси Ox и Oy,							с учетом формулы

(2.54) получим

Qm	(v2(cpx ) −	v1(xcp) ) =	Ρ x +	Rx = − p2 S2 + Rx ,
Qm	(v2(cpy ) −	v1(ycp) ) =	Ρ y +	Ry = − p1S1 + Ry.

Рис. 7.10

(7.118)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

Рис. 7.11

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

150 ГЛАВА VII

	В	сечении S	v(xcp)	=0,	v(cp)	=	− v(cp)	. В сечении	S	v(cp)x	= v(cp),
		1	1		1y		1		2	2	2
v(cp)	=	0 , и соотношения (7.118) принимают вид
2y

Fx	=	− Rx = − Qmv2(cp) − p2S2 ,
Fy	=	− Ry = − Qmv1(cp) − p1S1 ,

где Fx , Fy – компоненты силы, с которой жидкость действует на колено.

Заметим, что из-за наличия члена T полученный вывод будет спра- ведлив и для вязкой среды.

3. Рассмотрим бесконечно длин- ную трубу, заполненную идеальной жидкостью, и пусть в ней движется какое-либо тело с постоянной ско-

ростью v0 (рис.7.11). Примем гипо- тезу, что далеко впереди тела и дале- ко за ним жидкость не возмущена, то есть ее скорость равна нулю.

Обратим задачу, сообщив всей системе скорость − v0 . Тогда тело ока- жется неподвижным, скорость на бесконечности перед и за телом будет рав- на − v0 , а течение установившимся.

Из-за закона об изменении количества движения (2.44), пренебрегая массовыми силами, имеем

∫ ρ vvndS =	∫ pndS .	(7.119)

S	S
Рассматриваемое тело находится внутри трубки тока,		ограничен-

ной сечениями S1 и S2 , причем S1 = S2 , и боковой поверхности S3 . Поэтому замкнутая поверхность S, ограничивающая жидкость, такова: S = S1 + S2 + S3 + σ , где σ – поверхность тела.

Рассмотрим распределение нормальной составляющей скорости vn по поверхности S. На S3 vn = 0, по определению трубки тока. На σ vn = 0 из условия непроницаемости поверхности тела. В сечении S1 далеко перед

телом vn = v0 , в сечении S2 далеко за телом vn							= − v0 . Кроме того, в сече-
	=
ниях S1 и S2 v	=	− v0 .
Тогда		∫	ρ vvn dS =	− ∫	ρ v0v0 dS +	∫	ρ vv0 dS .
		∫	ρ vvn dS =	− ∫	ρ v0v0 dS +	∫	ρ vv0 dS .	(7.120)

		S		S1		S2

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ										151

	Так как жидкость, по условию, идеальная, то pn = − pn , и
		∫ pndS =	− ∫ pn dS −		∫ pn dS − ∫ pn dS −			(7.121)
		∫ pndS =	− ∫ pn dS −		∫ pn dS − ∫ pn dS −		R,	(7.121)

		S	S1		S2	S3
где
					∫ pn dσ
			R =		∫ pn dσ

					σ
– сила, с которой поток действует на тело.
	Будем считать, что жидкость либо несжимаема, либо процесс адиаба-
тический. Так как скорости в сечениях S1						и S2 равны по величине, то из
интеграла Бернулли (7.28), или (7.46) и (7.47), следует, что p1 =								p2	=	p0 ,
ρ 1 =	ρ 2 =	ρ 0 , а p1 , p2 , ρ 1 , ρ 2 – давления и плотности в сечениях S1							и S2 .
При этих условиях из равенства (7.120) имеем
			∫	ρ vvndS = 0 ,

			S
и из соотношений (7.119) и (7.121) получаем


			R =		∫ pn dS ,			(7.122)
					S3
так	как	S1 = S2 , а	нормали	на этих		поверхностях	направлены			в
противоположные стороны.

Нормаль на поверхности S3 перпендикулярна направлению скоро-

сти v0 . Поэтому, проектируя равенство (7.122) на направление скорости, получаем

R = 0 .

Итак, если в идеальной жидкости, не имеющей свободной поверхно- сти, движется с постоянной скоростью тело произвольной формы, жид- кость несжимаема или процесс адиабатический, а движение жидкости не- прерывно, при этом на бесконечности перед и за телом жидкость не воз- мущена, то сопротивление движению тела равно нулю. Это утверждение представляет собой парадокс Даламбера.

Этот парадокс возник благодаря предположению, что далеко перед те- лом и далеко за ним жидкость покоится, жидкость идеальна и течение жидкости непрерывно. Реально эти условия не соблюдаются, и парадокс Даламбера не наблюдается.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Глава VIII

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

§1. Комплексный потенциал течения

Течение, при котором все его характеристики одинаковы в параллель- ных плоскостях, то есть зависят только от двух координат и времени, на- зывается плоскопараллельным. Такое течение обычно рассматривается в плос-

кости xOy. Каждая линия, проведенная в этой плоскости, в действительно- сти является направляющей цилиндрической поверхности с образующей,

перпендикулярной к плоскости xOy. Все величины расходов жидкости, сил, приложенных к телам, относятся к единице высоты соответствующих ци- линдрических поверхностей.

Рассмотрим плоскопараллельное течение несжимаемой жидкости. Из уравнения неразрывности (2.25) имеем

∂ vx

∂ vy

div v =

= 0 .

(8.1)

∂ x

∂ y

Положим

∂ ψ

− ∂ ψ

vx =

(8.2)

(x, y, t)

∂ y

∂ x

Функция ψ

= ψ

удовлетворяет уравнению неразрывности (8.1), и*

dψ =

∂ ψ

dx +

∂ ψ

dy =

vx dy − vy dx .

(8.3)

ψ (x, y, t)

∂ x

∂ y

Функция ψ

называется функцией тока. Из равенства (8.3)

при dψ = 0 имеем

(8.4)

Соотношение (8.4), как это видно из формул (1.22), представляет со-

бой уравнение линий тока, на которых ψ

const .

* Время t рассматривается как параметр.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

153

Рассмотрим линии тока ψ (x, y) = ψ 0 и ψ (x, y) = ψ 1 (рис. 8.1). Рас-

ход Q через линию S равен			∫ [vx cos(n, x)dx +			vy cos( n, y) ] dS.
Q = ∫ v n dS =			∫ [vx cos(n, x)dx +			vy cos( n, y) ] dS.

S			S
Так как cos(n, x) =	dy	, cos(n,y) = −		dx	, то в соответствии с форму-
Так как cos(n, x) =		, cos(n,y) = −			, то в соответствии с форму-
	dS			dS
лой (8.3)
Q = ∫ vydx − vxdy =				∫ dψ =		ψ 1 − ψ 0 ,	(8.5)
	S			S

то есть разность ψ 1 − ψ 0 представляет собой расход жидкости между ли- ниями тока ψ 0 = const и ψ 1 = const .

Рис. 8.1

При потенциальном течении

∂ ϕ

(8.6)

∂ x

∂ y

Из формул (8.2) и (8.6) следует, что при потенциальном течении

∂ ϕ

∂ ψ

∂ ϕ

−

∂ ψ

(8.7)

∂ x

∂ y

∂ x

Соотношения (8.7) представляют собой условия Коши–Римана, при вы- полнении которых функция комплексного переменного z

W(z) = ϕ ( x, y) + iψ ( x, y) ,	z = x + iy	(8.8)
является аналитической. Функция W(z)	называется	комплексным

потенциалом.

Из уравнения неразрывности (8.1), соотношений (8.6) и условий Ко- ши–Римана (8.7) следует, что ∆ ϕ = 0, ∆ ψ = 0 , то есть и потенциал скоро- стей, и функция тока являются гармоническими функциями.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

154	ГЛАВА VIII
Соотношения	ψ ( x, y) = const
ϕ (x, y) = const,	ψ ( x, y) = const

представляют собой, соответственно, уравнения семейств эквипотенциалей и линий тока. Из формул (8.2) и (8.6) имеем

ϕ ψ =	∂ ϕ	∂ ψ	+	∂ ϕ	∂ ψ	= − vxvy + vyvx ≡ 0 ,

	∂ x ∂ x			∂ y ∂ y
то есть векторы ϕ и	ψ взаимно перпендикулярны. Следовательно, ли-

нии тока и эквипотенциали образуют семейство взаимно ортогональных линий.

Дифференцируя комплексный потенциал (8.7) и учитывая формулы

(8.2) и (8.7), получим

∂ ψ =

∂ ϕ +

ivy = ve− i θ ,

vx −

v = vx2 + vy2 ,

(8.9)

∂ x

откуда

arg

− θ ,

(8.10)

dz dz

где θ – угол между направлением скорости и осью Oı.

Таким образом, модуль производной ком- плексного потенциала равен величине скорости, а аргумент – аргументу скорости, взятому с об- ратным знаком. Иначе говоря, производная ком- плексного потенциала есть величина, комплекс- но-сопряженная скорости течения (рис. 8.2).

Итак, для плоскопараллельного потенциаль- ного течения можно построить комплексный по- тенциал, представляющий собой аналитическую функцию. Обратно, всякой аналитической функ-

Рис. 8.2

ции соответствует некоторое плоскопараллель- ное потенциальное течение идеальной несжима-

емой жидкости. Поэтому для исследования таких течений может быть ис- пользован весь аппарат теории аналитических функций.

§2. Примеры плоскопараллельных потенциальных течений

Рассмотрим простейшие аналитические функции комплексного пере-

менного и соответствующие им течения.

1. W(z) = ( a + ib) z = ( a + ib)( x + iy) = ϕ + iψ , a > 0, b > 0 .

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 4611 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Добыча нефти и газа

#
10.01.20214.54 Mб82Гидродинамические исследования скважин Курс лекций.pdf
#
10.01.2021459.11 Кб19ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН НА ПРИОБСКОМ МЕСТОРОЖДЕНИИ.pdf
#
07.02.20211.03 Mб21ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН-1.pdf
#
10.01.2021353.18 Кб33Гидродинамические методы исследования скважин.pdf
#
02.01.202138.63 Mб20Гидродинамическое исследование скважин.pdf
#
02.01.202120.67 Mб24гидромеханика нефти.pdf
#
07.02.20211.34 Mб28Гидроочистка сырья.pdf
#
03.02.20211.46 Mб6гидроочистки сырья.pdf
#
24.01.2021452.97 Кб12Гидроразрыв пласта при КРС.pdf
#
24.01.2021271.57 Кб10Гидроразрыв пласта.pdf
#
29.01.2021304.86 Кб7Глубину превращения при термическом крекинге.pdf