гидромеханика нефти

Добавил:

spbguap9 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Предмет:

Добыча нефти и газа

Файл:

но, Rn → ∞ имеем −

∞ < α n < +∞ .

e− λ n (l− x) + e− λ n( l+ x)

1 + e− 2λ nl

1 + e− 2λ nl

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.01.2021

Размер:

20.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 4621 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

245

Изображение по Лапласу функции f(t) , то есть L[f(t)] и ее изобра- жение по Лапласу–Карсону K[f(t)] связаны между собой соотношени- ем

K[f(t)] = sL[f(t)].

Эта формула позволяет находить оригинал f(t) , если известно его изобра- жение L[f(t)], с помощью таблиц обращения для преобразования Лапласа– Карсона. Рассмотрим некоторые примеры использования формулы обра-

щения (13.47).

§6. Примеры расчета нестационарных процессов в трубах

Расчет нестационарных процессов в трубопроводах различного назна- чения, в частности, расчет гидравлического удара, часто сводится к зада- чам, когда по концам трубы заданы давление или скорость течения как функции времени.

Рассмотрим следующие случаи:

A. t ≥ 0, p( 0,t) = ϕ 1( t) , B. t ≥ 0, p( 0,t) = ϕ 1( t) , C. t ≥ 0, w( 0,t) = ψ 1( t) , D. t ≥ 0, w( 0,t) = ψ 1( t) ,

w( l,t) = ψ p( l,t) = ϕ w( l,t) = ψ p( l,t) = ϕ

2( )t ,

2( )t ,
2(	)t	(13.61)
		,
2(	)t	,

Начальные условия во всех четырех случаях принимаются нулевыми, то есть определяются по формулам (13.48).

Очевидно,	что	случай D сводится к случаю					А заменой y = l − x ,
ϕ 2 (t) = ϕ 1( t) , ψ	1(t) =		− ψ	2( t) . В дальнейшем будем считать, что граничные
функции ϕ i (t), ψ i( t)		могут иметь разрывы при t =					+ 0 . Из формул (13.54),
(13.56), (13.61) следует, что
в случае А	α 1	=	1,	β 4	=	1,
в случае В	α 1	=	1,	β 3	=	1,
в случае С	α 2	=	1,	β 4	=	1.

Остальные α i, β i во всех трех случаях равны нулю.

Вычислив с помощью этих соотношений определители (13.58) из фор- мул (13.60), получим:

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

246	ГЛАВА XIII

случай А

Ρ ( x,s)=	Φs 1( s−)			ϕ+1( +0)	ϕ+ 1(	0)	−F(1 l − x,)s

				− ρ c2 sΨ		2 ( s)− ψ		2+( 0+) ψ

V ( x,s) =		1	sΦ	1 ( s)− ϕ 1+(	+0)	ϕ+ 1(		0) F−3( l
V ( x,s) =			sΦ	1 ( s)− ϕ 1+(	+0)	ϕ+ 1(		0) F−3( l
		ρ c2
				+ sΨ	2 ( s)− ψ		2+(	0+) ψ +2(

случай В

+2(	0)	F2( x,)s ,

+x,)s
0)	F1( x,)s ;

Ρ ( x,s)=

Φs

1( s−)

ϕ+1( +0)

ϕ+ 1(

0) −F(4 l

+ x,)s

+ sΦ

2 ( s)−

ϕ 2+(

+0)

ϕ + 2(

F4( x,)s ,

V ( x,s)

sΦ

1 ( s)−

ϕ 1+(

+0)

ϕ+ 1(

0) F−5( l −x,)s

ρ c2

−

sΦ

2 ( s)−

ϕ 2+(

+0)

ϕ + 2(

F5( x,)s ;

ρ Ò2

случай C

Ρ ( x,s)= ρ c2 Ψs

1( s)− ψ +1(

+0) ψ + 1(

0) F−(6 l −x,)s

− ρ c2 sΨ 2 ( s)− ψ

2+(

0+) ψ +2(

F6( x,)s ,

V ( x,s)

= sΨ

1( s) − ψ

1(+

0+)

ψ +1(

0) F(−4 l x+ ,)s

+ sΨ

2 ( s)− ψ 2+(

0+)

ψ +2(

F4( x,)s ,

где

∞

Φ i (s) = ∫ ϕ i( t) e− st dt,

Ψi( s)

= ∫ ψ (i )t e− st dt,

i = 1, 2,

(y, s) =

ch λ y

F2 (y, s) =

λ sh λ y

F3 (y, s) =

sh λ y

s ch λ l

s2 ch λ l

λ ch λ l

(y, s) =

sh λ y

F5 (y, s) =

ch λ y

F6 (y, s) =

λ ch λ y

s sh λ l

λ sh λ l

s2 sh λ l

(13.62)

(13.63)

(13.64)

(13.65)

При выводе формул (13.65) было использовано вытекающее из фор- мул (13.51) соотношение

Z(s) =	ρ c2	λ .
	s

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

247

Так как выражение sΦ (s) − ϕ ( +

представляет собой изображение

функции

∂ ϕ

, то в соответствии с теоремой о свертке и формулами (13.62),

∂ t

(13.63), (13.64) имеем:

случай А

(

x,t

′

N l x,t

)θ−

′

N x,t

) = ∫

1( θ)

1( − −

ρ ψ

2( θ)

(2 −

)θ

+ ϕ 1 (+ 0) N1( −l x,t−)

ρ cψ2 +2(

0) N2( x,)t ,

w( x,t) = ∫

1′ (θ) N3( l−

x,t−

θ+)

ψ 2′(

θ) N1(

x−,t )θ

+d θ

ρ c

1 (+ 0) N3( −l x,t+)

ψ +2(

0) N1( x,)t ;

ρ c2

случай В

p( x,t) =

1′(θ) N4( l−

θ)+

ϕ2′( θ)

N(4 x−,t )θ +d θ

∫

x,t−

+ ϕ 1 (+ 0) N4( −l x,t+) ϕ +2(

0) N4( x,)t ,

w( x,t) =

1 t

1′ (θ) N5( l−

x,t−

θ−)

ϕ 2′(

θ) N5(

x−,t )θ +d θ

ρ c2 0∫

1 (+ 0) N5( −l x,t−)

ϕ +2(

0) N5(

x,)t

;

ρ c2

случай С

p(x, t)

[

′( ) N( l

)

(′

)

N( x, t

)

] d

∫

−

x, t

1 θ

− θ −

− θ

θ+

+ ρ Ò2 [ψ 1(+ 0) N6( l − x, t) − ψ 2( + 0) N(6 x,)t ],

w(x, t)

[

′( ) N

(

)

(′

)

) ]

= ∫

−

x, t

−

x, t

−

θ + ψ

θ θ+

+ ψ 1(+ 0) N4( l − x, t) + ψ 2( + 0) N(4 x,)t ,

где в соответствии с формулой обращения (13.47)

i∞

Ni (y, t)

∫ Fi (y, s)e

ds,

i =

1, 2, ... , 6 .

2π i

−

i∞

(13.66)

(13.67)

(13.68)

(13.69)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

248		ГЛАВА XIII
Функции F1, F2, F3 обладают простыми полюсами sn , соответствую-
щими корням уравнения
	ch λ l = cos iλ l = 0 ,	(13.70)
а функции F4, F5, F6 – простыми полюсами sm,		соответствующими кор-
ням уравнения
	sh λ l = − i sin iλ l = 0 .	(13.71)
Кроме того, функции F1, F2, F4 обладают простым полюсом s0 = 0 ,
функция F5	– простыми полюсами s0 = 0 и s0(1) =	− 2a , функция F6 – по-
люсом s0 =	0 второго порядка.

Из уравнений (13.70) и (13.71) и первой формулы (13.51) следует, что простые полюса sn и sm определяются по формулам

sn =

− a ±

iνn,

sm =

−

a ± iγ m,

n =

1, 2, 3, ... ,

m = 1, 2, 3, ... ,

νn =

n −

1 π c

γ m =

mπ c

(13.72)

− a

−

то есть каждому n и каждому m соответствуют два полюса.

Все корни sn и sm отвечают условиям Re sn <

0, Re sm < 0 и, следо-

вательно, в формуле (13.69) можно положить γ = 0 .

Для замыкания контура интегрирования в формуле (13.69) рассмот-

рим при вычислении функций N1, N2, N3 последовательность дуг радиуса

= π c n,

а при вычислении N4, N5, N6 – радиуса

π c 2m −

с центрами в начале координат и лежащих слева от мнимой оси комплекс- ной плоскости s . Из формул (13.72) видно, что ни один из полюсов sn не лежит на дугах радиуса Rn и ни один из полюсов sm не лежит на дугах ра- диуса Rm . Покажем, что на дуге радиуса Rn при n → ∞ величина

= ch λ x

ch λ l

ограничена. На дуге радиуса Rn

s = Rne	iθ π	≤ θ ≤	3π	.
	,		2
	2

Тогда, в соответствии с формулой (13.51), значение λ n на этой дуге будет равно

	i			R	e	i		i	θ		2a
λ n = α n +	i	β n	=	n	e		θ e		θ	+	,
λ n = α n +		β n	=							+
				c							Rn

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

249

откуда после элементарных преобразований имеем

		2	1 + 4 a	2	+ 4 a cosθ +
α n2	=	Rn	1 + 4 a		+ 4 a cosθ +
		2c2	Rn2		Rn

		2	1 + 4 a	2	+ 4 a cosθ −
β n2	=	Rn	1 + 4 a		+ 4 a cosθ −
		2c2	Rn2		Rn

Из первой формулы (13.73) видно,

2 cos2 θ−

2 cos2 θ+

что при

=	eλ n (l+ x)
	1	+

1 + 2 a Rn

1 − 2 a Rn

n → ∞

+ eλ n( l− x) e2λ nl

cosθ ,

(13.73)

cosθ .

и, следователь-

sh2

α nx +

cos2 β nx

sh2 α nl +

cos2 β nl

то при x < l Re λ n = α n → ±∞

A→ 0 . При x = l

A = 1. При α n

конечном

A – конечная величина. Условие α n = 0

выполняется, как это видно

из формулы (13.73),

только

при

cosθ =

−

. При этом

β n = ±

и cos2 β nl = cos2 π n =

1, то есть A и в этом случае – конечная величина.

Аналогично можно показать, что на дугах радиуса Rn при n → ∞

величина

sh λ x

ch λ l

а на дугах радиуса Rm при m → ∞

величины

sh λ x

ch λ x

sh λ l

ограничены. Из доказанного следует, как это видно из формул (13.65), что

при Rn →

∞ величины

равномерно стремятся к нулю, а при

Rm → ∞

равномерно стремятся к нулю величины

. Теперь,

в соответствии с леммой Жордана, для t > 0 интеграл (13.69) на основа- нии интегральной теоремы Коши можно представить в виде

Ni ( y,t) =	1	∫○Fj ( y, s) estds=
Ni ( y,t) =	2π i	∫○Fj ( y, s) estds=
		Γ k

∞
	st	,
∑Re s Fj ( y, s) e	s= sn	,
n= 0

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

250	ГЛАВА XIII
где Γk (k =	n, m) – замкнутый контур, образованный дугой радиуса Rk

и мнимой осью комплексной плоскости s . Применяя стандартную про- цедуру нахождения вычетов, после соответствующих вычислений полу- чим

N (y,t) =

e−

∞

(−

2n− 1

π y ,

1 +

ch iνnt +

sh iνnt cos

∑2n−

iνn

n= 1

(− 1)n a2 − νn2

N2 (y,t) =

2ay

− at

∞

2n− 1 π y

∑

sh iνnt +

2a ch iνnt

2 e

(2n−

iνn

sin

2 l

n= 1

N3 (y,t) =

∞

(

− 1)

2n −

π y ,

− 2

e−

at ∑

sh iνnt sin

iνn

n= 1

(13.74)

(−

N4 (y,t) =

− at

∞

∑ m

ch iγ mt

sh iγ mt sin mπ

iγ m

m= 1

(−

N5 (y,t) =

(1 −

2at)

2c2

∞

e−

e− at ∑

sh iγ mt cos mπ

2al

iγ m

N6 (y,t) =

t al ay2

∞

(− 1)m a2 −

γ m2

−

∑

sh iγ mt + 2a ch iγ mt cos mπ .

c l

m= 1

iγ m

Формулы (13.66)–(13.68) и (13.74) дают решение задач (13.61). Заметим, что при больших длинах трубопровода может иметь место случай, когда для малых значений n

2n −

π c <

a .

Тогда величина νn будет мнимой, и

2n − 1

π c 2

iνn = − νn =

−

, sh iνnt = − shνnt, ch iνnt =

chνnt .

При

2n −

π c >

νn – вещественная величина, и

sh iνnt =

i sinνnt, ch iνnt = cosνnt .

Аналогичные замечания будут справедливы и для случаев

mπ c

< a и

mπ c

> a .

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

251

§7. Гидравлический удар

Резкое изменение скорости в трубопроводе, например, при закры- тии задвижки, сопровождается соответствующим изменением давле- ния. Это явление называется гидравлическим ударом. Впервые гидрав- лический удар в идеальной жидкости был подробно исследован в 1898 г. Н.Е. Жуковским. Рассмотрим применение формул, полученных в преды- дущем параграфе, к классической задаче о гидравлическом ударе. При x = 0 расположен резервуар большой емкости, давление в котором считается постоянным. При x = l происходит изменение скорости по за- данному закону. При мгновенной остановке потока граничные условия для возмущений имеют, очевидно, вид

t ≥ 0, p(0, t) = ϕ 1( t) = 0, w( l, t) = ψ (2 )t = − w0 ,

где w0 – скорость стационарного течения.

Подставив граничные условия в формулы (13.65), получим

p(x, t) = ρ c2w0N2( x, t) ,

(13.75)

w(x, t) = −

w0N1( x, t) .

Из формул (13.74) и (13.75) следует, что решение рассматриваемой

задачи имеет вид медленно сходящихся рядов.

При a = 0 , то есть для идеальной жидкости,

νn

2n − 1

π c ,

sh iνnt = i sinνnt

и при x = l в соответствии с формулами (13.74)

N2 (l,t) =

∞

2n −

π c t =

∑

sin

, 0 < t <

, (13.76)

π c

2n −

n = 1

откуда

p(l, t) =

ρ cw0,

0 < t <

(13.77)

Соотношение (13.77) представляет собой классическую формулу

Н.Е. Жуковского для гидравлического удара в идеальной жидкости. Гра-
фик зависимости Π	=	p(l, t)	от τ	=	ct	, то есть в безразмерных координа-
		ρ cw0
					l		p(l, t)
тах, представлен	на	рис.	13.4.	Графики зависимостей Π =				от

							ρ cw0

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

252 ГЛАВА XIII

τ =	ct	при a = 0,125	c	, a =	0,25	c	, a = 0,5		c	представлены на рис. 13.5,
τ =		при a = 0,125		, a =	0,25		, a = 0,5			представлены на рис. 13.5,
	l		l			l			l
13.6 и 13.7. Заметим, что величина							2aρ w0l	представляет собой отношение
13.6 и 13.7. Заметим, что величина								представляет собой отношение
							ρ w c
							0
потерь давления на длине l					к ударному давлению, по Н.Е.Жуковскому.

Из приведенных графиков видно, что при наличии трения давление в сече-

нии x = l продолжает возрастать до момента времени t = 2l , то есть до c

момента прихода волны, отраженной от сечения x = 0 . Этот факт был ус- тановлен И.А. Чарным. При a ≥ cl волновые явления практически исче- зают.

Рассмотрим гидравлический удар при граничных условиях

где T – время торможения потока.

Из формул (13.66) и (13.78) имеем

при 0 ≤	t ≤ T
		ρ c2w	t
	p ( l, t) =	ρ c2w	∫ N2 ( l, t− θ) d θ=
		0
		T
при t >			0
при t >	T
		ρ c2w0	T
	p(l, t) =	ρ c2w0	∫ N2 (l, t − θ) dθ =
	p(l, t) =	T	∫ N2 (l, t − θ) dθ =
			0

ρ c2w			t
ρ c2w			∫ N2 ( l, θ) d ,θ
		0
	T
			0
ρ c2w0			t
ρ c2w0			∫ N2 (l,θ) dθ.
	T		∫ N2 (l,θ) dθ.

t− T

Рис. 13.4

Рис. 13.5

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

253

Рис. 13.6

Рис. 13.7

Для простоты положим в дальнейших вычислениях a = 0 . Тогда, с уче-

том формулы (13.76), получим

p(l,t)

8ρ w0l

∞

2n − 1

π c

−

∑

(2n −

cos

(13.79)

n= 1

где при t ≤

T t1 =

0 , а при t ≥ T

t1 =

t −

T .

Сумма ряда (13.79) известна и равна

∞

2n − 1

π c

π ct

∑

−

π ≤

≤ π

cos

.(13.80)

(2n − 1)

n = 1

4 2

С учетом периодичности формула (13.80) может быть представлена в

более удобном виде

∞

2n −

1 π c

π 2

F(t) ,

∑

cos

t =

− 1)

n= 1

где

1 −

+ 4k,

4k ≤

≤ 4k + 2,

F(t) =

k =

1, 2, 3, ... .

(13.81)

1 +

− 4k −

4, 4k +

2 ≤

≤ 4k + 4,

Теперь формула (13.79) может быть представлена в виде

p(l, t) =

−

ρ w0l

[F(t)

−

F( t1) ] .

(13.82)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

254

ГЛАВА XIII

Для иллюстрации применения формул (13.81) и (13.82) рассмотрим

случай T = l / c .

При t ≤ T

0 ≤

≤

1, k =

F(t) = 1−

, F(t1) =

F( 0)

= 1 и p = ρ cw0

(t − T) =

При t ≥ T область изменения величин

ct1

− 1

разобьем на отрезки и получим

1≤

ct≤

2, k=

0, F ( t=)

− 1

;

≤ 0 ≤

ct1

1,=

0, F= (−t )

p =

ρ cw0;

0, F ( t=)

ct1

0, =F −( t1)

2 ≤

≤

3, k=

+ 1 −

≤

1 ≤

2=, k

ρ cw0

p = −

−

5 ;

3 ≤	ct≤	4, k=	0, F ( t=)
	l
			p = −
4 ≤	ct≤	5, k=	1, F ( t=)
	l
			p = −

+ 1 −

≤ 2 ≤

ct1

=3, k 0, =F− ( t+

)

ρ cw0;

− 5

;

≤ 3 ≤

ct1

4, k = 0, F ( t )= −

ρ cw0

9−

и т.д. График зависимости Π =		p			τ	=		(ct) l приведен на рис. 13.8.
				от
				от
	ρ cw0
Зависимости Π от τ при T =		2l	и T =				3l	представлены на рис. 13.9
Зависимости Π от τ при T =			и T =					представлены на рис. 13.9
		c					c

и рис. 13.10, соответственно.

Рис. 13.8

Рис. 13.9

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 4621 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Добыча нефти и газа

#
10.01.20214.54 Mб82Гидродинамические исследования скважин Курс лекций.pdf
#
10.01.2021459.11 Кб19ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН НА ПРИОБСКОМ МЕСТОРОЖДЕНИИ.pdf
#
07.02.20211.03 Mб21ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН-1.pdf
#
10.01.2021353.18 Кб33Гидродинамические методы исследования скважин.pdf
#
02.01.202138.63 Mб20Гидродинамическое исследование скважин.pdf
#
02.01.202120.67 Mб24гидромеханика нефти.pdf
#
07.02.20211.34 Mб28Гидроочистка сырья.pdf
#
03.02.20211.46 Mб6гидроочистки сырья.pdf
#
24.01.2021452.97 Кб12Гидроразрыв пласта при КРС.pdf
#
24.01.2021271.57 Кб10Гидроразрыв пласта.pdf
#
29.01.2021304.86 Кб7Глубину превращения при термическом крекинге.pdf