5.2 Метод деления отрезка пополам

Метод деления отрезка пополам или метод половинного деления относится к семейству методов дихотомии. Предполагается известным отрезок , на котором расположен искомый корень. В этом случае. Методы дихотомии состоят в последовательном делении отрезкана две части и отбрасывании той части, для которой установлено, что на ней корня нет. Метод половинного деления состоит в последовательном делении отрезкапополам и отбрасывании той половины, на которой корня нет, до тех пор, пока длина отрезка не станет малой (см. рисунок 5.1). Этот алгоритм можно описать следующим образом:

1. если , то перейти к п. 2), иначе – перейти к п. 5);

2. найти ;

3. если , то положить, иначе – положить;

4. перейти к п. 1);

5. найти значение корня и прекратить вычисления.

Рисунок 5.1 – Иллюстрация метода деления отрезка пополам

В описанном алгоритме число определяет допустимую абсолютную погрешность нахождения корня.

Выполнение п.п. 1 – 4 называется одной итерацией. За одну итерацию метода половинного деления длина отрезка, на котором находится корень, уменьшается ровно вдвое, , так что отклонение полученного значения корняот истинного значениябудет удовлетворять неравенству

.

После выполнения итераций это отклонение будет подчиняться неравенству

.

Данное неравенство позволяет утверждать, что для непрерывной на отрезке функции при увеличении числа итерацийимеет место сходимостьк. Кроме того, оно позволяет подсчитать число итераций, достаточное для достижения заданной точности. Для этого необходимо разрешить относительно натуральногонеравенство

.

5.3 Метод хорд

В рассмотренном выше методе половинного деления процесс деления отрезка на две части (дихотомии) был жестко фиксирован: эти части были равными. Естественно предположить, что в семействе методов дихотомии можно достичь несколько лучших результатов, если отрезок , на котором расположен искомый корень, делить не пополам, а пропорционально значениям,функции на концах отрезка. Это означает, что точкуна рисунке 5.2 имеет смысл находить как абсциссу точки пересечения осис прямой, проходящей через точкии, иначе – с хордой. Уравнение прямой, проходящей через две данные точкии, имеет вид

.

Отсюда, полагая , находим

. (5.2)

Рисунок 5.2 – Иллюстрация метода хорд

Данный подход может быть реализован в рамках алгоритма половинного деления, рассмотренного в разделе 5.2. Отличия нового алгоритма будут состоять в том, что в пунктах 2 и 5 алгоритма половинного деления иследует рассчитывать по формуле (5.2). Метод, использующий формулу (5.2), получил название метода хорд.

Легко понять, что для линейной функции метод хорд дает значение корнявсего за одну итерацию при любом отрезке. Поэтому можно рассчитывать на его быструю сходимость для функций, близких к линейным. Однако если на функциюне накладывать дополнительных ограничений, может оказаться, что метод хорд будет проигрывать в скорости методу половинного деления. Например, скорость сходимости метода хорд будет низкой для функции, изображенной на рисунке 5.3.

Рисунок 5.3 – Иллюстрация метода хорд с медленной сходимостью