Добавил:

spbguap9 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Предмет:

Добыча нефти и газа

Файл:

гидромеханика нефти

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.01.2021

Размер:

20.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 464 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ЖИДКОСТИ	75
Уравнение (4.39) представляет собой закон сохранения энергии для
вязкой сжимаемой жидкости. При µ = ζ	= 0 оно обращается в уравнение

для идеальной жидкости (4.6).

Система уравнений для вязкой сжимаемой жидкости содержит 9 неиз- вестных (ρ , µ , ζ , u, p, vi, T) и семь уравнений: уравнение неразрывнос- ти (2.32), уравнения состояния (4.7) и (4.8), уравнения движения (4.35), за- кон сохранения энергии (4.39). Для ее замыкания необходимо добавить за-

висимости
µ = µ (T), ζ = ζ ( T) .	(4.40)

§5. Математическая модель вязкой несжимаемой жидкости

Система уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости, как это следует из равенств (2.25), (4.8), (4.14), (4.35), (4.39) и (4.40), имеет вид

dρ

∂ρ

v ∂ρ =

∂

i ∂

div v =

dvi

F−

∂ p+

µ∆

+v µ +

∂

(4.41)

∂ xi

∂

v + p v

v vµ+

∂ v

Fv−

µ+

∆

µ+

v vµ+ 2 ε ε

ρ q ,

∂ xi

ij ij

u = u ( ρ ,T) ,

µ = µ ( T) ,

Эта система из восьми уравнений содержит восемь неизвестных (ρ , µ , u, T, p, vi) и является замкнутой.

Для однородной несжимаемой жидкости первое из уравнений (4.41) обращается в тождество, а плотность, как уже указывалось, является из- вестной константой.

В отличие от несжимаемой идеальной жидкости, система уравнений (4.41) не является чисто механической. Действительно, так как вязкость есть функция температуры, то последняя влияет на характер течения.

При изотермическом режиме течения вязкой несжимаемой жидкости система уравнений (4.41) существенно упрощается и принимает вид

div v =			0,

ρ	dvi	=	ρ Fi −	∂ p	+ µ ∆ vi .	(4.42)

	dt			∂ xi

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ГЛАВА IV

Эта система из четырех уравнений содержит четыре неизвестных и яв- ляется замкнутой*. Таким образом, задача об изотермическом течении не- сжимаемой жидкости, также как и задача о течении идеальной несжимае- мой жидкости, является чисто механической.

Для теоремы об изменении кинетической энергии при изотермичес- ком движении вязкой несжимаемой жидкости из формул (2.74), (2.80) и (4.38) имеем

d v

∂ pik

ρ Fv

+ vk

= ρ Fv

−

v p +

µ v∆ v .

(4.43)

∂ xi

Так как уравнения Навье-Стокса, в отличие от уравнений Эйлера, представляют собой уравнения второго порядка, то к граничным условиям (4.19) или (4.20) необходимо добавить еще одно условие. В качестве тако- вого принимается гипотеза прилипания, которая заключается в том, что на твердой стенке полагается выполненным условие

vτ = Vτ ,	(4.44)
где vτ , Vτ – касательные составляющие	скорости жидкости и стенки.

Следовательно, граничные условия для уравнений Навье–Стокса имеют

вид	vn	= Vn,	vτ	= Vτ	(4.45)

или, если стенка неподвижна,
		vn = vτ	=	0 .	(4.46)

Различие граничных условий (4.19) и (4.45) для идеальной и вязкой жидкостей приводит к весьма важным последствиям. Действительно, при вязкости, стремящейся к нулю, уравнения Навье-Стокса в пределе пере- ходят в уравнения Эйлера. Однако решения уравнений Навье–Стокса при µ = 0, ζ = 0 не переходят в решения уравнений Эйлера, так как они получены при разных граничных условиях, а граничные условия (4.45) от вязкости не зависят.

Более подробный анализ указанных обстоятельств показывает, что вязкость существенно влияет на характер течения лишь в достаточно тон- ком слое жидкости, прилегающем к твердой поверхности. Этот слой полу- чил название пограничного слоя. Вне пограничного слоя вязкостью можно пренебречь и рассматривать жидкость как идеальную.

Данные выше факты привели к созданию целого раздела гидромеха- ники – теории пограничного слоя.

* В случае неоднородной несжимаемой жидкости к уравнениям (4.42) добавляется первое из уравнений (4.41).

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ЖИДКОСТИ

§6. Работа внутренних сил. Уравнение притока тепла

Как было показано в §2.7, в уравнение для изменения кинетической энергии (2.74) входит удельная по массе мощность внутренних сил N(i) , для которой была получена формула (2.80), справедливая для любой сплош- ной среды. Подставив в нее выражение (4.37), для сжимаемой вязкой жид- кости получим

ζ −

−

ρ N(i) = − − p

div v div v

где

−

W =

−

(div v)

2µε ijε ij =	p div v − W ,(4.47)

− 2µε ijε ij	(4.48)

– мощность (удельная по объему) внутренних сил, обусловленных вязко- стью, или мощность диссипативных сил.

Используя преобразование

2µ ε ijε ij −

2 µ

(divv) 2 =

2µ

(ε112 +

ε 222 +

ε 332 )

4µ (ε122 +

ε 232 +

ε 312 )

−

2 µ (divv) 2

4µ (ε122 +

ε 312 ),

ε 232 +

= 2µ

11−

divv

ε 22

−

divv

ε 33 −

divv

перепишем равенство (4.48) в виде

W =

ζ (divv)

2µ

11−

divv

22 −

divv

33 −

divv

(4.49)

+ 4µ (ε122 + ε 232 + ε 312 ).

Так как ζ

> 0, µ

0 , то из формул (4.47) и (4.49) следует, что W > 0

и работа диссипативных сил всегда отрицательна. Если жидкость движется как твердое тело, то есть ε ik = 0 , то W = 0.

Подставив в общее уравнение притока тепла (2.88) соотношение (4.47), получим уравнение притока тепла для вязкой сжимаемой жидкости в виде

du =

qe − p div v +

(4.50)

Из закона об изменении кинетической энергии (2.14) и формулы (4.47)

следует, что при отсутствии внешних сил

dK =

d ∫ ρ

dV =

∫ ρ N(i) dV =

∫

( p div v − W)dV ,

(4.51)

dt V

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ГЛАВА IV

то есть кинетическая энергия в этом случае изменяется только за счет ра- боты внутренних сил.

Для вязкой несжимаемой жидкости формула (4.51) на основании ра- венства (4.49) принимает вид

dK = − ∫ W dV = − ∫ 2µ ε ijε ij dV .
dt	V	V

Так как W> 0, то за счет работы внутренних сил кинетическая энергия убывает. Предельное значение W= 0 осуществляется при ε ik = 0 . Следова- тельно, при отсутствии внешних сил предельным движением вязкой не-

сжимаемой жидкости будет движение твердого тела, при котором		dK	=	0 .

		dt
Рассмотрим некоторые частные виды уравнения притока тепла и ра-
боты диссипативных сил.
1. Жидкость идеальная и несжимаемая, то есть µ = 0, ζ =				0 .
	0 , div v =

Из формул (4.47), (4.48) и (4.50) имеем

N(i) = 0, W = 0, du = qe . dt

Следовательно, работа внутренних сил, в том числе диссипативных, равна нулю. Внутренняя энергия может изменяться только за счет подвода тепла.

2. Жидкость идеальная, сжимаемая. В соответствии с формулами (4.47), (4.48) и (4.50) имеем

N(i)

p div v,

W =

du =

qe − p div v .

Из уравнения неразрывности следует, что

− ρ div v .

Тогда

N(i) = −

dρ

= qe +

dρ

ρ 2

ρ 2 dt

При расширении

dρ

0 и N(i)

> 0 . При сжатии

dρ

> 0 и N(i) <

0 .

Если процесс адиабатический, то есть протекает без подвода тепла, то qe =

0 .

При сжатии

и происходит нагрев жидкости, при расширении – ох-

лаждение.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ЖИДКОСТИ

3. Жидкость вязкая несжимаемая. Из формул (4.47), (4.48) и (4.50) получаем

N(i) = −	W	, W = 2µ ε ikε ik = 2µ (ε 112			+	ε 222 + ε 332 ) + 4µ (ε 122 + ε 212 + ε 132 ) > 0,
N(i) = −	ρ	, W = 2µ ε ikε ik = 2µ (ε 112			+	ε 222 + ε 332 ) + 4µ (ε 122 + ε 212 + ε 132 ) > 0,
	ρ					(4.50)
						(4.50)
			du	= qe	+		W	.
				= qe	+			.
			dt				ρ

Работа внутренних сил обусловлена только диссипацией. При qe = 0 работа диссипативных сил идет на увеличение внутренней энергии, то есть на нагревание жидкости.

Из рассмотренных примеров видно, что анализ работы внутренних сил приводит к важным результатам. Так, работа (мощность) равна нулю толь- ко при движении идеальной несжимаемой жидкости. В случае идеальной сжимаемой жидкости эта работа может приводить как к увеличению, так и к уменьшению внутренней энергии. При движении вязкой несжимаемой жидкости работа внутренних сил сводится к работе сил трения и всегда от- рицательна. Наличие трения приводит к нагреванию жидкости.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Глава V

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЯ

«В теории размерностей и подобия устанавливаются условия, которые затем соблюдаются в опытах с моделями, и выделяются характеристики и удобные параметры, определяющие основные эффекты и режимы про- цессов. Вместе с тем, сочетание соображений теории размерностей и подо- бия с общим качественным анализом механизма физических явлений в ря- де случаев может служить плодотворным теоретическим методом иссле- дования». Л.И.Седов*.

§1. Системы единиц измерения. Размерность

Для количественного описания какого-либо физического явления не- обходимо выразить его характеристики при помощи чисел. Эти числа по- лучаются путем измерения, т.е. сравнения (прямого или косвенного) изме- ряемой физической величины с соответствующим эталоном, принятым за единицу измерения. При этом, очевидно, численное значение измеряемой величины зависит от единицы измерения, т.е. от величины принятого эта- лона. Так, продолжительность суток может быть выражена числами: 1 (сут-

ки), 24 (часа), 1440 (минут), 86400 (секунд).

Если численное значение физической величины зависит от единиц из- мерения (величин эталонов), то такая величина называется размерной. При- мерами размерных величин могут служить скорость, время, длина и т.п.

Величины, численное значение которых не зависит от единиц измере- ния, называются безразмерными. Примерами безразмерных величин могут служить отношение длины окружности к ее радиусу, отношение плотности какого-либо вещества к плотности воды и т.п. Если выбрать независимо друг от друга эталоны единиц измерения достаточного количества физичес-

* Леонид Иванович Седов (1907–1999) – крупнейший российский гидромеханик, действительный член Российской академии наук. Труды по механике сплошных сред, гидроаэродинамике, газовой динамике, теории размерностей и подобия.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЯ

ких величин, описывающих, например, механические явления, то на их ос- нове с помощью физических законов и определений можно установить единицы измерения всех величин, входящих в описание рассматриваемых явлений. Например, в соответствии со вторым законом Ньютона, сила равна произведению массы на ускорение, следовательно, единица силы не нужда- ется во введении своего эталона, а может быть определена через единицы длины, массы и времени.

Единицы измерения, вводимые с помощью эталонов, которым, по оп- ределению, присваивается числовое значение, равное единице, называются основными единицами измерения.

Единицы измерения величин, которые получаются из основных еди- ниц измерения с помощью соответствующих физических законов или из определений этих величин, называются производными единицами измере- ния.

Совокупность основных единиц измерения, достаточная для изме- рения всех физических величин, используемых для описания некото- рого класса физических явлений, называется системой единиц измере- ния.

Выбор как основных единиц измерения, так и систем единиц измере- ния достаточно произволен. Например, в механике и ее приложениях ис- пользуются системы см, г, сек (СГС), м, кг, сек (СИ), м, кгс, сек (МКСС). Немецким физиком Г.Герцем была предложена система единиц измерения, в основу которой были положены единицы длины, массы и энергии. Мож- но построить для механики системы единиц, содержащие как больше, так и меньше трех основных единиц измерения. Поэтому критерием выбора основных единиц измерения и их количества в системе единиц измерения является удобство их применения на практике.

В приведенных примерах системы СИ и СГС в качестве основных еди- ниц измерения содержат эталоны одной физической природы – длины, массы, времени, которые отличаются друг от друга только величиной эта- лонов. Системы МКСС и Г.Герца имеют другой набор эталонов – длины, силы, времени или длины, массы, энергии.

Совокупность систем единиц измерения, отличающихся между собой только величиной эталонов, но не их физической природой, называется классом систем единиц измерения. В соответствии с данным определением системы СИ и СГС принадлежат к одному классу, а системы СИ и МКСС – к разным классам систем единиц измерения.

Введем для обозначения длины символ L, массы – M, времени – T, си- лы – F. Тогда класс систем единиц измерения, к которому принадлежат системы СИ и СГС, обозначим как LMT, класс, к которому принадлежит система МКСС – как LFT.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ГЛАВА V

Размерность физической величины ϕ обычно обозначается симво- лом [ϕ ]* и представляет собой выражение производной единицы измерения через основные.

В соответствии со вторым законом Ньютона в классе МКСС размер-

ность массы m равна [m]=	[F]	=	FT2	, где F – сила, а – ускорение, а в клас-

	[a]		L

се MLT – [m] = M.

Плотность ρ вещества, по определению, представляет собой отноше- ние массы m к объему V . Поэтому в классах MLT и МКСС имеем, соответ- ственно,

[ρ ] =	[m]	=	M	, [ρ ] =	[m]	=	FT2	.
			3				4
	[V] L				[V] L

Из приведенных примеров видно, что в классе MLT единица массы является основной, а в классе МКСС – производной. Размерность плотно- сти в классах MLT и МКСС имеет разный вид. Отсюда следует, что гово- рить о том, является ли какая-либо единица измерения основной или про- изводной, а также говорить о ее размерности можно только применитель- но к рассматриваемому классу единиц измерения.

Уменьшим единицу измерения массы в α раз, а единицу измерения длины – в β раз. Тогда число, выражающее величину массы, увеличится

вα раз, а длины – в β раз. Следовательно, число, выражающее величину плотности, как это вытекает из ее размерности в классе MLT, изменится

вα β − 3 раз. Аналогично можно рассмотреть масштабы пересчета числен- ных значений и для других физических величин.

Таким образом, размерность физической величины представляет собой функцию, которая определяет, во сколько раз изменится численное значение этой величины при переходе от исходной системы единиц измерения к дру- гой системе внутри данного класса.

§2. О формуле размерности

Исходным пунктом для вывода формулы размерности является утвер- ждение, что внутри заданного класса все системы единиц измерения равно- правны. Отсюда следует, что отношение двух численных значений какой- либо производной величины не зависит от выбора масштабов основных

* щЪУ У·УБМ‡˜ВМЛВ ·˚ОУ ‚‚В‰ВМУ е‡НТ‚ВООУП.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЯ

единиц измерения внутри данного класса систем единиц измерения. На- пример,

	S1м2	=	S1см2	,	ρ 1кг/м3	=	ρ 1г/см3	,

	S2м2		S2см2		ρ 2кг/м3		ρ 2г/см3
где S1 , S2 – площади каких-либо фигур; ρ 1, ρ 2 – плотности двух различных
сред.
Пусть – u = f(x, y, z)			некоторая производная размерная величина,

а x, y, z – численные значения основных единиц измерения, например, длины, массы и времени. Пусть u′ – значение величины u, соответст- вующее значениям аргументов x′, y′, z′. Уменьшим основные единицы

измерения, соответственно, в α , β , γ								раз. Тогда на основании исходно-
го утверждения				f(x, y, z)				f(α x, β y,γz)
		u
			=	f(x′, y′, z′)			=	f(α x′, β y′,γz′)		,
		u′
откуда
	f(α x, β y,γz)				=	f(α x′, β y′,γz′)			= ϕ (α , β ,γ ) .		(5.1)

	f(x, y, z)					f(x′, y′, z′)

Таким образом, отношение численных значений производной вели- чины, полученных в разных масштабах основных единиц, зависит толь- ко от отношения этих масштабов. В соответствии с приведенным выше определением функция ϕ (α ,β ,γ) представляет собой размерность вели- чины u.

Из формулы (5.1) следует, что

ϕ (α 1, β 1,γ 1) =	f(α 1x, β 1y,γ 1z)
ϕ (α 1, β 1,γ 1) =		f(x, y, z)	,
		f(x, y, z)
или
		ϕ (α 1, β 1,γ 1)	=
		ϕ (α 2, β 2,γ 2)	=

ϕ (α 2, β 2,γ 2) =		f(α 2x, β 2y,γ 2z)
		f(x, y, z)

f(α 1x, β 1y,γ 1z)
f(α 2x, β 2y,γ 2z)	.		(5.2)

Положим α 2x = x′, β 2y =

y′, γ 2z =

z′ . Тогда из формул (5.1)

и (5.2)

имеем

β 1

γ 1

ϕ (α 1, β 1,γ 1)

x′,

y′,

z′

β 2

γ 2

α 1

β 1

γ 1

(5.3)

ϕ (α 2, β 2,γ 2)

f(x′, y′, z′)

α 2

β 2

γ 2

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ГЛАВА V

Дифференцируя равенство (5.3) по α 1, получаем

∂

α 1

β 1

γ 1

∂

(

)

β 1

γ 1

ϕ (α 2 , β 2 ,γ 2 )

ϕ α

∂ α 1

α 2

∂

α 1

α 2

Пусть теперь α 1 = α 2 = α , β 1 = β 2 =β , γ1 = γ2 = γ. Тогда

∂ ϕ (α , β ,γ )

ϕ (α , β ,γ )

∂ α

где

∂ ϕ

β 1

γ 1

β 2

m =

γ 2

const .

∂

α 1 =

β 1

γ 1

= 1

α 2

β 2

γ 2

Интегрируя равенство (5.4) по α , находим

ln ϕ = mlnα + ln C1(β ,γ ) ,

откуда

ϕ = α mC1(β ,γ ) .

Подставив соотношение (5.5) в равенство (5.3), имеем

α 1

m C1(β 1,γ 1)

α 1

β 1

γ 1

α 2

C1(β 2,γ 2)

α 2

β 2

γ 2

(5.4)

(5.5)

(5.6)

т.е. имеем уравнение того же вида, что и соотношение (5.3). Продолжая ана- логичные рассуждения, т.е. дифференцируя выражение (5.6) по β 1 и т.д., по- лучаем:

ϕ = Cα mβ nγ l .

Из формулы (5.1) следует, что при α = β = γ = 1 ϕ	= 1. Таким обра-
зом, С=1, и формула размерности приобретает вид
ϕ = α mβ nγ l .	(5.7)

Таким образом, доказано, что формула размерности физической вели- чины имеет вид степенного одночлена.

Из формулы (5.7) следует, что для безразмерных величин m = n = l = 0

ϕ =1.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 464 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Добыча нефти и газа

#
10.01.20214.54 Mб82Гидродинамические исследования скважин Курс лекций.pdf
#
10.01.2021459.11 Кб19ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН НА ПРИОБСКОМ МЕСТОРОЖДЕНИИ.pdf
#
07.02.20211.03 Mб21ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН-1.pdf
#
10.01.2021353.18 Кб33Гидродинамические методы исследования скважин.pdf
#
02.01.202138.63 Mб20Гидродинамическое исследование скважин.pdf
#
02.01.202120.67 Mб24гидромеханика нефти.pdf
#
07.02.20211.34 Mб28Гидроочистка сырья.pdf
#
03.02.20211.46 Mб6гидроочистки сырья.pdf
#
24.01.2021452.97 Кб12Гидроразрыв пласта при КРС.pdf
#
24.01.2021271.57 Кб10Гидроразрыв пласта.pdf
#
29.01.2021304.86 Кб7Глубину превращения при термическом крекинге.pdf