3.3 Интерполяционный полином Лагранжа

Интерполяционный полином может быть представлен в различных формах. Одной из них является форма Лагранжа. Полином Лагранжа имеет следующий вид:

,

или в компактной форме

, (3.4)

где

, ,

так называемый полином влияния -го узла.

Формула (3.4) легко может быть получена путем следующих рассуждений. Понятно, что полином влияния -го узла есть полином-й степени, который равен нулю во всех узлах, кроме, а в узлеравен 1. Вид этого полинома приведен на рисунке 3.1 для случая. Произведениеесть полином-й степени, который во всех узлах, кроме, равен нулю, а в узлеравен. На рисунке 3.1 изображен полином. Просуммировав произведенияпо всем(по всем узлам), мы получим полином (3.4), удовлетворяющий постановке задачи интерполирования. Следовательно, построенный полином будет интерполяционным.

Полином Лагранжа можно записать в другом виде. Для этого рассмотрим полином

. (3.5)

Это полином -й степени со старшим коэффициентом, равным 1, и обращающийся в нуль во всех узлах. Выделим в нем множительи найдем производную. Получим

,

.

Тогда полином влияния -го узламожно записать в виде

, (3.6)

а сам полином Лагранжа (3.4) – в виде

. (3.7)

Рисунок 3.1 – К построению интерполяционного полинома Лагранжа

На рисунке 3.2 представлена схема алгоритма расчета значения интерполяционного полинома Лагранжа в одной точке по формуле (3.4). По этой схеме можно найти число операций, затрачиваемых на ее выполнение:

.

Рисунок 3.2 – Схема алгоритма расчета значения интерполяционного полинома Лагранжа в одной точке

Для расчета значений полинома -й степени вточках нужно выполнить

(3.8)

операций.

Пример 3.1. Построим полином Лагранжа для функции, заданной таблицей 3.1.

Таблица 3.1

Поскольку мы имеем , то ожидаем интерполяционный полином второй степени. Общая формула этого полинома следующая:

.

Подставив сюда данные из таблицы 3.1, получим

.

Легко обнаружить, что этот полином в узлах имеет значения, совпадающие с табличными.

3.4 Вычисление значений полиномов

Во многих случаях приходится вычислять значения полинома -й степени

, (3.9)

как это имеет место, например, в задаче интерполирования. Простейший способ сделать это – возвести в соответствующую степень, умножить на коэффициент и полученные произведения сложить. Расчет выражениятребует выполненияумножений, так что расчет значения полинома этим способом можно выполнить заумножений исложений. Однако существует более экономичный способ расчета значений полиномов, который называется правилом или схемой Горнера. Изложим его.

Разделим полином (3.9) на . В результате деления получим полином степении постоянный остаток, так что полиномможно представить в виде

, (3.10)

где – некоторые новые коэффициенты. Из этой формулы видно, что

. (3.11)

Раскрыв скобки в правой части выражения (3.10), получим

. (3.12)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в выражениях (3.9) и (3.12), получим

,

,

………………….

,

……………………

.

Нами получены рекуррентные формулы следующего вида:

,

, . (3.13)

В конце расчетов по этим формулам мы получаем , которое, согласно (3.11), является значением полиномав точке. Формулы (3.13) и есть правило Горнера для расчета значения полинома. Для вычисления значения полинома степенипо правилу Горнера требуетсяумножений исложений, т.е.

(3.14)

операций, что значительно меньше изложенного выше способа. Кроме того, расчеты по правилу Горнера в ряде случаев имеют меньшую погрешность от округлений.

Для выяснения структуры расчетов по правилу Горнера рассмотрим полином третьей степени () и выпишем формулы (3.13):

,

,

,

.

Поскольку взято произвольно, то индексприможно опустить. Из последних выражений видно, что правило Горнера для полинома произвольной степениможно представить в виде

.