7.3 Метод Эйлера
Этот метод решения векторного дифференциального уравнения (7.3) состоит в последовательных расчетах по формуле
,
(7.10)
начиная
с точки
,
заданной начальными условиями
,
.
Здесь
– шаг интегрирования по независимой
переменной
.
Для системы из двух уравнений векторная формула (7.10) представляется в виде двух следующих скалярных формул:
,
.
7.4 Метод Рунге–Кутта 2-го порядка
Этот метод состоит в последовательных расчетах по формулам
,
,
(7.11)
,
начиная
с точки
.
Необходимо заметить, что здесь
и
– векторы.
Для системы из двух уравнений векторные формулы (7.11) представляются в
виде следующих скалярных формул:
,
,
,
,
,
.
7.5 Метод Рунге–Кутта 4-го порядка
Этот метод состоит в последовательных расчетах по формулам
,
,
,
(7.12)
,
,
начиная
с точки
.
Для системы из двух уравнений каждая из векторных формул (7.12) представляется в виде двух скалярных формул, так что вместо (7.12) будем иметь
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
8 Выполнение символьных операций
8.1 Понятие символьных операций
Символьными (или аналитическими) операциями называются такие операции, исходные данные на выполнение которых а также результаты их выполнениия определяются в виде символьных (формульных) выражений. В настоящее время имеется возможность выполнять символьные операции на компьютере. Для этого разработаны различные программные системы, такие как Reduce, Maple, Mathematica. Эти системы способны преобразовывать алгебраические выражения, находить аналитические решения систем линейных, нелинейных и дифференциальных уравнений, манипулировать полиномами, вычислять производные и интегралы, анализировать функции и находить их пределы и т.д. К символьным вычислениям относят также численные расчеты с произвольным числом цифр результатов и с отсутствующей погрешностью, поскольку это требует символьного представления чисел и особых алгоритмов выполнения операций с ними. Появление возможности выполнения символьных операций на компьютере привело к развитию нового научного направления – компьютерной математики (или компьютерной алгебры).
8.2 Выполнение символьных операций в Matlab
В систему Matlab 5.2.1 входит обновленная версия пакета расширения Symbolic Math Toolbox (Symbolic), которая базируется на ядре символьной математической системы Maple V R4, лидирующей а области автоматизации аналитических решений. Новейшая реализация системы символьной математики Maple V R5 в своем ядре и в расширениях имеет около 2700 функций. Система Matlab с пакетом Symbolic, включающим в себя чуть более сотни символьных команд и функций, намного уступает Maple V по количеству таких команд и функций. В данный пакет включены наиболее важные и широко распространенные функции, так что возможности выполнения символьных операций в системе Matlab остаются весьма широкими. Помимо типовых аналитических вычислений (дифференцирование и интегрирование, упрощение математических выражений, подстановка и т.д.) пакет Symbolic позволяет реализовать арифметические операции с произвольной точностью.