2.2.3 Погрешность метода Гаусса. Метод Гаусса с выбором главного элемента

Основные вычисления методом исключений Гаусса выполняются с помощью формул (2.7) – (2.9). Граф процесса вычисления коэффициентов по формуле (2.8) представлен на рисунке 2.2. Этот граф позволяет проследить накопление погрешностей в процессе вычислений по методу Гаусса.

Рисунок 2.2 – Граф процесса вычисления коэффициента

Обозначим относительную погрешность, содержащуюся в коэффициенте,– относительные погрешности округления соответственно при делении, умножении и вычитании. Тогда для относительной погрешностикоэффициентаможно получить выражение

.

Отсюда получаем формулу для оценки абсолютной погрешности :

.

Если предположить, что погрешности ,не превышают некоторой величины, то получим следующую формулу для оценки погрешности:

.

Из последнего выражения видно, что погрешность вычисления коэффициента в основном определяется первым слагаемым правой части и уменьшается с уменьшением. Чтобыбыло по возможности меньшим, необходимо, чтобыбыло по возможности большим (см. формулу (2.7)). Поэтому перед выполнением шага исключения каждой переменной желательно переставить уравнения системы так, чтобы

, ,

потому что тогда

.

Если в методе Гаусса выполняется такая перестановка, то метод называется методом Гаусса с выбором главного элемента. Этот метод имеет меньшую погрешность при определении решения СЛАУ.

Алгоритм Гаусса с выбором главного элемента реализуется с помощью схемы рисунка 2.1 при использовании блока № 5 «Выбор главного элемента». Схема блока № 5 приведена на рисунке 2.3.

2.3 Вычислительная сложность метода Гаусса

Под вычислительной сложностью любого численного метода или алгоритма будем понимать число операций, необходимых для его выполнения. Число операций алгоритма легко посчитать по схеме алгоритма. Выполним такой расчет для метода Гаусса. Число операций будем обозначать числом с индексом, указывающим на вид операции (сложение, вычитание, умножение, деление и т.д.). По схеме рисунка 2.1 для прямого хода получим

.

Приравнивая умножения к делениям и вычитания к сложениям, будем иметь

.

Хотя различные операции отличаются по сложности выполнения, но в последних моделях персональных компьютеров путем усовершенствования блока вычислений с плавающей точкой добиваются того, чтобы любая команда с плавающей точкой выполнялась за один такт микропроцессора. Поэтому будем учитывать все выполняемые операции. В итоге получим, что для выполнения прямого хода по методу Гаусса потребуется выполнить

операций. Руководствуясь схемой рисунка 2.1, сделаем аналогичные расчеты для обратного хода:

.

Общее число операций для выполнения алгоритма Гаусса без выбора главного элемента будет равно

. (2.11)

В этом выражении опущено слагаемое, не зависящее от , ввиду его малости.

Выполним также расчет числа операций, необходимых для выбора главного элемента . Из схемы рисунка 2.3 видно, что здесь выполняются только операциисравнения (ср) и присваивания (пр). Число таких операций будет равно:

.

Общее число операций для выполнения алгоритма Гаусса с выбором главного элемента будет равно

. (2.12)

Рисунок 2.3 – Схема алгоритма выбора главного элемента