3.7 Интерполяционный полином Ньютона

Пусть в точках отрезкаизвестны значенияфункции. Построим по этим данным интерполяционный полиномв форме полинома Ньютона. Построение основывается на том, что разделенные разности интерполяционного полинома и функции совпадают, т.е.

,

,

, (3.18)

……………………………..

.

Кроме того, мы знаем, что

. (3.19)

Запишем разделенную разность первого порядка для полинома :

.

Отсюда

. (3.20)

Разделенная разность произвольного порядка имеет вид

,

откуда

.

Последняя формула позволяет перейти от разделенной разности -го порядка к разделенной разности более высокого-го порядка. В частности,

,

.

Используя эти формулы, из формулы (3.20) последовательно получаем

,

.

Продолжая этот процесс, в итоге получим формулу

.

Учитывая равенства (3.18), (3.19), получаем полином Ньютона для неравноотстоящих узлов, выраженный через разделенные разности в начальной точке :

. (3.21)

Отметим, что при выводе формулы полинома Ньютона мы не предполагали, что узлы располагаются в порядке возрастания. Поэтому порядок узлов в выражении полинома Ньютона можно изменять. Изменив порядок узлов на обратный, мы получим следующее выражение полинома Ньютона, записанное через разделенные разности в конечной точке :

. (3.22)

Если точки отстоят одна от другой на равном расстоянии, то с учетом равенства (3.17) получаем полином Ньютона, выраженный через конечные разности в начальной точке:

. (3.23)

Аналогичным образом получаем полином Ньютона, выраженный через конечные разности в конечной точке :

. (3.24)

Полиномы Ньютона удобны тогда, когда необходимо изменять количество узлов интерполирования. При увеличении количества узлов нет необходимости пересчитывать весь полином, достаточно прибавить к нему новые слагаемые, соответствующие новым узлам. В случае полинома Лагранжа при добавлении новых узлов приходится пересчитывать весь полином.

Полиномы (3.21), (3.23), полученные по разностям в начальной точке , используются для интерполирования функции вблизи начальной точки, а полиномы (3.22), (3.24), полученные по разностям в конечной точке, – для интерполирования вблизи конечной точки.

Пример 3.2. Построим интерполяционный полином Ньютона по данным примера 3.1 п. 3.3. Для этого по таблице 3.1 составим таблицу разделенных разностей (таблица 3.2).

Таблица 3.2

-2	12
		-6
-1	6		1
		-1
3	2

Разделенные разности образуют верхнюю убывающую диагональ, содержащую разделенные разности в начальной точке (числа 12, -6, 1), и нижнюю возрастающую диагональ, содержащую разделенные разности в конечной точке(числа 2, -1, 1). Используя разделенные разности в начальной точке, получаем полином Ньютона

.

Используя разделенные разности в конечной точке , получаем полином

.

В обоих случаях мы получили один и тот же полином, совпадающий с полиномом Лагранжа в примере 3.1.