9 Дополнение

9.1 Вычисление корней полиномов

Пусть требуется найти корень полинома -й степени

. (9.1)

Воспользуемся методом Ньютона–Рафсона:

.

Значение здесь можно вычислить по правилу Горнера, т.е. с помощью соотношений

,

, . (9.2)

В результате получим

.

Далее, согласно (3.18) имеем

, (9.3)

где

.

Дифференцируя (9.3), получим

.

Следовательно,

.

Но является полиномом степени, так что его также можно вычислить по правилу Горнера, воспользовавшись рекуррентными формулами

,

, . (9.4)

В результате получим

.

Подставляя найденные значения ив формулу итераций Ньютона–Рафсона, получаем, что корни полинома (9.1) отыскиваются по итерационной формуле

. (9.5)

Итак, расчеты по отысканию корня полинома выполняются в следующем порядке: по формулам (9.2) находим , по формулам (9.4) –и по формуле (9.5) – новое приближение корня. Этот метод нахождения корней полиномов часто называют методом Бирге–Виета.

9.2 Решение систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона

Система нелинейных уравнений записывается в виде

,

, (9.6)

………………….

.

Такие системы уравнений решаются практически исключительно численными методами. Изложим здесь метод Ньютона. Формулы итераций по методу Ньютона можно получить следующим образом. Возьмем некоторую точку , которую назовем начальным приближением к решению рассматриваемой системы нелинейных уравнений (9.6). Разложим функциив системе (9.6) в ряд Тейлора в окрестности точкии удержим в разложении только линейные члены. Получим следующую систему уравнений:

,

……………………………………………………………………………….(9.7)

,

где ,, – частная производная функциипо аргументу, вычисленная в точке, и

, . (9.8)

Это – система линейных алгебраических уравнений относительно переменных , которая может быть решена, например, методом Гаусса. Получив решение этой системы, из формулы (9.8) можем найти новое приближение

, . (9.9)

Далее решаем систему линейных уравнений (9.7) со значениями и по полученному решению находим

, .

Хорошим критерием остановки процесса является условие

, (9.10)

где – некоторое малое число, характеризующее допустимую погрешность вычисления корней системы нелинейных уравнений.

Более компактной является векторно-матричная форма метода Ньютона, которая позволяет также провести аналогию с методом Ньютона для решения одного уравнения. Для получения векторно-матричной формы метода Ньютона систему уравнений (9.6) записывают в векторной форме

,

где – вектор-строка неизвестных переменных,– вектор-строка функций в левой части системы уравнений (9.6). При таких обозначениях система линейных уравнений (9.7) примет вид

, (9.11)

где

–

матрица частных производных функций , вычисленная в точке,

. (9.12)

Получив решение уравнения (9.11), по формуле (9.12) получим новое приближение

.

Критерий остановки процесса итераций (9.10) записывается теперь в виде

,

где – евклидова норма вектора.

Векторно-матричная форма позволяет записать итерацию метода Ньютона в виде формулы, аналогичной формуле (5.10) метода Ньютона для одного уравнения. Действительно, уравнение (9.11) можно записать в виде

, (9.13)

откуда получаем следующую формулу итераций:

.