Примеры решения задач

Пример 1.Определение параметров уравнения регрессии.

Рассчитайте параметры линейного уравнения парной регрессии, которое будет характеризовать зависимость между недельным розничным товарооборотом (л.е.), и проведите анализ параметров регрессии по данным таблицы.

Доходы населения	18	20	21	22	24	25	27	28	29	31
Розничный товарооборот	17	18	19	20	21	23	24	25	26	27

Сделайте вывод.

Решение.

Очевидно, что в данной задаче факторным признаком (х) будут наделены доходжы населения на одного человека по соответствующим группам, а результативным признаком (y) - розничный товарооборот.

Линейное уравнение парной регрессии, которое позволяет установить теоретическую зависимость Y по фактическим данным таблицы, записывается в виде Y = a_{0 +} a₁x ,

где a₀ и a_{1 –} параметры теоретической зависимости, которые необходимо рассчитать.

Для определения параметров составляем таблицу.

№ п/п	x	y	x2	xy	Y
1	18	17	324	306	16,67
2	20	18	400	360	18,31
3	21	19	441	399	19,31
4	22	20	484	440	19,95
5	24	21	576	504	21,59
6	25	23	625	575	22,41
7	27	24	729	648	24,05
8	28	25	784	700	24,87
9	29	26	841	754	25,69
10	31	27	061	837	27,33
Всего	245	220	6165	5523	=
В среднем	24,5	22,0	616,5	552,3	=

Получим расчетные параметры с использованием метода наименьших квадратов. Для этого запишем систему нормальных уравнений в виде:

n a₀ + a₁∑x = ∑y

a₀∑x + a₁∑x² = ∑xy

Подставив в эту систему значения ∑x, ∑y, ∑x², ∑xy,

В ычисленные по данным таблицы, получим систему уравнений:

10 a₀ + 245а₁ = 220

245 a₀ + 6165 a₁ = 5523

Решив эту систему найдем значение параметров:

a₀ = (220 . 6165 – 5523 . 245) / (10 . 245 – 245 . 245) = 1,91

a₁ = (10 . 5523 – 245 . 220) / (10 . 6165 – 245 . 245) = 9,82;

или a₁ = (552,3 – 24,5 . 22,0) / (616,5 – (24,5)² ) = 0,82

a₀ = 22,0 – 0,82 . 24,5 = 1,91

Следовательно, теоретическая зависимость розничного товарооборота от доходов населения имеет вид:

Y = 1,91 + 0,82х

Сделаем экономические выводы.

Параметр a₁ = 0,82 характеризует предельный размер расходов на покупку товаров в розничной торговле. То есть, когда доход увеличивается на единицу, объем розничного товарооборота возрастает на 0,82 д.е.

Пример 2. Определение коэффициента ассоциации и коэффициента контингенции

В одном из отделений Сбербанка России исследовалась связь между наличием вклада и семейным положением потенциальных вкладчиков на 1.01.2002 Результаты обследования характеризуются следующими данными

семейное положение	число вкладчиков	из них
		имеющие сбережения	не имеющие сбережения
одинокие	400	250	150
семейные	1250	800	450
Итого	1650	1050	600

Ка = (250х450 – 150х800) / (250х450 + 150х800) =(112500-120000) / (112500 +150800) = -750/232500 = -0,03

Связь существует, если Ка ≥0,5

Кк = (250х450 – 150х800) / √ (250+150)(150+450)(450+800)(800+250) = (112500-120000) / √400х600х1250х1050 = -7500 / 561248,7 = - 0,01

Связь существует, если Кк≥0,3

Таким образом, наличие или отсутствие сбережений в обследуемом отделении Сбербанка России не зависит от семейного положения потенциальных вкладчиков.