гидромеханика нефти

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

§3. Величины с независимыми размерностями

Рассмотрим две совокупности размерных величин: скорость v, давле- ние p, плотность ρ и вязкость µ , расход Q, длина l. Их размерности в клас-

Так как единицы длины, массы и времени взаимно независимы, то приравнивая показатели степеней при L, M, T, из равенства (5.8) получим

Очевидно, что последнее равенство не может соблюдаться ни при ка- ких α и β .

Таким образом, размерность давления может быть выражена через раз- мерности плотности и скорости, а размерность вязкости не может быть вы- ражена через размерности расхода и длины.

Введем следующее определение. Пусть дана совокупность k размер- ных физических величин а1, а2, ... , ак. Если размерность ни одной из этих величин не может быть выражена через размерности остальных k – 1 вели- чин, то совокупность величин а1, а2, ... , ак называется совокупностью па- раметров с независимыми размерностями.

Из приведенного определения следует, что µ , Q, l образуют совокуп- ность параметров с независимыми размерностями, а p, ρ , v – совокупность параметров с зависимыми размерностями.

Пусть дана система единиц измерения из m основных единиц. Пока- жем, что в этой системе число k единиц с независимыми размерностями не превосходит m, т.е. k ≤ m.

Примем для простоты рассуждений, что m = 3 и основными единица- ми являются L, M, T. Пусть а1, а2 ,а3 ,а4 – размерные величины. Положим

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

86 ГЛАВА V

В соответствии с формулой размерности (5.7) [ai ] = [M]mi [L]ni [T]li , и равенство (5.9) можно представить в виде

По условию α 4, β 4, γ4 не равны нулю одновременно ([а4] ≠ 1). Поэтому равенства (5.10) представляют собой неоднородную систему трех линей- ных уравнений относительно неизвестных x, y, z.

Рассмотрим определитель этой системы

m1 m2 m3 ∆ = n1 n2 n3 .

l1 l2 l3

Если ∆ ≠ 0 , то система (5.10) имеет единственное решение, и значит справедливо равенство (5.9). Следовательно, величина а4 является размер- но-зависимой, и k = 3.

Если ∆ =0, то между столбцами детерминанта существует линейная за- висимость, например,

При этом случаи µ =ν = 0, µ = λ = 0, λ =ν = 0 исключаются, так как, по условию, а1, а2, а3 – размерные величины. Таким образом, при ∆ =0 ве- личины а1, а2, а3 размерно-зависимы, и k < 3.

Очевидно, что изложенные рассуждения могут быть без труда обоб- щены на случай m >3.

Из приведенного доказательства следует, что если а1, а2, ... , аk при k=m обладают независимыми размерностями, то размерность любой раз- мерной величины аk+1 может быть выражена в виде

Из формулы (5.11) следует также, что при k = m величины а1, а2, ... , аk могут быть приняты за новую систему единиц измерения.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

§4. П-теорема*

П-теорема представляет собой основную теорему теории размернос- тей. Для ее доказательства рассмотрим предварительно одно вспомога- тельное утверждение.

Пусть в системе единиц измерения данного класса имеется совокуп- ность физических величин а1, а2, ... , аk, обладающая независимыми раз- мерностями. Покажем, что внутри данного класса можно перейти к такой системе единиц измерения, в которой численное значение любой из вели- чин а1, а2, ... , аk, например, для определенности а1, изменится в произволь- ное число А раз, а численные значения всех остальных величин останутся неизменными.

Пусть в выбранном классе систем единиц измерения имеется m ос- новных единиц измерения P, Q, .… Тогда, по ранее доказанному,

где хотя бы одна из величин α i, β i (i =1, 2, ... , m) отлична от нуля. Изменим масштабы основных единиц измерения в P, Q, ... раз так,

чтобы численное значение остальных сохранилось бы без изменения. То- гда

Pα 1 Qβ 1 … = A, Pα 2 Qβ 2 … = 1, … , Pα k Qβ k … = 1. (5.12)

то есть получим систему k линейных алгебраических уравнений для неиз- вестных переходных множителей P, Q, ... .

Выше было доказано, что число параметров с независимыми размер- ностями k меньше или равно числу основных единиц измерения, то есть k ≤ m. Пусть k = m. Детерминант системы (5.13) заведомо отличен от нуля, так как в противном случае существовала бы линейная зависимость между его столбцами и величины а1, а2, ..., аk обладали бы зависимыми размерностями, что противоречит исходному предположению. Следова- тельно, при k = m система (5.13) обладает единственным решением.

В случае k < m число уравнений меньше числа неизвестных и систе- ма (5.13) имеет бесконечное множество решений.

* В основу изложения настоящего параграфа положены идеи, предложенные Г.И.Баренблаттом.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

у которой аргументы а1, а2, ... , аk обладают независимыми размерностями, представляет собой какую-либо физическую зависимость*.

Выбирая различные системы единиц измерения, можно, очевидно, произвольным образом менять численные значения аргументов функции f. Однако ясно, что физическая закономерность, т.е. вид функции f, не может зависеть от применяемой системы единиц измерения. Иначе говоря, физи- ческие закономерности должны быть инвариантны по отношению к при- меняемым системам единиц измерения.

Как было показано в §3, размерности величин а, аk+1, ... , аn могут быть выражены через размерности величин с независимыми размерностями, то есть

Как было доказано, путем изменения масштабов основных единиц из- мерения можно численное значение величины a1 изменить в произвольное число раз, причем так, чтобы численные значения величин a2, a3, …, ak остались без изменения. Так как параметры Π , Π 1, Π 2, …, Π n− k являются безразмерными, то их численные значения тоже не изменяются. Это озна-

* е‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛИ ‚Л‰ ˝ЪУИ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ Б‰ВТ¸ МВ ЛПВВЪ БМ‡˜ВМЛfl.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Полученный результат представляет собой содержание Π -теоремы, или теоремы Букингама. Пусть существует физическая закономерность, выраженная в виде зависимости некоторой, размерной величины от раз- мерных же определяющих параметров. Эта зависимость всегда может быть представлена в виде зависимости некоторой безразмерной величины от безразмерных комбинаций определяющих параметров. Количество этих безразмерных комбинаций меньше общего числа определяющих парамет- ров на число размерных определяющих параметров с независимыми раз- мерностями.

Иначе говоря, пусть дана физическая зависимость (5.14) и пусть вели-

чины а1, а2, ... , аk обладают независимыми размерностями. Тогда зависи- мость (5.14) может быть приведена к виду (5.18), где безразмерные пара- метры Π , Π 1, Π 2, …, Π n− k вычисляются по формулам (5.16).

Из формул (5.14) и (5.18) следует, что при переходе от зависимо- сти (5.14) между размерными величинами к безразмерной зависимости (5.18) число аргументов уменьшается на число k параметров с независи- мыми размерностями, и соотношение (5.18) является инвариантным отно- сительно применяемых систем единиц измерения.

Особый интерес представляет случай k = n . Из формул (5.16) и (5.18) следует, что в этом случае

Заметим, что из общего числа параметров а1, а2, ... , аn в формуле (5.14)

совокупность параметров с независимыми размерностями а1, а2, ... , аk мо- жет быть выбрана разными способами. Поэтому, как это видно из формул (5.16), безразмерные параметры Π , Π 1, Π 2, …, Π n− k могут иметь различ- ный вид при одном и том же виде зависимости (5.14).

Заметим также, что смысл П-теоремы сводится по существу к перехо-

ду к новой системе единиц измерения а1, а2, ... , аk.

§5. Подобие физических явлений, моделирование

Рассмотрим описание какого-либо физического явления в заданной сис- теме единиц измерения, которую обозначим индексом (1). Изменим масшта-

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

90 ГЛАВА V

бы основных единиц измерения и новую систему обозначим индексом (2). Тогда, очевидно,

Π (1) = Π (2) Π (1) = Π (2) . i i ,

По определению немецкого физика Р. Поля, «физическая величина – произведение числового значения на единицу этой величины». Иначе го- воря, Y = y[y], где Y – физическая величина, y – ее числовое значение в единице измерения [y]. Очевидно, что изменение параметра Y по тем же правилам, по которым изменяется единица измерения [y], приводит к оди- наковому изменению численного значения y. Действительно, например, плотность среды ρ определяется как отношение ее массы m к занимаемому объему V , то есть

Уменьшим единицу массы в 10 раз, а единицу измерения длины увели- чим в 10 раз. Тогда численное значение плотности увеличится в 10/(10 –1)3 = = 104 раз. Увеличим теперь массу среды в 10 раз, а линейные размеры за- нимаемого ею объема уменьшим в 10 раз. Численное значение плотности изменится также в 104 раз.

Рассмотрим теперь два аналогичных физических явления (например, течение жидкостей в трубах), одно из которых обозначим (н) – натура, другое (м) – модель. Подберем физические параметры модели таким обра-

При выполнении условий (5.20) модельное и натурное явления назы- ваются подобными, а величины Π i – критериями подобия.

«Два явления подобны, если по заданным характеристикам одного мож- но получить характеристики другого простым пересчетом, который аналоги- чен переходу от одной системы единиц измерения к другой системе еди- ниц измерения». Л.И.Седов.

Из формул (5.16) и (5.21) для подобных явлений имеем

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Таким образом, при соблюдении подобия экспериментальное иссле- дование какого-либо физического явления может быть заменено исследо- ванием его модели, что в ряде случаев является весьма целесообразным или даже единственно возможным.

Требование выполнения условий (5.20) показывает, какие значения па- раметров процесса должны быть подобраны при модельных исследованиях, то есть определяют характеристики модели, обеспечивающие соблюдение подобия.

Формула (5.22) дает правило пересчета результата модельных иссле- дований а(м) на натуру – а(н).

§6. Параметры, определяющие класс явлений

Так как математическая зависимость величины а от величин а1, а2, ..., аn в формуле (5.14) может иметь разный вид, то есть описывать различ- ные физические процессы, то величины а1, а2, ... , аn называются пара- метрами, определяющими класс явлений. Параметр а называется опре- деляемым.

В тех случаях, когда известна математическая модель физическо- го процесса, таблица параметров, определяющих класс явлений, выпи- сывается из уравнений, начальных и граничных условий, его опреде- ляющих, то есть выписывается совокупность размерных и безразмер- ных величин, задание которых необходимо и достаточно для решения задачи. Размерные константы также входят в число определяющих па- раметров.

Если математическая модель явления отсутствует, то таблица оп- ределяющих параметров может быть составлена на основании общих качественных соображений и данных эксперимента (если таковые име- ются).

Система параметров, определяющих класс явлений, должна обладать свойством полноты. Это значит, что она должна содержать параметры, че- рез размерности которых могут быть выражены размерности определяе- мых параметров.

Так, нельзя утверждать, что сила F, действующая на какое-либо тело со стороны жидкости, есть функция только ее плотности ρ и скорости те- чения v, то есть, что F = f(ρ ,v). В самом деле, равенство

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

как легко видеть, не может иметь места ни при каких значениях α и β . Од- нако можно утверждать, что F = f(l,ρ ,v), где l – какая-либо величина, имеющая размерность длины. Действительно, в этом случае

Аналогично, нельзя сказать, что касательное напряжение τ есть функ- ция плотности жидкости и градиента скорости, так как

В то же время можно утверждать, что τ = f(ρ , l, v), так как

§7. Примеры на применение П-теоремы

1. Колебания математического маятника. Математичес- кий маятник представляет собой материальную точку мас- сой m, которая подвешена на невесомой и нерастяжимой нити длиной l, неподвижно закрепленной в точке O (рис. 5.1). Уравнения плоских колебаний такого маятника при отсут- ствии сопротивления, как известно, имеют вид

где ϕ – угол между нитью и вертикалью, N – натяжение нити, g – ускоре- ние силы тяжести. Из уравнения (5.23) и начальных условий (5.24) следует, что система параметров, определяющих класс явлений, такова

ϕ o, m, l, g, t

и, следовательно,

ϕ = ϕ (ϕ o, m, l, g, t), N = N( ϕ o, m, l, g, t) .

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Примем в качестве параметров с независимыми размерностями вели- чины m, g, l. Тогда в соответствии с П-теоремой, то есть равенствами (5.16) и (5.18), будем иметь

Из опыта известно, что колебания математического маятника имеют

период τ. Тогда

τ = τ (ϕ o , m, l, g) ,

или, после перехода к безразмерным величинам,

Так как из-за симметрии колебаний τ (ϕ o) = τ( − ϕ o) , то функция τ (ϕ o) – четная, и, разлагая ее в ряд, имеем

τ (ϕ ) = C1 + C2ϕ 2 + C3ϕ 4 +

o o o …

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

94 ГЛАВА V

Пренебрегая для малых колебаний (ϕ 0 < < 1) членами порядка ϕ о2 и выше, имеем

Из теории, то есть из решения уравнений (5.23) приϕ 0 < < 1, известно, что С1 = 2π .

2.Уравнение Клапейрона*. Примем в качестве гипотезы, что давление p

вгазе полностью определяется его плотностью ρ , теплоемкостью сv (или сp) и абсолютной температурой Θ . Тогда

p = f(ρ , cv, Θ ) .

Величины ρ , cv, Θ обладают размерностями

то есть образуют систему параметров с независимыми размерностями. То- гда в соответствии с формулой (5.19), можем записать

Таким образом, уравнение Клапейрона основано на приведенной ги- потезе.

Рассмотренные примеры хорошо иллюстрируют возможности и сла- бости теории размерностей. Действительно, путем анализа размерностей получена структура формул для τ и p, однако численное значение кон- стант С1 и С с помощью этого анализа определить нельзя.

3. Закон фильтрации Дарси**. Предположим, что модуль скорости фильтрации w в горизонтальном однородном пласте зависит только от модуля градиента давления p , вязкости µ , пористости m и характерного

*Бенуа Поль Эмиль Клапейрон (1799–1864), французский физик и инженер, член-корреспондент Петер- бургской Академии Наук.

**Анри Дарси (1803–1858), французский гидравлик и инженер.

***Плотность жидкости входит в уравнения движения только в виде множителя при ускорении. Ускоре- ния же при фильтрации обычно пренебрежимо малы. Поэтому возможной зависимостью от плотности в соотношении (5.26) можно пренебречь.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts