4.2 Метод прямоугольников

Как известно из курса высшей математики, часть плоскости, ограниченную сверху кривой ,,, снизу – осью, с боков – прямымии(рисунок 4.1), называют криволинейной трапецией. Приплощадь криволинейной трапеции считается положительной, а при– отрицательной. Если, то определенный интеграл (4.1) представляет собой сумму площадей, заключенных между кривой, осьюи крайними прямыми,, взятых со знаком плюс там, где, и со знаком минус там, где.

Рисунок 4.1 – К методам прямоугольников и трапеций

Разобьем отрезок интегрирования начастей точками, как это показано на рисунке 4.1, и заменим площадь криволинейной трапеции суммой площадей прямоугольников, построенных на частичных отрезках,, как на основаниях. Если высоту-го прямоугольника взять равной значению функциив левой точке основания прямоугольника, т.е. принять

,

то получим квадратурную формулу левых прямоугольников

.

Для равноотстоящих на величину узлов,

,

формула левых прямоугольников имеет вид

. (4.2)

Мы видим, что все весовые коэффициенты формулы левых прямоугольников в случае равноотстоящих узлов равны , кроме коэффициента при, который равен нулю.

Если интеграл на -м отрезкезаменить площадью прямоугольника с высотой, равной значению функциив правой точке основания прямоугольника, т.е. принять

,

то получим квадратурную формулу правых прямоугольников

.

Для равноотстоящих на величину узлов формула правых прямоугольников имеет вид:

. (4.3)

Мы видим, что все весовые коэффициенты формулы правых прямоугольников в случае равноотстоящих узлов равны , кроме коэффициента при, который равен нулю.

4.3 Погрешность метода прямоугольников

Абсолютная погрешность метода левых прямоугольников есть разность

.

Она складывается из погрешностей , получаемых на частичных отрезках интегрирования,

,

где

, .

Оценка погрешности определяется выражением

.

Чтобы оценить , рассмотрим функцию

, .

Понятно, что если ,, то. По теореме Лагранжа

, ,

и

.

Если обозначить

,

то

, .

На этом основании получаем оценку для частичной погрешности при равномерном шаге интегрирования :

.

Оценка абсолютной погрешности на всем отрезке интегрирования определяется выражением

.

Мы видим, что погрешность метода прямоугольников имеет тот же порядок, что и шаг интегрирования . Поскольку для функций вида, то для таких функций формула прямоугольников является точной.

4.4 Метод трапеций

Заменим площадь криволинейной трапеции суммой площадей трапеций, построенных на частичных отрезках , (см. рисунок 4.1),

,

где

.

В результате получим квадратурную формулу трапеций:

.

Для равноотстоящих на величину узлов формула трапеций имеет вид

. (4.4)

4.5 Погрешность метода трапеций

Абсолютная погрешность метода трапеций при равномерном шаге интегрирования есть величина

.

Она складывается из погрешностей , получаемых на частичных отрезках интегрирования,

,

где

, .

Оценка погрешности определяется выражением

.

Чтобы оценить , рассмотрим функцию

, .

Очевидно, что ,. Кроме того,

,

,

,

.

Обозначим

, .

Тогда

.

По этой причине

,

.

Следовательно,

.

Оценка абсолютной погрешности на всем отрезке интегрирования определяется выражением

,

где – максимальное по модулю значение второй производной подынтегральной функциина отрезке интегрирования. Мы видим, что погрешность метода прямоугольников имеет тот же порядок, что и. Поскольку для функций видаимеем,, то для таких функций (для полиномов первой степени) формула трапеций является точной.