ется символом А / В.

Рисунок 2 иллюстрирует понятия объединения, пересечения и разности двух множеств. Результат операции заштрихован.

Рис.2. Графическое представление операций над множествами

Операции над множествами обладают следующими свойствами:

1)A В = B A;

2)(A В) C = A (B C);

3)А ∩ В = B ∩ A;

4)(А ∩ В) ∩ C = А ∩ (В ∩ C);

5)(A В) ∩ С = (A ∩ C) (В ∩ C);

6)(А ∩ В) C = (A С) ∩ (В C).

Множество всех упорядоченных пар вида (x,y), где х X, у Y, называется декартовым произведением множеств X, Y и обозначается символом X × Y. Так, например,

{1,3} × {2,4} = {(1,2), (1,4), (3,2), (3,4)}.

3.2. Евклидово пространство

Упорядоченная совокупность n действительных чисел, записанная в виде матрицы-строки

(x1,x2,…,xn ), xi Rn, i = 1,2,…,n,

называется n – мерным вектором, а числа x1,x2,…,xn – его координатами.

19

Эти векторы обозначают буквами латинского алфавита или одной буквой, отмеченной вместе с координатами вверху справа индексом, например,

х = ( x1,x2,…,xn), e = (e1,е2,...,en),

или

х1 = (x11,x21,…,xn1), еi = (е1i,е2i,…,еni).

Используя операцию транспонирования матриц, вектор может быть записан и в виде матрицы-столбца:

Два n-мерных вектора

х = (x1,x2,…,xn) и y = (y1,y2,…,yn)

считают равными, если

xi = yi, i=1,2,…,n.

Вектор, все координаты которого равны нулю, называется нульвектором и обозначается через 0n.

Определены линейные операции над n-мерными векторами х и y:

Введенные операции обладают следующими свойствами:

1)x+y = y+x;

2)(x+y)+z = x+(y+z);

3)x+0n = x;

4)0 · x = 0n .

Каждой паре векторов х, у поставим в соответствие число, обозна-

20

чаемое (х,у) и определяемое соотношением

k =1

Это число называют скалярным произведением векторов х и у и оно обладает свойствами:

1)(x,y) = (y,x);

2)(x+y,z) = (x,z) + (y,z);

3)(λx,y) = λ (y,x);

4)(x,x) ≥ 0, причем, если (x,x) = 0, то x=0n.

Множество всех n-мерных векторов, для которых введены операции сложения векторов (3.1) и умножение вектора на действительное число (3.3), а также скалярное произведение (3.4), называется n-мерным действительным евклидовым пространством, и обозначают Rn или En. Для краткости его будем называть просто евклидовым пространством.

Множества R1, R2, R3 являются примерами одномерного, двухмерного и трехмерного евклидовых пространств.

Пространство R2 геометрически интерпретируется, как множество точек плоскости с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат Ox1x2 или же, как множество векторов на этой плоскости, начало которых совпадает с началом данной системы координат. Пространство R3 имеет аналогичную интерпретацию в пространстве, где также зафиксирована декартова прямоугольная система координат

Ox1x2x3.

Принимая во внимание указанную выше интерпретацию, элементы пространства Rn называют также точками.

Если (х,у) = 0, то векторы х и у называют ортогональными. Нормой вектора (элемента) x Rn называют число, обозначаемое

||x|| и определяемое соотношением

n

x = ( x, x) = ∑ xk2

k =1

Норма вектора обладает следующими свойствами:

1)||x|| > 0, причем если ||x||=0, то x=0n;

2)||λх|| = |λ| ||x||, λ R;

21

3)||x+y|| < ||x|| + ||у|| (неравенство треугольника);

4)|(х,у)| < ||х|| ||у|| (неравенство Коши-Буняковского). Расстояние между точками х и у евклидова пространства Rn обо-

значают р(х,у) и определяют следующим образом:

Векторы x1,x2,…,xm называются линейно независимыми, если

m

∑λk xk = 0n при λ1 = λ2 = … = λm = 0

k =1

и называются линейно зависимыми, если найдется хотя бы одна совокупность чисел λ1, λ2,...,λm, не все из которых равны нулю, таких что

m

∑λk xk = 0n .

k=1

Вn-мерном пространстве существует линейно независимая система из n векторов, а любая система из (n+1) (и более) векторов является линейно зависимой.

Всякая система из n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется его базисом. Простейший базис образует система векторов

e1 = (1,0,0, ...,0), e2 = (0,1,0, ...,0),

………………

еn = (0,0,0,...,1).

Для любого вектора х = (x1,x2,…,xn ) справедливо равенство:

х = x1 e1 + x2 e2 + …+ xn en,

правая часть которого называется разложением вектора х по базису. При этом коэффициенты хi, i=1,2,...,n, этого разложения единст-

венны и являются координатами вектора х.

Подмножество L пространства Rn называется подпространством пространства Rn если для любых векторов х,у L и любых чисел λ1,λ2 R имеет место соотношение

22

λ1x + λ2y L.

Множество всех точек х = (x1,x2,…,xn) пространства Rn, удовлетворяющих уравнению

где вектор а и число λ – фиксированы, называется гиперплоскостью. Множество всех точек x Rn вида

называется ε-окрестностью точки х0 Rn.

Точка х0 X Rn называется внутренней точкой множества X, если найдется такое ε > 0, что U(х0,ε) X.

Множество X Rn называется открытым множеством, если каждая точка х0 X является внутренней.

Точка пространства Rn называется граничной точкой множества X Rn, если любая ее ε-окрестность содержит хотя бы одну точку из X и хотя бы одну точку, не принадлежащую X.

Совокупность граничных точек множества X образует его границу. Последовательность {xk} (k = 1,2,…,n) точек пространства Rn назы-

вается сходящейся к точке х0 Rn, если

lim xk − x0 = 0 ,

k →∞

и пишут

lim xk = x0 .

k →∞

23

Множество X Rn называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

Каждая гиперплоскость пространства Rn является замкнутым множеством. Само пространство Rn является одновременно открытым и замкнутым множеством.

Объединение и пересечение конечного числа открытых (замкнутых) множеств представляет собой открытое (замкнутое) множество.

Множество X называется ограниченным, если существует ε>0,

что X U (0n ,ε).

Замкнутое и ограниченное множество называется компактным множеством или компактом.

Примером компакта является множество вида

Гиперплоскость не является компактом, так как для нее не выполняется требование ограниченности.

Множество X Rn называется выпуклым, если для любой пары точек из X весь отрезок, соединяющей эти точки, также принадлежат X.

Каждая гиперплоскость, заданная уравнением (3.6), порождает два множества

которые называются замкнутыми полупространствами.

Случай замкнутого полупространства на множестве R2 показан на рис.3. Прямая a1x1+a2x2=λ делит плоскость Ox1x2 на две полуплоскости.

Если в равенствах (3.9) и (3.10) использовать знаки строгих неравенств, то получим открытые полупространства. Эти полупространства служат примерами выпуклых множеств.

Проверим, например, является ли выпуклым множество

{ x Rn (a, x) ≥ λ } .

24