Примеры решения задач

Пример 3.

Распределение предприятий по численности промышленно-производственного персонала характеризуется следующими данными

Группы предприятий по числу работающих чел.	Число предприятий	Группы предприятий по числу работающих чел.	Число предприятий
100–200	1	500–600	19
200–300	3	600–700	15
300–400	7	700–800	5
400–500	30
ИТОГО:			80

В этой таблице наибольшее число предприятий (30) имеет численность работающих от 400 до 500 чел. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения. Введем следующие обозначения:

x_мо – 400; f_мо-1 – 7; f_мо – 30; i_мо– 100; f _мо+1 – 19.

Подставим эти значения в формулу моды и проведем вычисления. Получаем, что мода равна 467,8 ≈ 468 чел.

Медианой (М_е) – в статистике называется варианта расположенная в середине вариационного ряда. Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число, то медианой будет варианта, находящаяся в средине упорядоченного ряда (упорядоченный ряд – это расположение единиц совокупности в возрастающем или убывающем порядке). Медиана делит ряд на две равные части Например, стаж пяти рабочих составил 2, 4, 7, 8, 10 лет. В таком упорядоченном ряду медиана – 7 лет. По обе стороны от нее находится одинаковое число рабочих.

Если упорядоченный ряд состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух вариант, расположенных в середине ряда. Пусть теперь будет не пять человек в бригаде, а шесть, имеющих стаж работы 2, 4, 6, 7, 8 и 10 лет. В этом ряду имеются две варианты, состоящие в центре ряда. Это варианты 6 и 7. Средняя арифметическая из этих значений и будет медианой ряда:

Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле:

М_е = х₀ + h ((Σf_i/2 – S_Me-1)/N_Me)

где х_o— нижняя граница интервала; h — величина интервала; п — число членов ряда;

(m-l) — сумма накопленных членов ряда, предше­ствующих медианному;

N_Me—частота медианного интервала.

Примеры решения задач

Пример 4.

Используя данные предыдущей задачи рассчитает медиану в интервальном вариационном ряду. Определим прежде всего медианный интервал

Группы предприятий по числу рабочих, чел	Число предприятий	Сумма накопленных частот
100–200	1	1
200–300	3	4 (1 + 3)
300–400	7	11 (4 + 7)
400–500	30	41 (11 + 30)
500–600	19	–
600–700	15	–
700–800	5	–
ИТОГО:	80

В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (∑f) соответствует интервалу 400–500. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим ее значение по приведенной выше формуле. Известно, что Х_ме = 400;

i_ме – 100; f = 80;

S_ме-1 – 11, f_ме – 30.

Следовательно:

Медиана не зависит ни от амплитуды колебаний ряда, ни от распределений частот в пределах двух равных частей ряда, поэтому ее применение позволяет получить более точные результаты, чем при использовании других форм средних.

Порядковые характеристики. Рассмотренные обобщающие показатели центра распределения не вскрывают характера последовательного изменения частот, поэтому в анализе закономерностей распределения используются также ранговые (порядковые) показатели: квартили и децили.

Квартили Q – это значение вариантов, которые делят упорядоченный ряд по объему на четыре равные части. Следовательно, в ряду выделяют три квартиля. Медиана является одновременно вторым квартилем. Расчет квартилей основывается на кумулятивных частотах (частостях) и определяются первый и третий квартили по формулам::

Q₁ = х_Q1 + h ((0,25Σfi – SQ₁-1 ) / f_iQ1)

Q3₁ = х_Q3 + h ((0,75Σfi – SQ₃-1 ) / f_i31)

Децили – это значения вариантов, которые делят упорядоченный ряд по объему на десять равных частей. В ряду распределения выделяют девять децилей, так как медиана является одновременно пятым децилем. Расчет децилей также основан на частостях и определяется по формулам:

D₁ = х_D1 + h ((0,1Σfi – SD₁-1 ) / f_iD1)

D₂ = х_D2 + h ((0,2Σfi – SD₂-1 ) / f_iD2)

и т.д.

D₉ = х_D9 + h ((0,9Σfi – SD₉-1 ) / f_iD8)