Добавил:

spbguap9 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Предмет:

Добыча нефти и газа

Файл:

гидромеханика нефти

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.01.2021

Размер:

20.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 4619 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЙ И НАСАДКОВ	225
личину dz . Следовательно, объем вытекшей	жидкости будет ра-

вен V = − Ω dz. С другой стороны, за время dt через отверстие (насадок)

вытечет объем V =

Q dt. Приравнивая эти объемы, получим

Q dt = − Ω

(z) dz.

(12.24)

Принимая, что формула (12.12) справедлива и при неустановившемся

движении, равенство (12.24) можно представить в виде

dt = −

Ω (z) dz

(12.25)

ωµ

2gHист

или, так как в рассматриваемом случае

Hист =

z +

po − pc

ρ g

в виде

Ω

(z) dz

dt =

−

(12.26)

−

ωµ

2g z +

ρ g

Из равенства (12.26) следует, что время t

опускания уровня в резер-

вуаре от отметки z1 до отметки z2

равно

Ω (z) dz

Ω

(z) dz

t = − ∫

∫

. (12.27)

po −

po − pc

z1 ωµ

z2 ωµ

2g z

2g z +

ρ g

Примем, что коэффициент расхода

при истечении с переменным

уровнем имеет то же значение, что и при истечении с постоянным уров- нем. Кроме того, будем считать, что = const . Опыт показывает, что все введенные допущения приводят к весьма незначительным погрешностям. В соответствии со сказанным формулу (12.27) можно представить в виде

	z1			Ω (z) dz
t = ωµ	1			Ω (z) dz			pc .
t = ωµ	2g ∫		z	+	po −		pc .	(12.28)
	z2		z	+	ρ g
					ρ g
Рассмотрим некоторые примеры, принимая для простоты, что po								= pc .
1. Истечение из вертикального цилиндра (рис. 12.8). В этом слу-
чае Ω = const , и из формулы (12.28) имеем
	2Ω (		−			) .
t =	2Ω (	z1	−		z2	) .
	ωµ		2g

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

226

ГЛАВА XII

Рис. 12.8

2. Истечение из горизонтального кругового цилиндра (рис. 12.9) Из рис. 12.9 видно, что

(z −

R) 2

b =

R2 −

= 2

2Rz − z2 ,

(12.29)

а площадь свободной поверхности Ω

равна

Ω

= bL = 2L 2Rz − z2 .

Тогда из формулы (12.28) имеем при po

= pc

2Rz −

∫

t =

ωµ 2g

dz = ωµ

2g ∫ 2R − z dz =

( 2R − z2 −

2R − z1 ).

3ωµ

Рис. 12.9

Рис. 12.10

3.Истечение из сферического резервуара (рис. 12.10). В этом случае

Ω= π b2 ,

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЙ И НАСАДКОВ

227

где величина b определяется по формуле (12.29). Тогда

Ω

= π (2Rz − z2 ),

и из формулы (12.28) имеем

2Rz − z2

2π

3 2

5 2

t =

ωµ

2g ∫

dz =

ωµ

R(z1

−

) −

(z1

−

) .

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Глава XIII

НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

Обширный класс инженерных задач, таких как расчет трубопроводов различного назначения, связан с необходимостью изучения неустановив- шегося движения жидкости по трубам. Однако методы, использующие мо- дель несжимаемой жидкости и недеформируемого трубопровода, приводят к существенным расхождениям с результатами эксперимента, особенно при рассмотрении длинных линий или быстропротекающих процессов. Действительно, из уравнения (2.41) следует, что указанная модель в прин- ципе не может описывать волновые процессы, возникающие в трубах. Для их описания необходимо учитывать упругость жидкости и податливость стенок трубопровода. Это привело к выделению теории неустановившихся движений жидкости по трубам в более или менее самостоятельный раздел гидромеханики.

Законченная теория неустановившихся движений идеальной сжи- маемой жидкости по трубам была построена Н.Е.Жуковским. В даль- нейшем рядом авторов были разработаны различные приближенные ме- тоды, позволившие учесть влияние сил трения в виде поправок, вводи- мых в решение для идеальной жидкости. Используя гипотезу квазиста- ционарности, предложенную С.А.Христиановичем, И.А.Чарный* впер- вые осуществил учет сил трения непосредственно в уравнениях движе- ния жидкости. В настоящее время теория, основанная на гипотезе квази- стационарности, является общепринятой. Однако, как было показано в ряде экспериментальных и теоретических работ, гипотеза квазиста- ционарности представляет собой лишь первое приближение и имеет ог- раниченную область применений.

§1. Уравнения неустановившихся движений жидкости по трубам

Для вывода уравнений неустановившихся движений жидкости по тру- бам воспользуемся уравнением неразрывности (2.27) и законом изменения

* Исаак Абрамович Чарный (1909–1967), ученый в области гидромеханики.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

229

количества движения (2.44), то есть уравнениями
		∫	∂ ρ	dV +	∫ ρ vndS = 0 ,			(13.1)
		∫	∂ t	dV +	∫ ρ vndS = 0 ,			(13.1)
		V			S

	∂ (ρ v)

∫		dV + ∫ ρ vvndS =				∫ ρ F dV +	∫ pndS .	(13.2)
∫	∂ t	dV + ∫ ρ vvndS =				∫ ρ F dV +	∫ pndS .	(13.2)
V			S			V	S
Полагая

				pn =	− pn +	τ n ,

где τ n – напряжение трения, и используя теорему Гаусса–Остроградского,

уравнение (13.2) можно представить в виде
	∂ (ρ v)


∫		dV + ∫ ρ vvndS =	∫ (ρ F − p) dV +	∫τ ndS.	(13.3)
∫	∂ t	dV + ∫ ρ vvndS =	∫ (ρ F − p) dV +	∫τ ndS.	(13.3)
V		S	V	S

Рассмотрим в качестве объема V

участок трубы с прямолинейной осью Ox

(гидравлическая ось), ограниченный сече-

ниями f

и f1 ,

расположенными

на

рас-

стоянии dx друг от друга (рис. 13.1). Бу-

дем считать, что f =

f(x, t) , то есть, что

площадь поперечного сечения трубы за-

висит от координаты и времени. Так как

сечении f

vn = − vx ,

а в сечении f1

Рис. 13.1

= vx ,

то для выделенного элемента V

уравнение (13.1) может быть представле-

но в виде

∂ ρ

∫

dV − ∫ ρ vxdf + ∫ ρ vxdf + ∫ ρ vndω = 0 ,

∂ t

где ω – боковая поверхность элемента V .

Уравнение (13.3) в проекции на ось Oх принимает вид

∂

(ρ vx )

∫

dV − ∫ ρ vxdf +

∫ ρ vxdf +

∫ ρ vxvndω =

∂ t

∂ p

∫

−

∫

τ xxdf +

∫

τ xxdf +

∫

τ nxdω .

∂ x

ρ Fx

dV −

(13.4)

(13.5)

Очевидно, что для рассматриваемого объема с точностью до членов более высокого порядка малости

∫ ϕ dV =	∫ ϕ df dx,	∫ ϕ df −	∫ ϕ df =	∂	∫ ϕ df dx.	(13.6)
				∂ x
V	f	f1	f		f

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

230

ГЛАВА XIII

Будем также считать, что площадь и форма поперечного сечения тру-

бы f

изменяются достаточно плавно, то есть что (рис. 13.1)

cos2 (n, x) <<

Тогда

lim

dω

∫

dχ ,

(13.7)

dx→

0 dx ∫

где χ

– периметр сечения потока.

Используя соотношения (13.6) и (13.7) и переходя в уравнениях (13.4),

(13.5) к пределу при dx →

0 , получим

∫

∂ ρ

df +

∂

∫ ρ vxdf +

∫ ρ vndχ

= 0 ,

(13.8)

∂ t

∂ x

∂f(ρ vx )

∂ f

∫

ρ vxdf + ∫ ρ vxvndχ =

∂ t

∂ x

(13.9)

∫

∂ p

∂

∫

−

τ xxdf +

τ nxdχ .

∂

∂ x

ρ Fx

преобразова-

Для

дальнейшего

ния уравнений (13.8) и (13.9) вычис-

лим величину

∂

∫ϕ df ,

∂ t

где

ϕ (x, y, z, t) –

некоторая диффе-

ренцируемая

функция

координат и

времени.

f =

f(x, t) , то

df =

Так

как

Рис. 13.2

vn′ dχ∆

t , где vn′

– проекция скоро-

сти

на внешнюю нормаль

′

к плоскому контуру χ (рис. 13.2). Тогда

∂

ϕ (x,y, z,t + ∆ t)

ϕ (x,y, z,t)

∫ϕ

df =

lim

∫

∆ t

df −

∫

∆ t

∂ t

f (x,t + ∆ t)

f (x,t)

lim

∫

ϕ (t +

∆ t) −

ϕ ( t)

df +

lim

∫

ϕ (t +

∆ t) df =

(13.10)

∆ t→ 0

∆ t

∆

t→

∆

f (x,t)

∫ ∂

∫ϕ

f (x,t + ∆ t) − f( x,t)

∂ ϕ

v′ d .

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ			231
При течении вязкой жидкости на боковой поверхности ω	касательная со-
ставляющая скорости vτ = 0 , а нормальная составляющая vn =	±		. Посколь-
		v

лежит в плоскости,

перпендикулярной Oх, а cos2 (n, x) << 1

ку нормаль n′

по условию, то

vn cos(v, n′) =

≈ vn ,

vn′ =

1 −

cos2( n, x)

и формула (13.10) может быть представлена в виде

∂

∫ ϕ

df =

∫

∂ ϕ

∫ ϕ vndχ .

(13.11)

∂ t

Подставив выражение (13.11) в уравнения (13.8) и (13.9), имеем

∂

∫ ρ

df +

∂

∫ ρ vxdf = 0 ,

(13.12)

∂ t

∂ x

∂

∂ p

∂

∫ ρ vxdf +

∫ ρ vxdf = ∫

ρ Fx

−

df +

∫τ xxdf

∫τ nxdχ .(13.13)

∂ t

∂ x

Примем далее, что единственной действующей массовой силой явля-

ется сила тяжести, то есть ρ Fx = − ρ g	∂ z1	, где z1	– координата точки жид-
	∂ x

кости, отсчитываемая от произвольной горизонтальной плоскости верти- кально вверх. Тогда

∂ p

∂ z1

∂ p

∂

∂ ρ

∫

ρ Fx −

= − ∫ ρ g

df = − ∫

( p +

ρ gz1) − gz1

df .

∂ x

∂ ρ

Как для газа, так и для слабо сжимаемой жидкости величина gz

∂ x

∂ p

мала по сравнению с

∂ x

. Поэтому

∂ p

∂

( p +

ρ gz1) df = − f

∂

( p +

ρ gz1) , (13.14)

∫ ρ Fx −

df ≈

− ∫

∂ x

поскольку для плавно изменяющегося потока (cos2 (n, x) <<

1), как это сле-

дует из уравнений Навье-Стокса, в поперечном сечении f

p +

ρ gz1 ≈ const .

Далее, очевидно, можно написать

∫τ nxdχ

= τ χ χ ,

(13.15)

где τ χ – среднее по периметру сечения потока значение τ nx . Величиной

∂∂x ∫τ xxdf

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

232	ГЛАВА XIII

принято при выполнении гидравлических расчетов пренебрегать*. Кроме того, будем считать, что плотность жидкости пренебрежимо мало меняется по сечению потока.

Подставляя выражения (13.14) и (13.15) в уравнение (13.13) и учиты- вая последние замечания, из уравнений (13.12) и (13.13) получим

∂ (ρ f)

∂ M

= 0,

∂ t

∂ M

∂ J

∂

∂ x

(13.16)

( p + ρ gz ) + χτ

= − f

∂ t

∂ x

где

M = ∫ ρ vxdf = ρ wf

– массовый расход жидкости, J = ∫ ρ vx2 df =

= βρ

w2 f = β Mw – проекция на ось 0x количества движения массы M ,

w – средняя в сечении скорость жидкости, β – поправка Кориолиса на неравномерное распределение плотности и скорости в выражении для ко- личества движения потока**. При выводе уравнений (13.16) не делалось никаких предположений о виде закона трения. Поэтому эти уравнения яв- ляются справедливыми для любого потока газа или жидкости (как ньюто-

новской, так и неньютоновской) при условии, что cos2 (n, x) <<	1. Уравне-
ния (13.16) содержат в качестве неизвестных пять величин:	p, ρ , w, f, τ χ
( β считается известной функцией w , свойств жидкости, вида нестацио-

нарности и геометрии трубы). Для получения замкнутой системы к урав- нениям (13.16) необходимо добавить зависимость τ χ от w , уравнение со-

стояния жидкости (газа) и связь между площадью сечения трубы и давле- нием.

Стенки трубы будем считать упругими, площадь поперечного сечения

зависящей от давления согласно закону Гука, то есть
f =			+ e	p −	p0
	f0	1				,	(13.17)
				E

где f0 = f0 (x) – площадь поперечного сечения трубы при давлении p0 , Е – модуль Юнга материала трубы, e – безразмерный коэффициент, зависящий от формы сечения и толщины стенок трубы. Влиянием продольных сил

* Последнее вытекает из того, что в соответствии с формулами (4.21) и (4.28) для слабосжимаемой жид-

кости pxx = − p + τ xx = − p + µ	∂ v	, а в обычных условиях µ	∂ v	<<	p .

	∂ x		∂ x
** При турбулентном режиме движения β ≈ 1,03 − 1,1 , при ламинарном –					β = 1,33 .

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

233

упругости и сил инерции стенок трубы можно пренебречь. В случае слабо- сжимаемой жидкости будем предполагать, что она также следует закону Гука, то есть

p − p0

(13.18)

ρ 0 1

Kж

где ρ 0 – плотность при давлении

p0 ,

Kж

–

модуль объемного сжатия

жидкости.

Так как выражения (13.17) и (13.18) справедливы лишь при

p −

p − p0

<< 1,

(13.19)

Kж

то

p − p0

p0 ) =

ρ f = ρ 0f0

1 +

−

ρ 0 f0 1 +

, (13.20)

( p

Kж

где

K =

Kж

1 +

Kж

– приведенный модуль объемного сжатия, учитывающий упругость как жидкости, так и стенок трубы. Для тонкостенной круглой трубы

e = d , h

где d – внутренний диаметр, h – толщина стенки трубы. По определению, скорость звука* в системе «упругая жидкость», текущая по упругой трубе, равна

c =

Kρ

≈

ρK .

(13.21)

Из формул (13.20) и (13.21) следует, что

∂ (ρ f)

ρ 0f0

∂ p

(13.22)

∂ t

С другой стороны, в соответствии с законом Гука (13.18), имеем

∂

( p + ρ gz1) =

∂ p

+ gz1

∂ ρ

∂ p

gz1ρ 0

∂ p

≈

∂ p

, (13.23)

∂

∂ x

∂ t

KÊ ∂ t

∂ t

где p = p + ρ gz1 – приведенное давление.

* Под скоростью звука понимается скорость распространения малых возмущений, то есть таких, для ко- торых выполняются условия (13.19).

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

234

ГЛАВА XIII

Подставив соотношения (13.22) и (13.23) в уравнения (13.16), получаем

∂

∂ M

∂ t

∂ x

(13.24)

∂ M

∂ J

∂

= − f

+ χτ

χ .

∂ t

∂ x

Для случая течения газа в трубе можно принять ∂∂ ft = 0 , то есть пре-

небречь изменением площади сечения трубы. Тогда, воспользовавшись из-

вестной формулой ddpρ

= co2 , где co

– скорость звука в газе, получим

∂ ρ

∂ p

∂ (ρ f)

∂ p

∂ t

co2 ∂ t

∂ t

co2 ∂ t

(13.25)

∂ ρ

∂

( p +

ρ gz1) =

∂ p

gz1

∂ p

gz1

≈

∂ p

∂

∂ t

∂ t co2 ∂ t

∂ t

откуда сразу следует, что уравнения (13.24) справедливы и для газа. В даль- нейшем не будем пользоваться разными обозначениями c и co .

Для установления зависимости τ χ от свойств жидкости и параметров

течения воспользуемся гипотезой квазистационарности, то есть предполо- жением, что характеристики сопротивлений, установленные для стацио- нарных течений, сохраняются и для нестационарных. Тогда, в соответст- вии с формулой (10.35), будем иметь

τ χ

= − λ

ρ w,

и уравнения (13.24) примут окончательный вид

∂

∂ M

∂ t

∂ x

(13.26)

∂ M

∂ J

∂

= − f

− χλ

ρ w.

∂ t

∂ x

§2. Уравнения неустановившихся движений слабосжимаемой жидкости по трубам

Интегрируя второе уравнение (13.26) по x , имеем

x						x
∫	∂ M	dx + J(x) − J( 0) = − fср [		(x) −		(0)] + ∫ χλ	w	ρ w dx1 ,
			p		p
	∂ t						8
0					0

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 4619 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Добыча нефти и газа

#
10.01.20214.54 Mб82Гидродинамические исследования скважин Курс лекций.pdf
#
10.01.2021459.11 Кб19ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН НА ПРИОБСКОМ МЕСТОРОЖДЕНИИ.pdf
#
07.02.20211.03 Mб21ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН-1.pdf
#
10.01.2021353.18 Кб33Гидродинамические методы исследования скважин.pdf
#
02.01.202138.63 Mб20Гидродинамическое исследование скважин.pdf
#
02.01.202120.67 Mб24гидромеханика нефти.pdf
#
07.02.20211.34 Mб28Гидроочистка сырья.pdf
#
03.02.20211.46 Mб6гидроочистки сырья.pdf
#
24.01.2021452.97 Кб12Гидроразрыв пласта при КРС.pdf
#
24.01.2021271.57 Кб10Гидроразрыв пласта.pdf
#
29.01.2021304.86 Кб7Глубину превращения при термическом крекинге.pdf