3.8 Погрешность интерполирования

Абсолютная погрешность интерполяционного полинома Лагранжа – это разность , где – интерполируемая функция,– интерполяционный полином Лагранжа. Поскольку абсолютная погрешность интерполирования равна нулю в узлах интерполирования, то ее можно представить в виде

, (3.25)

где – полином (3.5). Будем считать, что на отрезке интерполированияфункцияимеет производные до-го порядка включительно. Введем вспомогательную функцию

. (3.26)

Функция , очевидно, имееткорень в точках. Подберем коэффициентв выражении (3.26) так, чтобыимела-й корень в некоторой точкеотрезка, не совпадающей с узлами интерполирования. Для этого достаточно положить

.

Так как в предполагаемой точке , то этот коэффициент вполне определяется последним уравнением. При таком значении коэффициентафункцияимееткорня на отрезкеи обращается в нуль на концах каждого из следующихотрезков:,,…,,,…,. Применяя к каждому из этих отрезков теорему Ролля¹, убеждаемся, что производнаяне менеераза обращается в нуль на. Применяя теорему Ролля к производной, убеждаемся, что вторая производнаяне менеераз обращается в нуль на. Продолжая эти рассуждения, приходим к заключению, что производнаяхотя бы 1 раз обращается в нуль на. Это значит, что существует точка, для которой

.

Из формулы (3.26) получаем

.

Так как производные

, ,

то

,

а в точке

Отсюда

,

и из выражения (3.25) получим следующую формулу для абсолютной погрешности интерполяционного полинома Лагранжа:

. (3.27)

Из последнего выражения получаем оценку абсолютной погрешности интерполирования в виде

, (3.28)

где – максимальное по модулю значение-й производной функциина отрезке интерполирования.

3.9 Полиномы Чебышева 1-го рода

Полиномы Чебышева 1-го рода встречаются в задаче наилучшего выбора узлов интерполирования, рассмотренной далее в п. 3.10.

Рассмотрим следующую задачу: среди всех полиномов степенисо старшим коэффициентом, равным единице, найти такой, для которого величина

является минимальной. Такой полином называется полиномом, наименее уклоняющимся от нуля на отрезке . Поставленная задача была решена русским математиком П. Л. Чебышевым. Найденный Чебышевым полином, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке, получил название полинома Чебышева 1-го рода.

Полиномом Чебышева 1-го рода степени называется функция вида

, ,.

Обозначив , получим

,

,

,

,

.

Так как по формуле суммы косинусов

,

то справедливо соотношение . Отсюда получаем рекуррентную формулу для полиномов Чебышева:

. (3.29)

По этой формуле, в частности, имеем:

,

,

,

,

,

.

Из рекуррентной формулы (3.29) следует, что коэффициент при старшей степени полинома равен. Нормированным полиномом Чебышева 1-го рода степениназывается полином

. (3.30)

Коэффициент при старшей степени нормированного полинома Чебышева равен единице. Если,, – корни полинома, то

, . (3.31)

Из определения полинома ясно, что. Тогда

, .

Можно доказать, что это максимальное значение на отрезке достигается, т.е.

. (3.32)

Полиномы Чебышева 1-го рода ортогональны на отрезке по весу

,

т.е.

Они также являются ортогональными на системе точек , т.е.

, .