Добавил:

spbguap9 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Предмет:

Добыча нефти и газа

Файл:

гидромеханика нефти

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.01.2021

Размер:

20.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 467 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ГИДРОСТАТИКА

105

Превышение абсолютного давления pабс над атмосферным pат , то есть разность

pи = pабс − pат ,

называется избыточным давлением. Величина

pв = pат − pабс при pат > pабс

называется вакуумом.

Рассмотрим некоторые примеры на применение уравнений гидроста- тики.

1. Сообщающиеся сосуды (рис. 6.3). Давление на свободных поверх- ностях с координатами z1 и z2 одинаково. Следовательно, они представ- ляют собой участки одной изобарической поверхности и в соответствии с соотношением (6.9) z1 = z2 . Этот же вывод следует из уравнения изоба-

ры (6.10).

2. Равновесие разнородных жидкостей. Пусть две несмешивающиеся жидкости с плотностями ρ 1 и ρ 2 находятся в состоянии равновесия. Давле- ние при переходе через поверхность раздела остается непрерывным. На по- верхности раздела из соотношения (6.8) имеем dp = − ρ 1g dz, dp = − ρ 2g dz

или ρ 1g dz = ρ 2 g dz . Следовательно,	dz = 0 , и граница раздела представ-
ляет собой горизонтальную плоскость	z =const.

3. Двухжидкостный манометр (рис. 6.4). Для определения разности давлений в системе, заполненной жидкостью плотности ρ 1, используется манометр с рабочей жидкостью плотностью ρ 2. В точках 4 и 5, лежащих

на горизонтальной плоскости в одной и той же жидкости,		p4	=	p5 . В со-
ответствии с соотношением (6.13) p5 = p1 + ρ 1gH ,	p4	=	p3	+	ρ 2 gh ,
p3 = p2 + ρ 1g(H − h) , откуда сразу следует, что p1 − p2 =	gh(ρ 2			−	ρ 1) .

Рис. 6.3

Рис. 6.4

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

106								ГЛАВА VI
			4. Пьезометрическая высота (рис. 6.5).
		Давление в несжимаемой жидкости можно
		измерять высотой столба этой же жидко-
		сти Hп с помощью трубки А. Такая трубка
		называется пьезометрической. Для точек 1
		и 2	имеем p1‡·Ò =	p0 ,		p2‡·Ò =		p‡Ú+ ρ gHÔ ,
		p1абс	= p2абс . Тогда
			Hп =		po	− pат	.	(6.14)
			Hп =				.	(6.14)
						ρ g
			Давление в любой точке сосуда равно
	Рис. 6.5	p =	po + ρ gh = pат	+ ρ g(Hп +				h) .
Высота Hп называется пьезометрической, а поверхность, проходящая
через	уровень в пьезометре –		пьезометрической			плоскостью. Если
po >	p‡Ú , то пьезометрическая плоскость лежит выше свободной поверх-
ности в сосуде, если po <		p‡Ú , то ниже.

5.Равновесие тяжелого газа. Для газа, находящегося в равновесии

вполе силы тяжести, из формулы (6.7) имеем

p
∫ dpρ = g(zo − z) .	(6.15)

Для вычисления интеграла в равенстве (6.15) необходимо задать зависи- мость p = p(ρ ) .

Ограничимся рассмотрением изотермического равновесия идеального газа при температуре T0 . Тогда

ρ =

RTo

и из соотношения (6.15) получаем

g(z − zo)

= −

RTo

или

g(z −

zo)

p = po

exp −

RTo

Разлагая это выражение в ряд, имеем

g(z −

zo )

g(z −

zo )

p =

−

po 1

RTo

− ... .

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ГИДРОСТАТИКА

107

Если

g(z − zo)

<< 1, то

RTo

g(z − zo)

p ≈ po 1 −

po −

g(z − zo) = po − ρ og( z − zo) , (6.16)

RTo

где ρ 0

– плотность газа при давлении

p0 и температуре T0 . Из формулы

(6.16) следует, что если z − z0

мало, то распределение давления в газе бу-

дет практически таким же, как в несжимаемой жидкости.

Для воздуха газовая постоянная R = 287

Дж

. Пусть T0 = 293° К. То-

кг оК

гда при z − z0 ≤

85 м погрешность, даваемая формулой (6.16), будет мень-

ше 1%.

§3. Относительный покой жидкости

Как уже указывалось, при рассмотрении относительного покоя жидкости под напря- жением массовой силы в уравнениях (6.2) сле- дует понимать равнодействующую напряже- ний силы тяжести и силы инерции перенос- ного движения.

Рассмотрим задачу о вращении с посто- янной угловой скоростью ω сосуда с жидко- стью вокруг вертикальной оси Oz (рис. 6.6). На элемент жидкости с массой ∆ m дейст- вуют сила тяжести и центробежная сила, на- пряжения которых равны

	= g,		= rω 2	,
Fg	= g,	Fц	= rω 2	,

где r – вектор, направленный по кратчай- шему расстоянию от оси вращения к рассмат- риваемому элементу. Проекции этих напря-

жений на выбранные оси координат Oxyz

Рис. 6.6

равны

Fx = rω 2 cos ϕ = xω 2 , Fy = rω 2 sin ϕ = yω 2 , Fz = − g .

Подставив эти значения в соотношения (6.4) и (6.5), имеем dp = ρ (ω 2x dx + ω 2y dy − g dz),

ω 2 x dx + ω 2y dy − g dz = 0 .

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

108 ГЛАВА VI

Интегрируя эти соотношения, получаем

2 x2

+ y2

ω 2r2

−

C = ρ

− ρ gz + C ,

(6.17)

p = ρ

2 x2

+ y2

2r2

−

gz =

−

gz + C1 .

(6.18)

Соотношение (6.17) дает закон распределения давления в жидкости, а соотношение (6.18) представляет собой уравнение семейства изобар, яв- ляющихся параболоидами вращения.

Для определения константы C в формуле (6.17) и уравнении свобод- ной поверхности (6.18) рассмотрим точку А пересечения свободной поверх- ности с осью 0z . Точка А имеет координаты (0, 0, z0 ), а давление в этой точ-

ке равно p0 . Тогда из (6.17) и (6.18) имеем C =							po + gzo , C1 =	gzo	и, зна-
чит,
p = po		+ ρ	ω	2r2	−	g(z −	zo ) ,		(6.19)
				2
	ω	2r2	=	g(z −		zo ) .			(6.20)
		2
Для определения высоты H параболоида положим в уравнении (6.20)
r = R, где R – радиус сосуда. Тогда для H получится выражение
		H =		ω 2R2		.
		H =		2g		.
				2g
Уравнение (6.20) можно записать в виде
	ω 2r12		= g(z1 − zo ) ,
		2	= g(z1 − zo ) ,
		2
где z1 – координата точки пересечения вертикальной прямой r =								r1	= const

со свободной поверхностью. Подставив это соотношение в (6.19), получим

p = po + ρ g(z1 − z) .

(6.21)

Таким образом, если отсчитывать координату z от свободной поверх- ности, то распределение давления по вертикали во вращающемся сосуде будет таким же, как и в покоящейся жидкости. Это объясняется тем, что проекция силы инерции на ось 0z равна нулю.

Полученный результат следует также непосредственно из формулы (6.3). Действительно, в рассматриваемом случае

∂ p = − ρ g , ∂ z

откуда после интегрирования сразу получается формула (6.21).

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ГИДРОСТАТИКА

109

Рассмотрим теперь движение замкнутого сосуда, заполненного жид-

костью, по наклонной плоскости с постоянным ускорением a (рис. 6.7).

Рис. 6.7

Проекции напряжения массовых сил на координатные оси равны

		Fx =	j cosα ,			Fy	=	0,
		Fz	=		j sinα	−	g,
где α – угол наклона плоскости к горизонту,

							j = − a . Подставив эти выраже-
ния в (6.4) и (6.5), имеем				dx + (j sinα				− g) dz],
dp = ρ [j cosα				dx + (j sinα				− g) dz],	(6.22)
	j cosα dx +			(j sinα		−	g)	dz = 0 .	(6.23)
Из соотношения (6.23), представляющего собой уравнение для семейст-
ва изобар, получаем
	dz	= tg β	=		j cosα			= const ,	(6.24)
		= tg β	=		g − j sinα			= const ,	(6.24)
	dx				g − j sinα

то есть изобары представляют собой плоскости, наклоненные под углом β к горизонту.

Интегрируя уравнение (6.22), получаем закон распределения давления

p = ρ [xj cosα + z(j sinα − g)] +		C,	C = const .
Для определения константы интегрирования C положим,				что в неко-
торой точке H(xo,0, zo)	известно давление p =	po . Тогда
p − po = ρ	[(x − xo ) j cosα + ( z −	zo) (	j sinα − g) ].	(6.25)

Рассмотрим частные случаи.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

110	ГЛАВА VI
а) Спуск по вертикальной стене, то есть случай α = π	/ 2 . Из форму-

лы (6.24) следует, что β = 0, z = const. Изобары представляют собой гори- зонтальные плоскости. Из формулы (6.25) имеем

p − po = (j − g) ( z − zo) .

При свободном падении j = g и p = po , то есть давление во всех точ- ках жидкости одинаково.

б) Скольжение сосуда по плоскости без трения. В этом случае система движется («падает») с ускорением j = g sinα , и из формулы (6.24) получа-

ем, что tg β = tg α , то есть эквипотенциали параллельны плоскости скольже- ния. Из формулы (6.25) имеем

p − po = ρ g [(x − xo) sinα − ( z − zo) cosα ] cosα .

§4. Статическое давление жидкости на твердые поверхности

Рассмотрим в жидкости какую-
либо	поверхность		АВ площадью S

(рис. 6.8). Равнодействующая R сил дав-
ления, действующих на эту поверхность,

и их момент L равны
		= − ∫ npdS,		(6.26)
	R	= − ∫ npdS,		(6.26)

		S
		− ∫ r	× npdS ,	(6.27)
	L =	− ∫ r	× npdS ,	(6.27)

		S
	– внешняя к поверхности нор-
где n	– внешняя к поверхности нор-

Рис. 6.8	маль, направленная внутрь жидкости,
		– радиус-вектор точки на АВ.
	r

В случае несжимаемой жидкости, находящейся в поле сил тяжести, давление в точках поверхности АВ в соответствии с формулой (6.13) равно

p = po + ρ gh ,

(6.28)

где po – давление на поверхности жидкости. С учетом формулы (6.14) ра- венство (6.28) может быть представлено в виде

	p = pат + ρ g(h + Hп) .		(6.29)
Пусть поверхность АВ представляет собой плоскость, наклоненную
к горизонту под углом α	(рис. 6.9). Все векторы		параллельны друг дру-
		n

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ГИДРОСТАТИКА

111

гу, и из равенств (6.26), (6.28) и (6.29) имеем

	+ ρ gh) dS =	− n∫ [ pат + ρ g( h + Hп) ] dS. (6.30)
R = − n∫ ( po	+ ρ gh) dS =	− n∫ [ pат + ρ g( h + Hп) ] dS. (6.30)

S		S
Так как
	∫ hdS =	hцтS,
	S

где hцт – расстояние от поверхности жидкости до центра тяжести плоско-

сти АВ, то из формулы (6.30) следует, что
		+ ρ ghцт)S =		+ ρ g( hцт +
R =							pцтS, (6.31)
R =	− n( po		− n[pат		Hп) ]S = − npцтS, R =		pцтS, (6.31)
где	pцт =	po + ρ ghцт	= pат +	ρ g(hцт +	Hп )	– давление в центре тяжести
АВ.

	Если сила R рассчитывается не по абсолютному давлению, а по из-
быточному, то очевидно, что				pат ) S,		( pцт − pат) S .

		R = −			R =
		R = −	n( pцт −		R =		(6.32)

Определим положение центра давления, то есть точки приложения рав-

нодействующей R. Момент Mx этой силы относительно оси Ox , проходя- щей через центр тяжести плоскости АВ (рис. 6.9), равен

Mx = λ д R = ∫ lp dS = ∫ l ( po + ρ gh) dS,

(6.33)

S S

где λ д – расстояние от центра тяжести АВ до центра давления, l – расстоя-

ние от центра тяжести до элемента dS .

Рис. 6.9

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

112 ГЛАВА VI

Из рис. 6.9 видно, что h = (lцт + l) sin α								. Подставив это выражение в
формулу (6.33), получим
λ д R = ( po +	ρ glцт sin α )∫ l dS +								ρ g sin α ∫ l2 dS .	(6.34)
				S					S
Имея в виду, что статический момент площади S относительно оси,
проходящей через ее центр тяжести, равен нулю, то есть
			∫ l dS =		0
			S
и
			∫ l2 dS =			J ,
			S
где J – момент инерции площади S относительно той же оси, из форму-
лы (6.34) получаем с учетом равенства (6.31)
λ д	=	ρ gJ		sinα =		ρ gJ			sinα .
λ д	=			sinα =					sinα .
		R				pцт S
Если расчет силы R ведется по избыточному давлению, то в соответствии
с формулой (6.32)				ρ gJ
	λ д =			ρ gJ			sinα .
Если pцт > pат, то λ д >	λ д =		( pцт − pат )S				sinα .
Если pцт > pат, то λ д >	0 и центр давления лежит ниже центра тяжести.

Рассмотрим случай криволинейной поверхности АВ. Проектируя ра- венство (6.26) на вертикальную ось 0z и какую-либо из горизонтальных осей, например, 0x, получим

Rв	=	− ∫ p cos(n, z) dS =	− ∫ p dSг ,	(6.35)
		S	Sг
Rг	=	− ∫ p cos(n, x) dS =	− ∫ p dSв ,	(6.36)
		S	S‰

где dSг, dSв – проекции dS , соответственно, на горизонтальную плоскость, перпендикулярную 0z , и вертикальную плоскость, перпендикулярную 0x .

Подставив в равенства (6.35) и (6.36) значение p из формулы (6.29),

имеем		− ∫ [ pат			Hп )] dSг
Rв	=	− ∫ [ pат	+	ρ g(h +	Hп )] dSг	=	− pат Sг	−	ρ g∫ (h +	Hп ) dSг ,(6.37)
		Sг							Sг
Rг	=	− ∫ [ pат	+	ρ g(h +	Hп )] dSв	=	− pат Sв	−	ρ g∫ (h +	Hп ) dSв .(6.38)
		Sв							Sв

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ГИДРОСТАТИКА

113

Интеграл

∫ (h + Hп) dSг = Vтд

Sг

представляет собой объем тела давления Vтд , образованный поверхно-

стью АВ, ее проекцией на пьезометрическую плоскость и вертикальными образующими. Формулу (6.37) можно представить в виде

Rв = − ( pат Sг + ρ gVтд ).

(6.39)

Интеграл

∫ (h + Hп ) dSв = (hцт + Hп ) Sв

Sв

представляет собой статический момент вертикальной проекции Sв отно- сительно пьезометрической плоскости. Поэтому из формулы (6.38) имеем

Rг = − [pат + ρ g(hцт + Hп )] Sв = − pцт Sв ,

(6.40)

где pцт – давление в центре тяжести площади Sв .

Для сил, рассчитанных по избыточному давлению, вместо формул (6.39) и (6.40) имеем

Rв = − ρ gVтд , Rг = ρ g(hцт + Hп ) Sв .

Заметим, что формула (6.31) совпадает с формулой (6.40), если в ней заме- нить S на Sв .

Примеры построения тел давления приведены на рис. 6.10. На рис. 6.10а объем тела давления, построенный на поверхности АВ, находится в жидкости. На рис. 6.10б объем тела давления лежит вне жидкости. Такое тело давления называется фиктивным и ему присваивается знак «–». На рис. 6.10в представлен случай, когда вертикальные образующие пересека- ют поверхность АВС более, чем в одной точке. Поэтому тела давления строятся отдельно для участков АВ (тело ABED) и ВС (тело CBED). Верти- кальная составляющая сил давления на АВС определяется как разность вер- тикальных составляющих сил, действующих на АВ и ВС.

Если поверхность S замкнутая и целиком погруженная в жидкость, то в соответствии с формулой (6.26) и теоремой Гаусса–Остроградского

	−	∫ np dS = − ∫		p dV ,	(6.41)
R =	−	∫ np dS = − ∫		p dV ,	(6.41)

		S	V
где V – объем жидкости,	ограниченный поверхностью S. В поле силы
тяжести в соответствии с уравнением Эйлера (6.2) p =
тяжести в соответствии с уравнением Эйлера (6.2) p =					ρ g , и из форму-
лы (6.41) получаем


R =		− g∫ ρ	dV =	− G,	(6.42)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

114

ГЛАВА VI

Рис. 6.10

где G – вес жидкости в объеме V . Формула (6.42) выражает закон Архи-

меда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила R,

равная весу жидкости в объеме погруженного тела. Сила R называется также гидростатической подъемной силой.

Из формулы (6.27) и теоремы Гаусса-Остроградского имеем

		− ∫ r	× np dS =		−	∫ rot(rp) dV .	(6.43)
	L =	− ∫ r	× np dS =		−	∫ rot(rp) dV .	(6.43)

		S				V

	= i x +	jy +	kz и,	следовательно,
Радиус-вектор r	= i x +	jy +	kz и,	следовательно,
				= −		p .
		rot(rp)		= −	r ×	p .
Подставив это соотношение в формулу (6.43) и учитывая, что							p =
Подставив это соотношение в формулу (6.43) и учитывая, что							p =	ρ g ,

= G

аg g , получаем


					G		G

L = − ∫ r	×	ρ gdV =	− ∫ r	× ρ		gdV =		× ∫ rρ gdV . (6.44)
L = − ∫ r	×	ρ gdV =	− ∫ r	× ρ	G	gdV =	G	× ∫ rρ gdV . (6.44)
V			V					V

Радиус-вектор центра тяжести объема V равен

rцт =	G1 ∫ rρ g dV ,

		V

и формулу (6.44) с учетом равенства (6.42) можно представить в виде


L =		=		× R,
L =	G × rцт	=	rцт	× R,	(6.45)

откуда следует, что линия действия гидростатической подъемной силы R проходит через центр тяжести объема V.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 467 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Добыча нефти и газа

#
10.01.20214.54 Mб82Гидродинамические исследования скважин Курс лекций.pdf
#
10.01.2021459.11 Кб19ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН НА ПРИОБСКОМ МЕСТОРОЖДЕНИИ.pdf
#
07.02.20211.03 Mб21ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН-1.pdf
#
10.01.2021353.18 Кб33Гидродинамические методы исследования скважин.pdf
#
02.01.202138.63 Mб20Гидродинамическое исследование скважин.pdf
#
02.01.202120.67 Mб24гидромеханика нефти.pdf
#
07.02.20211.34 Mб28Гидроочистка сырья.pdf
#
03.02.20211.46 Mб6гидроочистки сырья.pdf
#
24.01.2021452.97 Кб12Гидроразрыв пласта при КРС.pdf
#
24.01.2021271.57 Кб11Гидроразрыв пласта.pdf
#
29.01.2021304.86 Кб7Глубину превращения при термическом крекинге.pdf