2.7.3 Графическая иллюстрация метода Гаусса–Зейделя

Проиллюстрируем сходимость или расходимость метода Гаусса–Зейделя на примере системы уравнений

Сразу отметим, что достаточное условие сходимости метода Гаусса–Зейделя (2.29) для данной системы не выполняется, поскольку

.

В соответствии с рекомендациями метода Гаусса–Зейделя перепишем эту систему в виде

и получим следующие формулы итераций:

(2.30)

Решение данной системы определяется как точка пересечения двух прямыхи. Эти прямые изображены на рисунке 2.4. В соответствии с формулой итераций (2.30) мы выбираем начальное приближение, подставляем это значение в первое уравнение системыи из него определяем новое приближение. Затем это значениеподставляем во второе уравнение системыи из него определяем новое приближение. На этом первая итерация заканчивается. Далее этот процесс повторяется. Описанные итерации изображены на рисунке 2.4 прямыми линиями со стрелками. Мы видим, что итерационный процесс не сходится к решению системы.

Рисунок 2.4 – Иллюстрация расходимости метода Гаусса–Зейделя

Переставим теперь уравнения системы, т.е. будем решать систему

Достаточное условие сходимости метода Гаусса–Зейделя (2.29) теперь выполняется:

.

В соответствии с рекомендациями метода Гаусса–Зейделя перепишем эту систему в виде

и организуем итерационный процесс по формулам

(2.31)

Этот процесс изображен прямыми линиями со стрелками на рисунке 2.5.

Рисунок 2.5 – Иллюстрация сходимости метода Гаусса–Зейделя

В соответствии с формулой итераций (2.31) выбираем начальное приближение , подставляем это значение в первое уравнение системыи из него определяем новое приближение. Затем это значениеподставляем во второе уравнение системыи из него определяем новое приближение. Далее этот процесс повторяется. Мы видим, что процесс сходится. Таким образом, простой перестановкой уравнений системы мы добились сходимости метода Гаусса–Зейделя.

3 Аппроксимация функций

3.1 Понятие аппроксимации функций

Аппроксимация функции – это замена этой функции другой более простой функцией, близкой кв некотором смысле. В зависимости от критерия близости функцийисуществуют различные методы аппроксимации.

Если расстояние между функциямиина некотором отрезкедействительной прямой определить выражением

,

то аппроксимация функции по критерию минимума такого расстояниябудет называться аппроксимацией с минимальной интегральной квадратичной погрешностью.

Если критерий близости функций исостоит в том, чтобыисовпадали в дискретном ряде точекотрезка, то такой способ аппроксимации функцииназываетсяинтерполированием функции .

Если расстояние между функциямиина некотором отрезкедействительной прямой определить выражением

,

то аппроксимация функции по критерию минимума такого расстояниябудет называться аппроксимацией по методу наименьших квадратов.

3.2 Постановка задачи интерполирования функций

Задача интерполирования функции на некотором отрезкеформулируется следующим образом. На отрезкезаданоточек, которые называют узлами. Обычно считают, что первая и последняя точки совпадают с концами отрезка:,. Известны значенияфункциив этих точках,. Требуется заменить эту функцию некоторой другой функциейтаким образом, чтобы значения обеих функций совпадали в узлах, т.е. чтобы выполнялись равенства

.

Искомой неизвестной в данной задаче является функция .

Сформулированную задачу иногда интерпретируют следующим образом. Некоторая функция задана на отрезке таблицей своих значений

				…
				…

и требуется найти способ определения значений этой функции в любых других точках отрезка .

При формулировке задачи интерполирования обычно предполагают, что аппроксимирующая функция задана с точностью допараметров, т.е. в виде. Тогда нам необходимо отыскатьнеизвестные параметры исходя из заданных равенств

. (3.1)

Эти равенства можно рассматривать как систему уравнений относительно неизвестных параметров.

Чаще всего функцию представляют в виде полинома -й степени

. (3.2)

Тогда система уравнений (3.1) принимает следующий вид:

(3.3)

Определитель этой системы имеет вид

и называется определителем Вандермонда на системе точек . Доказано, что если точкипопарно различны, что предполагается при постановке задачи, то определитель Вандермонда не равен нулю. В таком случае система уравнений (3.3) имеет единственное решение, т.е. существует единственный полином (3.2) степени, коэффициенты которого удовлетворяют системе уравнений (3.3). Этот полином называется интерполяционным полиномом для функции.