Литература

1. Мак-Кракен, Д. Численные методы и программирование на Фортране / Д. Мак-Кракен, У. Дорн.. – М.: Мир, 1978. – 584 с.

2. Гусак, А. А. Элементы методов вычислений / А. А. Гусак. – Минск: Университетское, 1982. – 519 с.

3. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. – М.: Наука, 1988. – 700 с.

4. Вержбицкий, В. М. Численные методы Линейная алгебра и нелинейные уравнения: Учеб. пособие для вузов / В. М. Вержбицкий. – М.: Высш. шк., 2000. – 266 с.

5. Вержбицкий, В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения: Учеб. пособие для вузов / В. М. Вержбицкий. – М.: Высш. шк., 2001. – 382 с.

6. Дьяконов, В. П. Справочник по алгоритмам и программам на языке Бейсик для персональных ЭВМ / В. П. Дьяконов. – М.: Наука, 1988. – 239 с.

7. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н. С. Бахвалов. – М.: Наука, 1975. – 700 с.

8. Крылов, В. И. Справочная книга по численному интегрированию / В. И. Крылов, Л. Т. Шульгина. – М.: Наука, 1966. – 370 с.

9. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. – М.: Наука, 1973. – 832 с.

10. Муха, В. С. Введение в MATLAB: Метод. пособие для выполнения лаб. работ по курсам "Статистические методы обработки данных" и "Теория автоматического управления" для спец. 53 01 02 "Автоматизированные системы обработки информации" / В. С. Муха, В. А. Птичкин. – Минск: БГУИР, 2002. – 40 с.

11. Дьяконов, В. П. MATLAB 5.0/5.3. Система символьной математики / В. П. Дьяконов В.П., И. В. Абраменкова. – М.: Нолидж. – 1999. – 740 с.

12. Дьяконов, В.П. Mathematica 4 с пакетами расширений / В. П. Дьяконов. – М.: Нолидж, 2000. – 608 с.

13. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. – М.: Мир,1986. – 391 с.

14. Грегори, Р. Безошибочные вычисления. Методы и приложения / Р. Грегори Р., Е. Кришнамурти. – М.: Мир, 1988. – 207 с.

15. Кетков, Ю.Л. MATLAB6.x: программирование численных методов / Ю. Л. Кетков, А. Ю. Кетков, М. М. Шульц. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004. – 672 с.

16. Муха, В.С. Вычислительные методы и компьютерная алгебра. Лаб. практикум для студ. спец. 53 01 02 «Автоматизированные системы обработки информации» / В. С. Муха В.С., Т. В. Слуянова. – Минск.: БГУИР, 2003. – 84 с.

Оглавление

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ 1

Предисловие 1

1 Математические модели. численные методы. погрешности вычислений 3

1.1 Математические модели и моделирование 3

1.2 Этапы численного решения задач на ЭВМ 4

1.3 Виды погрешностей решения задач 5

1.4 Погрешности арифметических операций 7

1.5 Графы арифметических операций 11

1.6 Распространение погрешностей в вычислениях 13

2 Решение систем линейных алгебраических уравнений 19

2.1 Постановка задачи. Методы решения 19

2.2 Метод Гаусса 23

2.3 Вычислительная сложность метода Гаусса 32

2.4 Обращение матрицы 36

2.5 Метод LU-разложения 37

2.6 Метод квадратного корня решения симметричных СЛАУ 42

2.7 Метод Гаусса–Зейделя 44

3 Аппроксимация функций 54

3.1 Понятие аппроксимации функций 54

3.2 Постановка задачи интерполирования функций 55

3.3 Интерполяционный полином Лагранжа 57

3.4 Вычисление значений полиномов 62

3.5 Вычислительная сложность задачи интерполирования 65

3.6 Конечные и разделенные разности функции 67

3.7 Интерполяционный полином Ньютона 71

3.8 Погрешность интерполирования 75

3.9 Полиномы Чебышева 1-го рода 78

3.10 Наилучший выбор узлов интерполирования 81

4 Численное интегрирование 84

4.1 Постановка задачи численного интегрирования 84

4.2 Метод прямоугольников 85

4.3 Погрешность метода прямоугольников 87

4.4 Метод трапеций 89

4.5 Погрешность метода трапеций 90

4.6 Метод Симпсона 92

4.7 Погрешность метода Симпсона 94

4.8 Интерполяционные квадратурные формулы 98

4.9 Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса) 102

5 Решение нелинейных уравнений 110

5.1 Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений 110

5.2 Метод деления отрезка пополам 111

5.3 Метод хорд 113

5.4 Метод простой итерации 115

5.5 Метод Ньютона 121

5.6 Метод секущих 122

6 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 125

6.1 Постановка задачи 125

6.2 Метод рядов Тейлора 126

6.3 Метод Эйлера 129

6.4 Метод Рунге–Кутта 2-го порядка 130

6.5 Метод Рунге–Кутта 4-го порядка 135

7 Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений 137

7.1 Постановка задачи 137

7.2 Приведение дифференциального уравнения -го порядка к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка 139

7.3 Метод Эйлера 140

7.4 Метод Рунге–Кутта 2-го порядка 141

7.5 Метод Рунге–Кутта 4-го порядка 142

8 Выполнение символьных операций 144

8.1 Понятие символьных операций 144

8.2 Выполнение символьных операций в Matlab 144

8.3 Создание символьных переменных 145

8.4 Создание группы символьных переменных 146

8.5 Создание списка символьных переменных 146

8.6 Вывод символьного выражения 147

8.7 Упрощение выражений 148

8.8 Вычисление производных 149

8.9 Вычисление интегралов 149

8.10 Вычисление сумм рядов 150

8.11 Вычисление пределов 151

8.12 Разложение функции в ряд Тейлора 153

8.13 Вычисление определителя матрицы, обращение матрицы 154

9 Дополнение 155

9.1 Вычисление корней полиномов 155

9.2 Решение систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона 156

9.3 Решение систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей (метод прогонки) 160

9.4 Интерполирование функций сплайнами 163

ПРАКТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ 170

Указания к выбору варианта 170

Лабораторная работа № 1. Работа в системе Matlab 171

Лабораторная работа № 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений 175

Лабораторная работа № 3. Аппроксимация функций 194

Лабораторная работа № 4. Численное интегрирование 204

Лабораторная работа № 5. Решение нелинейных уравнений 219

Лабораторная работа № 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 228

Лабораторная работа № 7. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений 237

Лабораторная работа № 8. Выполнение символьных операций 248

Литература 263

1 Теорема Ролля. Пусть функция , дифференцируемая в замкнутом промежутке , обращается в нуль на концах промежутка. Тогда производная по меньшей мере один раз обращается в нуль внутри промежутка.