8.ЗАДАНИЯ

8.1.Исследование функции на выпуклость (вогнутость)

Исследовать функцию на выпуклость (вогнутость) на заданном множестве X:

11)f (X ) = x16 + x22 + x32 + x42 +10x1 +5x2 −3x4 −20 , X = R 4

12)f (X ) = exp(2x1 + x2 ) , X = R 2

13)f (X ) = −x13 − x23 − x33 +10x1 − x2 +15x3 +6 , X = {X | x ≥ 0; X = R 3}

14)f (X ) = x12 + x22 + 12 x32 + x1x2 − x3 +10 , X = R 3

15)f (X ) = −x12 − x22 −2x32 + x1x2 + x1x3 + x2 x3 +5x2 , X = R 3

16)f (X ) = x13 +2x33 +10x1 + x2 −5x3 +6 , X = {X | x ≤ 0; X = R 3}

17)f (X ) = − 12 x22 + 12 x34 + 2x2 x3 +11x1 +6 , X = {X | x ≤ 0; X = R 3}

18)f ( X ) = (x12 − x2 )2 , X = R 2

19)f (X ) = x1 exp(−x1 − x2 ) , X = R 2

93

8.2.Варианты задач безусловной оптимизации

1.Используя аналитический метод поиска экстремума найти стационарные точки критерия оптимальности f(x) и определить, какие точки являются точками локальных минимума и максимума.

2.Найти точки глобальных минимума и максимума на заданном интервале, если таковые имеются.

3.Разработать блок-схему и программу поиска min f(x) заданным методом. Выполнить три итерации метода вручную.

8.3. Варианты задач условной оптимизации

Решить задачу условной оптимизации и определить характер стационарных точек:

а) методом неопределенных множителей Лагранжа;

б) методом исключения неизвестных, если n–m=1, где n – число неизвестных, m – число уравнений связи.

f = 4x +3y → extr

1)x2 + y2 =1 ;

f = x2 + y2 → extr

2)3x + 4y =1;

f = exy →extr

3)x + y =1;

f = 5x2 + 4xy + y2 → extr

4)x + y =1;

f = 3x2 + 4xy + y2 → extr

5)x + y =1;

f = xy2 z3 →extr

6)x + y + z =1;

f = xyz → extr

x2 + y2 + z2 =1

x + y + z = 0;

8)Разделить число 8 на две части так, чтобы произведение их произведения на разность было максимально (задача Тартальи);

9)Вписать в круг прямоугольник максимальной площади;

10)Среди цилиндров, вписанных в шар единичного радиуса, найти цилиндр с максимальным объемом (задача Кеплера);

96