Добавил:

spbguap9 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Предмет:

Добыча нефти и газа

Файл:

гидромеханика нефти

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.01.2021

Размер:

20.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 463 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ЖИДКОСТИ

Для получения теоремы об изменении кинетической энергии в идеаль- ной жидкости подставим равенство (4.5) в соотношение (2.74). Тогда имеем

	d	v2							(i)
ρ				=	ρ Fv −	div	pv	+	ρ N ,	(4.9)
ρ			2	=	ρ Fv −		pv	+	ρ N ,	(4.9)
	dt		2

где в соответствии с определением идеальной жидкости и формулой (2.87)

для мощности внутренних сил ρ N(i) имеем

ρ N(i) = − pik

∂ vk

p ∂ vi

p div v

(4.10)

∂ xi

или, с учетом уравнения неразрывности (2.32),

ρ N(i) =

p div v = −

p dρ .

(4.11)

С учетом соотношений (4.10) и (4.11) уравнение притока тепла (2.88)

может быть представлено в виде

p dρ

(4.12)

ρ 2 dt

или

p div v .

du =

−

(4.13)

Таким образом, как это видно из формул (4.12), (4.13), изменение внут- ренней энергии идеальной жидкости может происходить только за счет внешнего подвода тепла qe и изменения ее плотности (объема).

§2. Математическая модель идеальной несжимаемой жидкости

При установившемся течении жидкости и при неустановившихся дви- жениях с нерезкими изменениями скоростей изменение ее плотности на- столько мало, что им можно пренебречь. Это же относится к установивше- муся течению газа с малыми скоростями или его течению с плавными из- менениями скоростей. В этих случаях обычно используется модель не- сжимаемой жидкости.

Жидкость называется несжимаемой, если для фиксированной мате- риальной частицы ρ = const или, в соответствии с определением матери-

альной производной (1.14), если			∂ ρ		∂ ρ
	dρ	=		+ vi		= 0 .	(4.14)
			∂ t
	dt				∂ xi

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

66 ГЛАВА IV

Жидкость называется несжимаемой и однородной, если значение плотности постоянно и одинаково для всех материальных точек рассмат-

риваемого объема жидкости. В этом случае, очевидно,
	dρ	= 0,	∂ ρ	= 0,	∂ ρ	= 0 ,	(4.15)

	dt		∂ t		∂ xi

и плотность является не искомой функцией, а известной величиной, зада- ваемой при постановке задачи.

Соотношение (4.14) (или (4.15)) представляет собой уравнение со- стояния несжимаемой жидкости.

Вне зависимости от того, является ли несжимаемая жидкость однород- ной или неоднородной, для нее, как это следует из равенств (4.6), (4.14), (4.15), система уравнений движения имеет вид

			=	0,
div v
					(4.16)
	dv
ρ		=		ρ F −
					p.

В случае однородной несжимаемой жидкости система из четырех уравнений (4.16) содержит четыре неизвестных функции координат и вре- мени ( p, vi ) и, следовательно, является замкнутой. В случае неоднородной несжимаемой жидкости система (4.16) содержит пять неизвестных и для ее замыкания необходимо использовать уравнение (4.14).

Замкнутая система уравнений, описывающих движение несжимаемой жидкости, является чисто механической, то есть не содержит никаких тер- модинамических характеристик.

Закон изменения кинетической энергии (4.9) для несжимаемой жид- кости имеет вид

	d	v	2
ρ				=	ρ Fv −	v p ,	(4.17)

		2
	dt

так как в соответствии с равенством (4.10) или (4.11) в рассматриваемом

случае N(i) = 0 .
Уравнение притока тепла (4.12) или (4.13) принимает вид
	du	= qe .	(4.18)

	dt

Умножив второе уравнение (4.6) скалярно на v и вычитая полученное выражение из третьего уравнения (4.6), получим для идеальной несжимае- мой жидкости

du = qe , dt

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ЖИДКОСТИ

что совпадает с уравнением притока тепла (4.18). Таким образом, исполь- зование закона сохранения энергии или уравнения притока тепла, позволя- ет судить лишь об изменении внутренней энергии, то есть об изменении ее температуры.

Подчеркнем еще раз, что изменение температуры никак не может по- влиять на течение несжимаемой идеальной жидкости.

Граничное условие на твердых стенках для уравнения Эйлера получает- ся из условия непротекания жидкости через твердую поверхность, то есть в точках твердой поверхности должно выполняться условие

			(4.19)

v	n =	V n ,

где V – скорость движения точек твердой поверхности, – нормаль к этой n

поверхности. Если твердая поверхность неподвижна, то

vn =			(4.20)
	v	n = 0 .

Необходимо отметить, что благодаря наличию нелинейных членов вида

dA =	∂ A +	vi	∂ A , ρ div v,	div pv

dt	∂ t		∂ xi

уравнения (4.6) и (4.16) представляют собой системы нелинейных диффе- ренциальных уравнений в частных производных. Наличие нелинейностей существенно затрудняет получение точных решений уравнений гидроме- ханики даже для модели идеальной жидкости.

§3. Вязкая жидкость. Тензор напряжений в вязкой жидкости

Вязкой жидкостью называется сплошная среда, обладающая сле- дующими свойствами: 1. жидкость есть изотропная сплошная среда, то есть все направления в ней физически равноправны (свойства не за- висят от направления); 2. тензор напряжений в вязкой жидкости име- ет вид

p11 p12		p13		− p		0		0
			=						+
p21	p22	p23	=	0		− p 0			+
	p32				0	0	−
p31	p32	p33			0	0	−	p

τ 11	τ 12	τ 13
τ 21	τ 22	τ 23	, или pik = − pδ ik + τ ik ,(4.21)
	τ 32	τ 33
τ 31	τ 32	τ 33

где τ ik вязкие напряжения, которые зависят от ε ik , δ ik – дельта Кронекера. Если дополнительно положить, что зависимость между тензорами τ ik и ε ik

линейна, то вязкая жидкость называется ньютоновской вязкой жидко-

стью. Последнее означает, что каждая из девяти компонент тензора вязких напряжений должна линейным образом зависеть от всех девяти компонент

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

68 ГЛАВА IV

тензора скоростей деформаций. Указанная линейная связь в самом общем случае имеет вид

τ 11

a1111 ε 11

a1122 ε 22

a1133 ε 33

… +

a1121 ε 21 ,

τ 22

a2211 ε 11

a2222 ε 22

a2233 ε 33

… +

a2221 ε 21 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

τ 21

a1211 ε 11

a2122 ε 22

a2133 ε 33

… +

a2121 ε 21 ,

или в матричной форме

τ 11

a1111 a1122 a1133 a1123 a1113 a1112 a1132 a1131 a1121

ε 11

τ 22

a2211 a2222 a2233 a2223 a2213 a2212 a2232 a2231 a2221

ε 22

τ 33

a3311 a3322 a3333 a3323 a3313 a3312 a3332 a3331 a3321

ε 33

τ 23

a2311 a2322 a2333 a2323 a2313 a2312 a2332 a2331 a2321

ε 23

τ 13

a1311 a1322 a1333 a1323 a1313 a1312 a1332 a1331 a1321

ε 13

τ 12

a1211 a1222 a1233 a1223 a1213 a1212 a1232 a1231 a1221

ε 12

τ 32

a3211 a3222 a3233 a3223 a3213 a3212 a3232 a3231 a3221

ε 32

τ 31

a3111 a3122 a3133 a3123 a3113 a3112 a3132 a3131 a3121

ε 31

ε 21

τ 21

a2111 a2122 a2133 a2123 a2113 a2112 a2132 a2131 a2121

или, используя соглашение о суммировании,

τ ij =

aijklε kl .

Для изотропной сплошной среды совокупность компонент aijkl , ко-

торые образуют тензор четвертого ранга, должна быть такой, чтобы на лю-

бом ортогональном преобразовании системы координат матрица aijkl не изменяла свой вид. Это ограничение позволяет установить явный вид тен- зора aijkl и определить связь между тензорами τ ik и ε ik .

Коэффициенты aijkl должны удовлетворять условиям симметрии, ко-

торые следуют из симметрии тензоров напряжений и скоростей дефор- маций. Поэтому коэффициенты aijkl должны удовлетворять условиям aijkl = ajikl = ajilk = aijlk. Кроме этого, для aijkl выполняется условие пере- становочности пар индексов ij и kl . Поэтому имеем симметрию индек-

сов

aijkl = ajikl = ajilk = aijlk = aklij = alkij = alkji = aklji .

(4.22)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ЖИДКОСТИ

Условия симметрии (4.22) уменьшают число независимых компонент тензора aijkl :

τ 11		a1111a1122 a1133a1123a1113a1112 a1123a1113a1112	ε 11
τ 22		a1122 a2222 a2233a2223a2213a2212a2223a2213a2212	ε 22

τ 33		a1133a2233a3333a3323a3313a3312a3323a3313a3312	ε 33
τ 23		a1123a2223a3323a2323a2313a2312a2323a2313a2312	ε 23
τ 13	=	a1113a2213a3313a1323a1313a1312a1323a1313a1312	ε 13		.
τ 12		a1112 a2212 a3312 a1223a1213a1212a1223a1213a1212		ε 12
				ε 32
τ 32		a1123a2223a3323a2323a2313a2312a2323a2313a2312		ε 32
τ 31		a1113a2213a3313a1323a1313a1312a1323a1313a1312		ε 31
				ε 21
τ 21		a1112 a2212 a3312 a1223a1213a1212a1223a1213a1212		ε 21

Нетрудно видеть, что три последних строки и столбца в матрице совпа- дают с тремя предыдущими, и матричное представление можно упростить

τ11

a1111a1122a1133a1123a1113a1112

ε11

τ 22

a1122a2222a2233a2223a2213a2212 ε 22

τ 33

a1133a2233a3333a3323a3313a3312

ε 33

(4.23)

ε 23

τ 23

a1123a2223a3323a2323a2313a2312

ε13

τ13

a1113a2213a3313a1323a1313a1312

ε12

τ12

a1112a2212a3312a1223a1213a1212

Таким образом, при выполнении

условий симметрии (4.22) в общем слу-

чае линейная связь между симметрич-

ными тензорами второго ранга содер-

жит

независимый коэффициент

(константу) aijkl . Пусть матричное ра-

венство (4.23) записано в «старой сис-

теме координат» Ox1x2x3 (рис. 4.1).

Сделаем

преобразование

координат

1 =

= − 2

3 =

(зеркальное

x′

x ,

x′

, x′

отражение в плоскости Ox1x3 ), которое

Рис. 4.1

задается матрицей преобразования

− 1

α ij = 0

0 .

(4.24)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ГЛАВА IV

Согласно требованию, накладываемому на матрицу коэффициентов aijkl ,

компоненты матрицы не должны изменяться на любом ортогональном преобразовании. Поэтому должно выполняться равенство

a′	= α α	α α	a	= a	(4.25)
ijkl	in	jm	kt lr nmtr	ijkl

компонент в новой и старой системах координат. Рассмотрим, какое усло- вие накладывает на компоненты матрицы aijkl равенство (4.25) на преоб-

разовании (4.24). Для примера рассмотрим компоненту a1222 . Имеем

a1222 = α 1i α 2j α 2k α 2l aijkl .

После подстановки в последнее равенство компонент матрицы преобразо- вания (4.24) получим

a1222 = − a1222 .

Поэтому условие (4.25) выполняется только при a1222 = 0 . Аналогично мож-

но показать, что для выполнения условия (4.25) на преобразовании (4.24) должны быть равны нулю все компоненты матрицы aijkl , которые содер-

жат нечетное число индексов 2. Рассмотрев преобразования

	− 1 0			0		1 0				0
α ij =					α ij =
	0		1	0 и		0		1		0 ,
		0	0	1			0	0	−
										1

получим новые ограничения на компоненты матрицы aijkl , которые сведутся

к тому, что должны быть равны нулю все компоненты, содержащие нечетное число индексов 1 и 3. Следовательно, равенство (4.23) примет вид

τ 11		a1111		a1122	a1133	0	0	0	ε 11
										ε 22
τ 22		a1122		a2222	a2233	0	0	0		ε 22
τ 33	=	a1133		a2233	a3333	0	0	0		ε 33
	=									ε 23	.
τ 23			0	0	0	a2323	0	0		ε 23
			0	0	0	0		0		ε 13
τ 13			0	0	0	0	a1313	0		ε 13
			0	0	0	0	0			ε 12
τ 12			0	0	0	0	0	a1212		ε 12

Новые ограничения на компоненты матрицы можно получить, рассмот-

рев матрицы преобразования
	0	1	0			0	1	0		0	0	1
α ij =				α ij	=				α ij =
α ij =	0	0	1 ,	α ij	=	1	0	0 ,	α ij =	1	0	0 .
	1	0	0			0	0	− 1		0	1	0

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ЖИДКОСТИ

Выполнение условия (4.25) на этих преобразованиях приведет к тому, что должны выполняться равенства

a1111 = a2222	=	a3333 , a1122			=	a1133	=	a2233 ,		a2323 =		a1313 =		a1212 ,
и матричное равенство принимает вид
τ 11		a1111		a1122		a1122	0	0		0	ε 11
τ 22		a1122		a1111		a1122	0	0		0	ε 22
τ 33		a1122		a1122		a1111	0	0		0		ε 33		(4.26)
		=					a1212 0					ε 23	.	(4.26)
τ 23			0	0		0	a1212 0			0		ε 23
												ε 13
τ 13			0	0		0	0	a1212		0		ε 13
			0	0		0	0	0		a1212		ε 12
τ 12			0	0		0	0	0		a1212		ε 12
Наконец, рассмотрев преобразование, представляющее поворот на
угол 120о относительно оси z
					−	1 2		3 2	0
			α ij =
			α ij =	−		3 2	− 1 2 0 ,
						0		0	1
						0		0	1

получим, что должно выполняться равенство

a1212 = 1 (a1111 − a1122) .

Полагая a1111 = λ + 2µ , a1122= λ , получим, что a1212 = µ (коэффи- циенты λ и называются константами Ламе).

Матрица коэффициентов в равенстве (4.26) в индексной форме записи представляется в виде

aijkl = λ δ ijδ kl + µ (δ ikδ jl + δ ilδ jk ).

(4.27)

Подстановка тензора (4.27) в равенство (4.21) даст явный вид связи между тензорами ε ik и τ ik для изотропной вязкой жидкости. Представле- ние тензора вязких напряжений в матричной форме имеет вид

τ 11

τ 12

τ 13

ε 11

τ 22

τ 23

2µ

ε 21

τ 21

div v

τ 32

ε 31

τ 31

τ 33

а в индексной форме задается равенством

τ ij	= λ div vδ ij + 2µε	ij , ε kk =	div v .

ε 12	ε 13
ε 22	ε 23	,	(4.28)
ε 32	ε 33
ε 32	ε 33
			(4.29)

Подставив равенство (4.29) в формулу (4.21), получим окончательно

pij = − pδ ij + [λ δ ijδ kl + µ (δ ikδ jl + δ ilδ jk )]ε ij = − pδ ij + λ δ ijε kk + 2µε ij .(4.30)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

72	ГЛАВА IV
Из формулы (4.29) видно, что вязкие свойства жидкости определяют-
ся двумя коэффициентами λ
	и µ . Если жидкость несжимаема, то div v = 0 ,

и для несжимаемой жидкости имеется только один коэффициент µ . Как следует из формулы (4.29), коэффициент µ влияет не только на касатель- ные, но и на нормальные напряжения.

Просуммировав выражения (4.30) для нормальных напряжений pkk , получим

p11 +

p22 +

p33

− p + λ +

div v

= − p + ζ div v .

(4.31)

Величина ζ

λ +

называется коэффициен-

том второй, или объемной, вязкости. В кинетической

теории газов доказывается, что для одноатомных га-

зов ζ

= 0 , но вообще ζ

≠

0 .

Из формулы (4.31) следует, что для несжимае-

мой жидкости давление есть среднее арифметичес-

кое нормальных напряжений.

Рассмотрим в качестве примера установив-

шееся течение, для которого поле скоростей имеет

Рис. 4.2

вид (рис. 4.2)

v1 =

kx2,

v2 = v3 = 0 .

(4.32)

Из равенств (4.32) следует, что							, ε 11 = ε 22 =
div v	=	∂ i	= 0,	ε 12 =	1 ∂ 1		, ε 11 = ε 22 =
		v				v
		∂ xi			2 ∂ x2

откуда, в соответствии с формулами (4.29), имеем

p12 = µ	∂ v1	, p11 = p22 = p33 = − p,

	∂ x2

ε 33 = ε 13 = ε 23 = 0 ,

p13 = p23 = 0 .

Таким образом, в рассматриваемом течении происходит только ска- шивание углов, и это течение называется простым сдвигом. Величина

2ε 12	=	∂ v1	, как было ранее доказано, представляет собой скорость скаши-
2ε 12	=
		∂ x2
вания координатного угла и называется скоростью сдвига.
	Из формул (4.32) следует, что линии тока – прямые x2 = const .
	В соответствии с формулой (3.38) имеем

				1		e1		e2		e3
				1		∂		∂		∂
			ω =		rotv =						= − e3k,
			ω =	2	rotv =	∂ x1		∂ x2		∂ x3	= − e3k,
						kx2	0		0

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ЖИДКОСТИ

то есть рассматриваемое течение, несмотря на наличие прямолинейных линий тока, является вихревым.

Выражение p12 = µ	∂ v1	представляет собой известный закон трения

	∂ x2

Ньютона, где µ – динамический коэффициент вязкости.

Для газов коэффициент µ часто определяется формулой µ = µ o	T ,
	T
	o

где Т – абсолютная температура. Более точная формула (формула Сатер- ленда) имеет вид

µ = µ 1 +
	C To	T ,
1 +	C T	To

где С – константа, различная для разных газов.

Из приведенных формул видно, что с ростом температуры вязкость газа возрастает. Для жидкостей, наоборот, с ростом температуры вязкость уменьшается.

Так как при течении жидкостей (газов) температура зависит от коор- динат и времени, то коэффициенты вязкости также являются функциями координат и времени.

§4. Уравнения движения вязкой жидкости

Для вывода уравнений движения вязкой жидкости воспользуемся урав- нениями движения сплошной среды (2.43).

Учитывая, что λ

−

µ , из формул (4.29) имеем

∂ pij

∂

−

div v

ij +

2µ ε ij

∂ xi

∂

∂ (µε

ij )

−

p +

−

µ div v δ

ij + 2

∂ xi

В соответствии с формулами (3.5) имеем

∂ (µε

ij )

∂ µ

∂

∂ vj

∂

∂ vi

∂ vj

+ µ

∂ xi

∂ xj

∂ xi

∂ xj

∂ xi

∂

∂ xi

∂

div v + µ ∆

vj ,

где ∆ – оператор Лапласа*.

∂ xj

(4.33)

(4.34)

* Пьер Симон Лаплас (1749–1827), французский физик, астроном и математик. Иностранный почетный член Петербургской Академии Наук.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

74 ГЛАВА IV

Подставив соотношения (4.33) и (4.34) в уравнения (2.43), получим

dvj

= ρ F

−

∂ p

+ µ ∆ v

∂

−

∂

div v

∂ xj

(4.35)

µ vj + µ

∂ v

∂ xj

Уравнения (4.35) называются уравнениями Навье–Стокса* для вязкой сжимаемой жидкости. При µ = ζ = 0 они обращаются в уравнения Эйле- ра (4.6). Уравнения Навье–Стокса, в отличие от уравнений Эйлера, пред- ставляют собой нелинейные уравнения второго порядка.

Для вывода уравнения для закона сохранения энергии для вязкой сжи- маемой жидкости вычислим предварительно величину

∂

( pi v)

∂ ( pij vj )

∂ vj

∂ pij

= pij

(4.36)

∂ xi

Из формул (3.5) и (4.29) следует, что

∂ vj

∂

pij

−

µ div v δ ij +

2µε

∂ xi

∂

∂ vj

−

p +

−

µ div v

2µε

(4.37)

∂ xj

∂

−

p +

−

div v div v

+ 2µε

ijε ij .

На основании формул (4.33) и (4.34) имеем

∂ v

∂ pij

−

p + ζ

−

µ div v

+ vj

vj µ

∂

∂ xj

(4.38)

µ v (div v)

+ µ v∆ v.

Подставив выражения (4.37) и (4.38) в уравнение (2.65) и используя

известную форму векторного анализа

div ϕ

v =

div v +

получим

div

+ vj µ vj +

ρ Fv +

ζ −

v v

u +

− p

(4.39)

(divv)

µ v∆

v +

2µε ijε ij +

ρ qe .

∂ v + µ v

∂ xj

* Анри Навье (1785–1836), французский инженер и ученый.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

<<< < Предыдущая 1 23 / 463 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Добыча нефти и газа

#
10.01.20214.54 Mб82Гидродинамические исследования скважин Курс лекций.pdf
#
10.01.2021459.11 Кб19ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН НА ПРИОБСКОМ МЕСТОРОЖДЕНИИ.pdf
#
07.02.20211.03 Mб21ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН-1.pdf
#
10.01.2021353.18 Кб33Гидродинамические методы исследования скважин.pdf
#
02.01.202138.63 Mб20Гидродинамическое исследование скважин.pdf
#
02.01.202120.67 Mб24гидромеханика нефти.pdf
#
07.02.20211.34 Mб28Гидроочистка сырья.pdf
#
03.02.20211.46 Mб6гидроочистки сырья.pdf
#
24.01.2021452.97 Кб12Гидроразрыв пласта при КРС.pdf
#
24.01.2021271.57 Кб11Гидроразрыв пласта.pdf
#
29.01.2021304.86 Кб7Глубину превращения при термическом крекинге.pdf