Скачиваний:
302
Добавлен:
15.06.2014
Размер:
3.41 Mб
Скачать

3.5 Вычислительная сложность задачи интерполирования

Как следует из изложенного ранее, возможны две схемы решения задачи интерполирования функции. Первая схема состоит в решении системы линейных алгебраических уравнений (3.3) относительно коэффициентов полинома и последующем вычислении значения полинома. Вторая схема состоит в расчете значения полинома по формуле Лагранжа (3.4). Будем называть ее схемой Лагранжа. Какая из этих схем более экономична по затратам машинного времени? Для ответа на этот вопрос найдем число операций расчета для каждой схемы и сравним эти числа между собой.

Для первой схемы будем считать, что при решении СЛАУ используется метод Гаусса без выбора главного элемента, а при расчете значения полинома используется схема Горнера. Назовем эту схему схемой Гаусса–Горнера. Учитывая, что для интерполяционного полинома -й степени решается СЛАУ изуравнений, получим, что для определения коэффициентов полинома затрачивается

(3.15)

операций (см. формулу (2.11)). Для расчета значения полинома степени в одной точке по схеме Горнера затрачивается операций (см. формулу (3.14)), а значений в точках – операций. В итоге по схеме Гаусса–Горнера затрачивается

(3.16)

операций.

При расчетах по схеме Лагранжа на расчет интерполяционного полинома степени в точках затрачивается

операций (см. формулу (3.8)). Так как в формуле для при стоит коэффициент ,а в формуле для при стоит коэффициент , то ясно, что при большомполучим. Это значит, что при необходимости рассчитать интерполяционный полином в достаточно большом числе точек более выгодной является схема Гаусса–Горнера.

На рисунке 3.3 представлены графики функций (3.15) и (3.16) в зависимости от при . Видно, что схема Лагранжа более выгодна при расчете значения полинома 10-й степени не более чем в двух точках.

Рисунок 3.3 – Зависимости числа операций от числа точек расчета интерполяционного полинома по схемам Гаусса–Горнера и Лагранжа

3.6 Конечные и разделенные разности функции

Пусть – точки действительной прямой и,, – значения функциив этих точках. Назовем значенияконечными разностями нулевого порядка функции. Конечными разностями первого порядка функцииназываются приращения

, .

Конечные разности второго порядка определяются как конечные разности от конечных разностей первого порядка:

, .

Конечные разности третьего порядка определяются как конечные разности от конечных разностей второго порядка:

, .

Вообще, конечные разности -го порядка определяются с помощью следующего рекуррентного соотношения:

, .

Если функция есть полином -й степени

,

то можно показать, что его конечная разность -го порядка есть величина постоянная (), а конечная разность -го порядка равна нулю ().

Введем теперь понятие разделенных разностей функции . Назовем значенияв точках,, разделенными разностями нулевого порядка функции. Разделенными разностями первого порядка функцииназываются отношения

, .

Разделенными разностями второго порядка функции называются отношения

.

Вообще, разделенные разности -го порядка определяются через разделенные разности-го порядка с помощью рекуррентного соотношения

, ,.

Разделенные разности являются симметричными функциями своих аргументов, т.е. не меняются при их перестановке. Например,

.

Если – полином степени, то можно показать, что его разделенная разность-го порядка тождественно равна нулю,

,

для любой системы попарно различных точек .

В случае равноотстоящих на величину точекразделенные разности можно выразить через конечные разности. Действительно, легко заметить, что

, ,

, .

В общем случае справедлива формула

, ,

которая при приобретает вид

. (3.17)

Из приведенного изложения очевидно, что конечные и разделенные разности являются прообразами производных. Действительно, производная -го порядка получается при равномерном шагеиз конечной разности-го порядка путем предельного перехода

.