4.9.2 Квадратурная формула Гаусса–Лагерра

Квадратурная формула Гаусса–Лагерра используется для вычисления интеграла на положительной полуоси вида

,

т.е. интеграла с весовой функцией . На полуосиортогональны с весомполиномы Лагерра

.

Первые четыре полинома Лагерра имеют вид

, ,

, .

Узлы квадратурной формулы в этом случае выбираются равными корням полинома Лагерра. Квадратурная формула имеет вид

.

В таблице 4.2 приведены узлы и коэффициенты для этой формулы при использовании от одного до четырех узлов.

Таблица 4.2 – Узлы и коэффициенты квадратурной формулы Гаусса–Лагерра

Число узлов	Значения узлов	Значения весовых коэффициентов
1
2
3
4

4.9.3 Квадратурная формула Гаусса–Эрмита

Квадратурная формула Гаусса–Эрмита предназначена для вычисления интеграла на всей действительной прямой вида

, (4.16)

т.е. интеграла с весовой функцией . На действительной прямой ортогональны с весомполиномы Эрмита

.

Первые четыре полинома Эрмита имеют вид

, ,

, .

Узлы квадратурной формулы в этом случае выбираются равными корням полинома Эрмита. Квадратурная формула имеет вид

.

В таблице 4.3 приведены узлы и коэффициенты для этой формулы при использовании от одного до четырех узлов.

Таблица 4.3 – Узлы и коэффициенты квадратурной формулы Гаусса–Эрмита

Число узлов	Значения узлов	Значения весовых коэффициентов
1
2
3
4

В вероятностных задачах часто приходится вычислять интегралы на всей действительной прямой вида

.

Последний интеграл заменой переменной ,,приводится к виду (4.16)

,

и квадратурная формула для его вычисления имеет вид

.

Узлы и коэффициентыэтой формулы берутся из таблицы 4.3.

5 Решение нелинейных уравнений

5.1 Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений

Требуется решить уравнение

, (5.1)

где – нелинейная непрерывная функция. Часто говорят, что требуется найти корни уравнения (5.1), корни или нули функции. Аналитическое решение данного уравнения можно получить лишь в простейших случаях (например, в случае квадратного уравнения). В большинстве же случаев такие уравнения решаются численными методами. Полное решение поставленной задачи связано с решением следующих задач.

1. Установить количество, характер и расположение корней уравнения.

2. Найти приближенные значения корней, т.е. указать промежутки, в которых находятся корни (отделить корни).

3. Найти значения корней с требуемой точностью (уточнить корни).

Не будем подробно останавливаться на решении первых двух задач. Отметим лишь, что первая задача решается в основном аналитическими методами. Например, установлено, что полином -й степени имеет ровнокорней, эти корни могут быть комплексными, а также кратными. Вторая задача решается в основном численными и графическими методами. Например, приближенные значения корней можно установить, построив график функции. Можно также составить таблицу значений функции. Если в двух соседних точках таблицы функция имеет разные знаки, то между этими точками расположено нечетное число корней (хотя бы один корень).

Предположим, что первые две задачи каким-то образом решены, и рассмотрим численные методы решения третьей задачи, т.е. численные методы уточнения корней.