Добавил:

spbguap9 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Предмет:

Добыча нефти и газа

Файл:

гидромеханика нефти

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.01.2021

Размер:

20.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 466 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЯ							95
Величины	p	, µ , m, d обладают размерностями

[			M		M
	p] =			, [µ ] =		, [m] = 1, [d] = L.
			2 2		LT
			L T

Следовательно, p, µ , d образуют систему параметров с независимы- ми размерностями, и

( p)αwµ β dγ = f(m) .

Выполняя анализ размерностей аналогично тому, как это было сдела- но в примере 1, получим

M α

Lγ , α + β =

2 2

L T

откуда α

= 1, β

= − 1, γ

= 2, и

w =

−

или в векторной форме

w =

−

0, − 2α − β + γ = 1, 2α + β = 1,

f(m) p

f(m) p.

(5.27)

Знак «минус» введен в уравнение (5.27), так как и p имеют проти- v

воположные направления.

4. Формула Дарси-Вейсбаха. Предположим, что при течении жидко- сти по горизонтальной круглой цилиндрической трубе перепад давления на единицу длины ∆ p/l зависит от средней скорости течения v , вязкости жидкости µ , ее плотности ρ , диаметра трубы d и шероховатости ее сте- нок ∆ .

Тогда

∆ p	= f(d, ∆ , ρ , µ , v) .	(5.28)

l

Величины ρ , v , d представляют собой систему параметров с незави- симыми размерностями. Следовательно, на основании П-теоремы соотно- шение (5.28) может быть переписано в виде

		Π = Φ	(Π	1, Π		2 ) ,		(5.29)
где
Π =	∆ p	ρ − α v− β d− γ , Π	1	=	∆	, Π 2 =		.
					d		ρ α 1 vβ 1 dγ 1
	l

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ГЛАВА V

Выполняя анализ размерностей, получим α = 1, β

= 2, γ = − 1 и, следо-

вательно,

∆ p d

Π 2

lρ v2

ρ vd

Подставляя эти соотношения в равенство (5.29), имеем

∆ p =

ρ v

∆

ρ w

Φ 1

∆

ρ vd

d ρ vd

Обозначив, как это обычно принято,

(ε ,Re)

∆

= ε ,

ρ vd

∆

ρ vd

Re,

где ε – относительная шероховатость стенок трубы, Re – число Рейнольд- са, λ – коэффициент гидравлического сопротивления, получим формулу Дарси-Вейсбаха в виде

∆ p = λ	l		ρ v2
				.	(5.30)
	d	2

В рассмотренном случае коэффициенты ε и Re являются, очевидно, критериями подобия. Следовательно, определив величину λ (ε, Re) при те- чении какой-либо жидкости, получим, что при течении другой жидкости

по другой трубе, коэффициент гидравлического сопротивления λ будет при условии ε(1)=ε(2), Re(1) =Re(2) иметь то же самое значение.

При ламинарном режиме движения ускорение равно нулю, и величи- на ρ несущественна. Из опыта известно, что величина ∆ при этом режиме также несущественна. Поэтому при ламинарном режиме соотношение (5.28) принимает вид

∆ p = f(d, µ , v) . l

Так как параметры d, , v обладают независимыми размерностями, то в соответствии с формулой (5.19) получаем

	∆	p	=	Cdα µ β vγ .
			=	Cdα µ β vγ .
	l
Легко видеть, что α = − 2, β			= γ	= 1, и
	∆	p =		C	l		µ v .	(5.31)
	∆	p =		C			µ v .	(5.31)
					d	2
					d

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЯ

Приравнивая правые части соотношений (5.30) и (5.31), получим, что коэффициент гидравлического сопротивления при ламинарном режиме равен

λ =	2C	=	2C	, C = const .

	ρ vd		Re

Теоретический анализ дает значение

С= 32.

5.Вытеснение из пласта жидкости га- зом. Рассмотрим однородный горизонталь- ный пласт, из которого жидкость вытесня-

ется газом (рис. 5.2). Обозначим через α коэффициент вытеснения, равный

α = Vг , где Vг – объем пор в области I, Рис. 5.2

занятых газом, V – объем всех пор в этой области.

На основании качественных соображений и результатов эксперимента можно написать

α = α ( k, mσ, ,Θ ∆, p, l, µ г,µ ж,∆h, γ , p, c, M, t) ,

(5.32)

где k , m – проницаемость и пористость пласта, σ – поверхностное натяже- ние жидкости, Θ – угол смачивания, ∆ p = (p1–p2) – разность давлений по концам пласта длиной l, µ г, µ ж – вязкость газа и жидкости, h – толщина пласта, ∆γ = γг –γж – разность удельных весов жидкости и газа, p – абсо- лютное давление в каком-либо сечении пласта, с – концентрация поверх- ностно-активного вещества (ПАВ), M– минерализация пластовой воды, t – время.

Величины, входящие в формулу (5.32), имеют размерности

[k] = L2 , [σ ] =					M	, [∆ p] = [ p] =				M	, [l] = [h] = L,
[k] = L2 , [σ ] =						, [∆ p] = [ p] =				LT2	, [l] = [h] = L,
				T2						LT2
[µ ‹] =	[µ		] =	M		, [∆ γ ] =	M		.

		ж		LT			2	2
				LT			L T

Примем величины l, ∆ p, µ г за параметры с независимыми размернос- тями. На основании П-теоремы выражение (5.32) может быть представлено

в виде

, Θ ,

µ ж h l∆ γ

t∆

, m,

, c, M,

(5.33)

l∆ p

µ г

l ∆ p ∆ p

При моделировании процесса вытеснения на натурных флюидах и по-

ристых средах (физико-химическое подобие) имеем

µ г(н)

= µ г(м),

∆

γ (н) =

∆

γ (м),σ

(н)

= σ (м) .

(5.34)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ГЛАВА V

Для соблюдения подобия должны, в частности, как это видно из фор- мулы (5.33), выполнятся равенства

l∆

(н)

l∆

(м)

(н)

(м)

∆

l∆

откуда, при соблюдении условий (5.34) следует, что одновременно должны выполняться равенства

∆ p(м)	=	l(м)		∆ p(м)	=	l(н)	.
∆ p(н)		l(н)	,	∆ p(н)
						l(м)

Это возможно только при l(м)=l(н). Поэтому при работе с натурными средами соблюдение полного подобия модели и натуры невозможно, и приходится прибегать к частичному моделированию.

Под частичным моделированием понимается моделирование, при кото- ром соблюдается равенство только какой-либо части критериев подобия. Влияние несоблюдения равенства остальных критериев подобия оценивается различными способами, зависящими от рассматриваемого явления. С пробле- мами, связанными с частичным моделированием, приходится сталкиваться также при исследовании задач авиации, судостроения и в ряде других областей.

При рассмотрении задач вытеснения в литературе встречаются крите- рии подобия вида


Π 1=	σ		,Π = 2	σ lΠ	, =		σ		Π	=, 4Θ cos .
						3
	k	∆ p		k∆ p			h	k∆		γ

	m							m

Обозначим критерии подобия в формуле (5.33), соответственно, через

′

= Θ

′

l∆ γ

l∆ p

∆ p

Легко видеть, что

= Π

′3

Π ′2

, Π 2

Π ′3

3 =

Π ′3

Π ′2

Π 4

cos Π

′4 .

′

5Π

Этот пример может служить иллюстрацией к замечанию в §4 о том, что выбор безразмерных параметров при использовании П-теоремы не яв- ляется однозначным.

§8. Приведение уравнений к безразмерному виду

При выполнении численных расчетов соответствующие уравнения или их аналитические решения обычно приводятся к безразмерному виду.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЯ

Как следует из П-теоремы, это позволяет, с одной стороны, уменьшить число аргументов у определяемых функций, а с другой, путем выбора соот- ветствующих характерных величин процесса подобрать наиболее удобные области изменения численных значений безразмерных параметров.

Действительно, пусть рассматриваемая задача содержит n определяю- щих параметров. Для ее полного численного исследования необходимо каждый из параметров проварьировать независимо от остальных m раз.

Следовательно, необходимо выполнить mn вычислений. После приведе- ния к безразмерному виду число параметров будет равно n − k, где k – число параметров с независимыми размерностями. Поэтому число необхо-

димых вычислений будет равно mn− k .

Рассмотрим другой пример. В задаче о гидравлическом ударе одним из параметров является длина трубы l . Продольная координата x лежит в пределах 0 ≤ x ≤ l . Полагая x = ξ l , получим, что независимо от длины трубы безразмерная координата ξ меняется в пределах 0 ≤ ξ ≤ 1.

Рассмотрим задачу о приведении уравнений к безразмерному виду на примере системы уравнений движения однородной вязкой несжимаемой жидкости (4.42). Уравнения движения и граничные условия имеют в этом

случае вид	ρ	dv	= ρ F − p +	µ ∆ v,	v = V на S.	(5.35)
div v = 0,	ρ	dv	= ρ F − p +	µ ∆ v,	v = V на S.	(5.35)

Положим xi =L xi′, где L – характерный линейный размер в задаче,

и подразумевается геометрическое		подобие		в задачах рассматриваемого
		Π p′ ,	t = Θ	t′, где Vo , Π , Θ – характер-
класса. Пусть далее v =	Vov′ , p =
ные скорость, давление, время в задаче.			При течении жидкости по трубе в

качестве L можно, например, взять ее диаметр, в качестве Vo – среднюю скорость в какой-либо момент времени, в качестве Π – разность давлений по ее концам, в качестве Θ – время переходного процесса (при неустано- вившемся движении). Аналогичным образом можно ввести характерные

параметры L, Vo ,

Π ,

при рассмотрении любого течения. Примем далее

для определенности,

что F =

p, t

в соот-

g . Подставляя значения xi , v ,

ношения (5.35) и развертывая производную

, получим

∂ vi′

Vo ∂ v′

Vo2

∂ v′

∂ p′

µ Vo ∂ 2vk′

0, ρ

vi′

ρ g −

, v′ =

V′.

(5.36)

∂ xi′

∂ t′

L ∂ x′

∂ xi′

∂ xk

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

100

ГЛАВА V

Из соотношений (5.36) видно, что уравнение неразрывности и гранич- ное условие при переходе к безразмерным величинам сохраняют свой вид. Разделив все члены уравнения Навье–Стокса на ρ Vo2 L, имеем

L	∂ v′	∂ v′		gL o Π ∂ p′				µ ∂ 2vi′

	∂ t′ + vi′		=		g −		ei ∂ xi′ +		ei ∂ xi′2 ,
VoΘ		∂ xi′		Vo2		ρ Vo2		ρ VoL


где g о – орт вектора g .
Введем следующие обозначения:
	L	=			V2	=		*
					o			*
			Sh – число Струхаля,					Fr – число Фруда ,
VoΘ			Sh – число Струхаля,		gL			Fr – число Фруда ,
	Π	=		ρ VoL			=	**
			Eu – число Эйлера,					Re – число Рейнольдса .
	ρ Vo2		Eu – число Эйлера,		µ			Re – число Рейнольдса .

С использованием этих обозначений уравнение Навье–Стокса может быть переписано в виде

Sh	∂ v′	+	vi′	∂ v′	=

	∂ t′
	∂ t′			∂ xi′

go	∂ p′	1 ∂ 2vi′

	− Eu ei ∂ xi′ +		ei ∂ xi′2 .
Fr	− Eu ei ∂ xi′ +	Re	ei ∂ xi′2 .

Очевидно, что если при рассмотрении двух течений выполняются ус- ловия геометрического подобия областей течения и соотношения

Sh1 = Sh2, Fr1 = Fr2, Re1 = Re2,

то эти течения являются подобными (числа Sh, Fr, Re, как отмечалось вы- ше, называются критериями подобия). Число Eu при течении несжимае- мой жидкости часто является несущественным. Это объясняется тем, что в уравнение Навье–Стокса для несжимаемой жидкости входит не давление, а его градиент. Поэтому изменение давления во всей области течения на постоянную величину, или, что то же самое, изменение характерного дав- ления на постоянную величину, не сказывается на характере течения. По- этому числу Эйлера можно придать любое значение. В частности, поло- жив Π = ρ Vo2 , получим Eu = 1.

Для выяснения физического смысла критериев подобия рассмотрим в жидкости параллелепипед с ребрами d xi и массой m . На него будут дей-

ствовать:
	сила тяжести Fg = mg =	ρ gdx1dx2 dx3			~ ρ gL3 ,
	сила локальной инерции	Fлок = m	∂ v	~ ρ L3		Vo	,
	сила локальной инерции	Fлок = m		~ ρ L3		Θ	,
			∂ t			Θ
					V0
*	В литературе под числом Фруда часто понимают величину				V0	.
	В литературе под числом Фруда часто понимают величину					.

2gL

Вильям Фруд (1810–1879), английский гидромеханик и корабельный инженер. ** Осборн Рейнольдс (1842–1912), английский физик и инженер.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЯ

101

∂

3 Vo2

сила конвективной инерции Fкон

~ ρ L

∂ x

∂ τ

∂

dxdS ~ µ

сила трения Fтр

dxdS =

L .

∂ x

∂ x2

Тогда

Fлок

Sh,

Fкон

Vo2

Fr,

Fкон

ρ VoL

= Re .

Fтр

Fкон

Θ Vo

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Часть II

ГИДРОМЕХАНИКА

Глава VI

ГИДРОСТАТИКА

§1. Уравнения равновесия жидкости и газа

В гидростатике рассматриваются законы равновесия жидкости (газа). Если жидкость (газ) находится в состоянии покоя относительно стенок со- суда, в котором она заключена, а сосуд покоится или движется с постоян- ной скоростью относительно Земли, то покой называется абсолютным. Ес- ли жидкость покоится относительно стенок сосуда, а сосуд движется отно- сительно Земли с ускорением, то покой называется относительным. Дви- жение жидкости в случае относительного покоя можно рассматривать как переносное. Из приведенных определений следует, что в случае абсолют- ного покоя на жидкость действует сила тяжести, а в случае относительного

покоя – сила тяжести и сила инерции переносного движения.
Так как в покоящейся жидкости скорость деформации ε ik =	0 , то из рео-
логического уравнения для вязкой жидкости (4.29) имеем
pik = − pδ ik ,	(6.1)

то есть в покоящейся жидкости действуют только нормальные сжимающие напряжения*. Величина этих напряжений не зависит от направления и на- зывается давлением. Это давление называется гидростатическим.

Подставив соотношения (6.1) в уравнения движения сплошной среды

dv
	j
в напряжениях (2.42), получаем		= 0
	dt

∂ p	= ρ Fj , или
		p = ρ F .	(6.2)
∂ xj

Уравнения (6.2) называются уравнениями Эйлера в гидростатике.

* По Л.Прандтлю «жидкостью называется такое тело, в котором в состоянии равновесия всякое сопро- тивление деформации равно нулю». Из этого определения следует, что pik = 0, (i ≠ k ) и, в соответст-

вии с (4.29), ε ik = 0 .

Людвиг Прандтль (1875–1953), немецкий ученый, один из основателей современной аэродинамики и прикладной гидромеханики.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ГИДРОСТАТИКА

103

Умножив скалярно векторное уравнение (6.2) на единичный вектор o , s

имеем

∂ p

	= ρ Fso	= ρ Fs ,	(6.3)
∂ S	= ρ Fso	= ρ Fs ,	(6.3)
∂ S

то есть изменение давления в каком-либо направлении s определяется про- екцией напряжения массовой силы Fs на это направление.

Умножим скалярные уравнения (6.2) на dxj . Так как при равнове-

сии p = p(xj ) , то
	∂ p

		dxj = dp =	ρ Fj dxj ,		или dp =		ρ F dr .	(6.4)
		dxj = dp =	ρ Fj dxj ,		или dp =		ρ F dr .	(6.4)
	∂ xj
Поверхности, вдоль которых				p =	const ,	называются		изобарами.
Из равенств (6.4) следует, что уравнение изобары имеет вид
			= 0,			=

		Fj dxj		или	F dr		0 ,	(6.5)

где вектор dr лежит в плоскости, касательной к изобаре. Из формул (6.5) вытекает, что напряжение массовой силы направлено по нормали к изоба- ре. Этот же вывод следует непосредственно из равенств (6.2).

Очевидно, что соотношения (6.2)–(6.5) в равной мере справедливы как для сжимаемых, так и для несжимаемых жидкостей.

Из уравнений (6.4) имеем

				p	=	M	(6.6)
				∫ dpρ	=	∫ F dr ,	(6.6)


				po		Mo
где M0, M – точки, в которых гидростатическое давление равно, соответ-
ственно, p0 и	p . Если напряжение массовой силы обладает потенциалом,
	Π , то соотношение (6.6) принимает вид
то есть F = −	Π , то соотношение (6.6) принимает вид
	p			M		Π (M) − Π ( M0) .
	∫	dp	=	∫ dΠ	=		(6.7)
	∫	ρ	=	∫ dΠ	=		(6.7)
	po			Mo

§2. Равновесие жидкости в поле силы тяжести

При рассмотрении равновесия жидкости в поле силы тяжести введем систему координат 0xyz , в которой ось 0z направлена против ускорения

	− gz , Fx = Fy = 0, Fz = − g ,
силы тяжести g (рис. 6.1). В этом случае Π =	− gz , Fx = Fy = 0, Fz = − g ,
и соотношение (6.4) принимает вид
dp = − ρ g dz .	(6.8)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

104

ГЛАВА VI

В случае однородной несжимаемой жидкости ρ = const из соотношения (6.8)

получаем
p =	− ρ gz + C,	C = const .								(6.9)
Соотношение (6.9) справедливо для любой точки в объеме жидкости.
Уравнение изобары имеет в рассматриваемом случае вид
dz =	0, или z =	C1 = const .								(6.10)
	Таким образом, при равновесии жид-
	кости, находящейся в поле силы тяжести,
	изобара представляет собой горизон-
	тальную плоскость.
	Для определения константы C в соот-
	ношении (6.9) необходимо задать гранич-
	ные условия. Пусть при								z = zo	p = po
	(рис. 6.1). Тогда					ρ g(zo			− z) ,
		p − po			=	ρ g(zo			− z) ,	(6.11)
	или
Рис. 6.1			p				po
				+	z	=		+	zo .	(6.12)
			ρ g	+	z	=	ρ g	+	zo .	(6.12)
Обозначив z0 − z = h, соотношение (6.11) можно представить в виде
	p = po +	ρ gh,								(6.13)

где ρ gh – давление, создаваемое столбом жидкости высотой h . Соотношения (6.8), (6.12) обычно называются основными уравнения-

ми гидростатики. Из формулы (6.13) следует, что сила давления жидкости на дно сосуда с площадью основания S не зависит от его формы (рис. 6.2) и равна ( po + ρ gh) S. Данный результат обычно называется парадоксом Паскаля*.

Рис. 6.2

* Блез Паскаль (1623–1662), французский физик и математик.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 466 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Добыча нефти и газа

#
10.01.20214.54 Mб82Гидродинамические исследования скважин Курс лекций.pdf
#
10.01.2021459.11 Кб19ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН НА ПРИОБСКОМ МЕСТОРОЖДЕНИИ.pdf
#
07.02.20211.03 Mб21ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН-1.pdf
#
10.01.2021353.18 Кб33Гидродинамические методы исследования скважин.pdf
#
02.01.202138.63 Mб20Гидродинамическое исследование скважин.pdf
#
02.01.202120.67 Mб24гидромеханика нефти.pdf
#
07.02.20211.34 Mб28Гидроочистка сырья.pdf
#
03.02.20211.46 Mб6гидроочистки сырья.pdf
#
24.01.2021452.97 Кб12Гидроразрыв пласта при КРС.pdf
#
24.01.2021271.57 Кб10Гидроразрыв пласта.pdf
#
29.01.2021304.86 Кб7Глубину превращения при термическом крекинге.pdf